一般化された空間

数学において、一般化空間は位相空間の一般化です。このような一般化のきっかけは、少なくとも次の 2 つの形式で生まれます。

1. 伝統的に空間として見なされていないオブジェクトにコホモロジーなどの概念を適用したいという願望。たとえば、トポスはもともとこの理由で導入されました。
2. いくつかの自然に発生する空間のカテゴリ (たとえば、関数解析におけるカテゴリ) は、ホモロジー代数を実行するための標準的な要件であるアーベル的ではない傾向があるという欠陥を改善する実用的な必要性。

アレクサンダー・グロタンディークの格言によれば、トポスは一般化された空間である。正確には、彼と彼の追随者たちはSGA Iの公開第4章で^{次のように書いている。[1]}

トポロジーの概念を解決し、トポロジーの概念を自然に導き、空間トポロジーの概念を実際に構築し、状況の重要性を認識し、適切な状況を考慮する必要があります。直観トポロジーク

しかし、ウィリアム・ローヴェアは1975年の論文^[2]で、この格言は逆であるべきだと主張している。つまり、「トポスは一般化空間上の『連続（集合値）関数の代数』であり、一般化空間そのものではない」というものである。

一般化された空間は、空間の役割を代替できる幾何学的オブジェクトと混同しないでください。たとえば、スタックは通常、空間としてではなく、より豊かな構造を持つ幾何学的オブジェクトとして見られます。

• ロケールは、おそらく十分な点を持たない空間の一種です。^[3]トポス理論は、一般化されたロケールの理論であると言われることもあります。^[4]
• ジャン・ジローのグロ・トポス、ピーター・ジョンストンの位相トポス^[5]、あるいはより最近では凝縮集合やピュクノティック集合などの形態がある。これらは、（特定の）位相空間のカテゴリーを、より広い一般化空間のカテゴリーに埋め込むことを試みるものであり、技術的ではないとしても哲学的には、関数を一般化関数に一般化する方法に似ている。（これらの構成は、位相空間のカテゴリーのさまざまな完成よりも正確であることに注意。）

• Lawvere, F. William (1975)。「連続的に変化する集合; 代数幾何学 = 幾何論理」。論理コロキウム '73、論理コロキウム議事録。論理と数学の基礎の研究。第 80 巻。pp.  135– 156。doi : 10.1016/S0049-237X(08) 71947-5。ISBN 978-0-444-10642-1。
• Lawvere、空間のカテゴリは、有向グラフに例示されるような一般化された空間ではない可能性がある。
• ジョンストン、ピーター T. (1985)。「一般化された空間はどの程度一般化されているか?」トポロジーの側面。pp.  77– 112。doi :10.1017/ CBO9781107359925.004。ISBN 978-0-521-27815-7。
• グロタンディーク、A. Verdier, JL (1972)、「トポス」、Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas、Lecture Notes in Mathematics、vol. 269、Springer、pp.  299–518、土井:10.1007/BFb0081555、ISBN 978-3-540-05896-0