グロタンディーク位相

数学の一分野である圏論において、グロタンディーク位相とは、圏C上の構造であり、圏Cの対象が位相空間の開集合のように振舞うようにします。 グロタンディーク位相の選択を伴う圏は、サイトと呼ばれます。

グロタンディーク位相は、開被覆の概念を公理化する。グロタンディーク位相によって提供される被覆の概念を使用すると、カテゴリ上の層とそのコホモロジーを定義することができる。これは、アレクサンダー・グロタンディークが代数幾何学と代数的数論において、スキームのエタールコホモロジーを定義するために初めて行われた。それ以来、ℓ進コホモロジー、平坦コホモロジー、結晶コホモロジーなど、他のコホモロジー理論の定義に使用されてきた。グロタンディーク位相はコホモロジー理論の定義に最もよく使用されるが、ジョン・テイトの剛体解析幾何学の理論など、他の応用も見出されている。

通常の位相空間にサイトを関連付ける自然な方法があり、グロタンディークの理論は古典位相の一般化として大まかに考えられています。貧弱な点集合仮説、つまり冷静さの下では、これは完全に正確です。つまり、関連付けられたサイトから冷静な空間を復元することが可能です。ただし、非離散位相空間などの単純な例は、すべての位相空間がグロタンディーク位相を使用して表現できるわけではないことを示しています。逆に、位相空間から来ないグロタンディーク位相もあります。

「グロタンディーク位相」という用語は意味が変わってきました。Artin (1962) では、現在グロタンディーク前位相と呼ばれているものを意味し、一部の著者は今でもこの古い意味を使用しています。Giraud (1964) は、カバーではなくふるいを使用するように定義を変更しました。多くの場合、これは大きな違いを生みません。各グロタンディーク前位相は一意のグロタンディーク位相を決定しますが、まったく異なる前位相が同じ位相を与えることもあります。

アンドレ・ヴェイユの有名なヴェイユ予想は、整数係数を持つ方程式の特定の性質は、それが定義する代数多様体の幾何学的性質として理解されるべきであると提唱した。彼の予想は、代数多様体のコホモロジー理論が存在し、それがそれらの定義方程式について数論的情報を与えるはずであると仮定した。このコホモロジー理論は「ヴェイユコホモロジー」として知られていたが、ヴェイユは利用可能なツールを使ってそれを構築することはできなかった。

1960 年代初頭、アレクサンダー グロタンディークは、解析幾何学における局所解析同型の代数類似として、エタール写像を代数幾何学に導入しました。彼はエタール被覆を使用して、位相空間の基本群の代数類似を定義しました。すぐにジャン ピエール セールは、エタール被覆のいくつかの性質が開浸の性質を模倣しており、その結果、コホモロジー関手を模倣した構成を作成できることに気付きました。グロタンディークは、セールのアイデアを使用して、ヴェイユ コホモロジーになると思われるコホモロジー理論を定義できることに気付きました。このコホモロジー理論を定義するために、グロタンディークは、開被覆という通常の位相的な概念を、エタール被覆を使用する概念に置き換える必要がありました。グロタンディークは、被覆の定義を抽象的に表現する方法も見抜きました。ここからグロタンディーク位相の定義が生まれます。 ${\displaystyle H^{1}}$

層の古典的な定義は、位相空間 から始まります。層は、情報を の開集合に関連付けます。この情報は、を、そのオブジェクトがの開部分集合であり、その射が の開集合との包含写像であるカテゴリとすることで抽象的に表現できます。スキームのコンテキストと同様に、このような写像を開浸 と呼びます。すると、 上の前層は、集合のカテゴリへの反変関手であり、層は、接着公理(ここでは分離公理を含む) を満たす前層です。接着公理は、の点ごとの被覆、つまりが被覆する場合に限ります。この定義では、は の開部分集合です。グロタンディーク位相は、 それぞれを開部分集合の族全体で置き換えます。この例では、 はすべての開浸 の族で置き換えられます。このようなコレクションはふるいと呼ばれます。点ごとの被覆は被覆族の概念に置き換えられます。上記の例では、が変化するときのすべての の集合は の被覆族です。ふるいと被覆族は公理化することができ、これが完了すると、開集合と点ごとの被覆は、空間 の他の特性を記述する他の概念に置き換えることができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V\rightarrow U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O(X)}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \bigcup _{i}U_{i}=U}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle V_{ij}\to U_{i}}$${\displaystyle \{V_{ij}\to U_{i}\}_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

グロタンディーク位相では、包含に関して安定なUの開部分集合のコレクションという概念は、ふるいという概念に置き換えられます。c がC内の任意のオブジェクトである場合、c上のふるいは関数 Hom(−, c )の部分関数です(これはcに適用された米田埋め込みです)。 O ( X )の場合、開集合U上のふるいS は、包含に関して安定なUの開部分集合のコレクションを選択します。より正確には、 Uの任意の開部分集合Vについて、S ( V ) は Hom( V , U )の部分集合であり、これには開浸漬V → Uという 1 つの要素のみが含まれると考えます。すると、 S ( V ) が空でない場合のみ、V はSによって「選択された」と見なされます。W がVの部分集合である場合、包含W → Vとの合成によって与えられる射S ( V ) → S ( W ) が存在します。S ( V ) が空でない場合、 S ( W ) も空でないことがわかります。

S がX上の篩で、f : Y → Xが射である場合、 fによる左合成はY上の篩を与え、これはfに沿ったSの引き戻し と呼ばれ、 f Sと表記される。これは、ファイバー積S  × _{Hom(−, X )}  Hom(−, Y ) と、その Hom(−, Y ) への自然な埋め込みとして定義される。より具体的には、Cの各オブジェクトZに対して、f S ( Z ) = { g : Z → Y | fg S ( Z ) } であり、f S はHom(−, Y )のサブファンクタであることによって、その射への作用を継承する。古典的な例では、 Uの部分集合のコレクション { V _i } の包含W → Uに沿った引き戻しは、コレクション { V _i ∩W} である。 ^{${\displaystyle ^{\ast}}$ ${\displaystyle ^{\ast}}$} ${\displaystyle \in}$^{${\displaystyle ^{\ast}}$}

カテゴリC上のグロタンディーク位相 Jは、 C の各オブジェクト c について、 c上の区別された篩のコレクションであり、 J ( c )で表され、 cの被覆篩と呼ばれます。この選択は、以下に述べる特定の公理に従います。前の例を続けると、O ( X )の開集合U上の篩Sが被覆篩となるのは、 S ( V ) が空でないすべての開集合Vの和集合がUに等しい場合、つまり、S が古典的な意味でU を覆う開集合のコレクションを与える場合のみです。

グロタンディーク位相に課す条件は次のとおりです。

• (T 1) (基底変更) S がX上の被覆ふるいであり、f : Y → Xが射である場合、プルバックf S はY上の被覆ふるいである。^{${\displaystyle \ast}$}
• (T 2) (局所的特徴) S をX上の被覆ふるいとし、T をX上の任意のふるいとする。 Cの各オブジェクトYとS ( Y ) の各矢印f : Y → Xについて、引き戻しふるいf T がY上の被覆ふるいであるとする。すると、T はX上の被覆ふるいとなる。^{${\displaystyle \ast}$}
• (T 3) (恒等式) Hom(−, X ) は、 C内の任意のオブジェクトXに対してX上の被覆ふるいである。

基底変更公理は、 { U _i } がU をカバーする場合、 { U _i ∩ V } はU ∩ V をカバーするという考えに対応します。局所特性公理は、 { U _i } がU をカバーし、 { V _ij } _{j J i が${\displaystyle \in}$}各iについてU _{i を}カバーする場合、すべてのiとjについてコレクション { V _ij } がU をカバーするという考えに対応します。最後に、恒等公理は、任意の集合は恒等写像によってそれ自体でカバーされるという考えに対応します。

実際、これらの公理を、その幾何学的特徴がより明白になる別の形式にすることができます。その場合、基礎となるカテゴリCに特定のファイバー積が含まれていると仮定します。この場合、ふるいを指定する代わりに、共通の余領域を持つ特定のマップのコレクションが余領域をカバーするように指定できます。これらのコレクションは、被覆族と呼ばれます。すべての被覆族のコレクションが特定の公理を満たす場合、それらはグロタンディーク前位相を形成すると言います。これらの公理は次のとおりです。

• (PT 0) (ファイバー積の存在) CのすべてのオブジェクトXと、Xの何らかの被覆族に現れるすべての射X ₀ → Xと、すべての射Y → Xに対して、ファイバー積X ₀  × _X Yが存在する。 
• (PT 1) (基底変更に対する安定性) CのすべてのオブジェクトX、すべての射Y → X、およびすべての被覆族 { X _α → X } に対して、族 { X _α × _X Y → Y } は被覆族である。
• (PT 2) (局所的特徴) { X _α → X } が被覆族であり、すべての α に対して { X _βα → X _α } が被覆族である場合、合成族 { X _βα → X _α → X } は被覆族である。
• (PT 3) (同型) f : Y → Xが同型ならば、{ f } は被覆族である。

任意のプレトポロジーに対して、プレトポロジーからの被覆族を含むすべてのふるいの集合は常にグロタンディーク トポロジーです。

ファイバー積を持つカテゴリの場合、逆が存在します。矢印のコレクション { X _α → X } が与えられたとき、S ( Y ) を矢印 X α → X を介して因数分解されるすべての射 Y _→ Xの集合とすることで、ふるいSを構築します。これは、 { X _α → X }によって生成されるふるいと呼ばれます。次に、トポロジを選択します。 { X _α → X } が被覆族であるためには、それが生成するふるいが、指定されたトポロジの被覆ふるいである必要があります。これがプレトポロジを定義することは簡単に確認できます。

(PT 3) は、より弱い公理に置き換えられることがあります。

• (PT 3') (恒等) 1 _X  : X → Xが恒等矢印である場合、{1 _X } は被覆族です。

(PT 3) は (PT 3') を意味しますが、その逆は成り立ちません。しかし、(PT 0) から (PT 2) と (PT 3') までを満たすが、(PT 3) は満たさない被覆族のコレクションがあるとします。これらの族はプレトポロジーを生成します。被覆族の元のコレクションによって生成されるトポロジーは、プレトポロジーによって生成されるトポロジーと同じになります。これは、同型Y → Xによって生成されるふるいがHom(−, X ) であるためです。したがって、トポロジーに着目すると、(PT 3) と (PT 3') は同等です。

C をカテゴリとし、 J をC上のグロタンディーク位相とします。ペア ( C , J ) はサイトと呼ばれます。

カテゴリ上の前層は、 Cからすべての集合のカテゴリへの反変関手です。この定義では、 C は位相を持つ必要がないことに注意してください。ただし、サイト上の層は、古典的な位相幾何学の層のように、接着を許可する必要があります。したがって、サイト上の層を、すべてのオブジェクトXとX上のすべての被覆ふるいSに対して、 Sを Hom(−, X )に含めることによって誘導される自然マップ Hom(Hom(−, X ), F ) → Hom( S , F ) が全単射であるような前層 F と定義します。前層と層の中間にあるのが分離前層の概念であり、上記の自然マップはすべてのふるいSに対して全単射ではなく、単射のみである必要があります。前層の射または層の射は、関手の自然変換です。C上のすべての層のカテゴリは、サイト ( C、J ) によって定義されるトポスです。

米田の補題を用いると、カテゴリO ( X )上の前層が上で定義された位相上の層であるためには、それが古典的な意味での層である必要があるということを示すことができる。

前位相上の層は特に単純な記述を持つ。各被覆族{ X _α → X }に対して、図

${\displaystyle F(X)\rightarrow \prod _{\alpha \in A}F(X_{\alpha }){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{\alpha ,\beta \in A}F(X_{\alpha }\times _{X}X_{\beta })}$

はイコライザーでなければなりません。分離前層の場合、最初の矢印は単射であるだけで十分です。

同様に、アーベル群、環、加群などの前層と層を定義できます。前層Fがアーベル群 (または環、加群など) のカテゴリに対する反変関数であるか、またはFがCから集合のカテゴリへのすべての反変関数のカテゴリ内のアーベル群 (環、加群など) オブジェクトであるかのいずれかを要求できます。これら 2 つの定義は同等です。

C を任意のカテゴリとします。離散位相を定義するには、すべてのふるいを被覆ふるいと宣言します。Cがすべてファイバー積を持つ場合、これはすべての族を被覆族と宣言することと同等です。粗位相またはカオス位相としても知られる非離散位相を定義するには、^{[1]形式 Hom(−,} X )のふるいのみを被覆ふるいと宣言します。非離散位相は、被覆族の同型のみを持つ前位相によって生成されます。非離散サイト上の層は前層と同じものです。

C を任意のカテゴリとします。米田埋め込みは、 Cの各オブジェクトXに対して関数 Hom(−, X ) を与えます。標準位相は、すべての表現可能な前層、つまり形式 Hom(−, X ) の前層が層であるような最大の (最も細かい) 位相です。このサイトの被覆ふるいまたは被覆族は、それが (その構成射のドメイン上の完全な図の下で) 余極限錐の脚で構成され、これらの余極限がC内の射に沿った引き戻しの下で安定であるため、厳密に普遍エピモーフィックであると言われています。標準位相よりも細かくない位相、つまりすべての被覆ふるいが厳密に普遍エピモーフィックである位相は、サブカノニカルと呼ばれます。サブカノニカルサイトは、形式 Hom(−, X ) のすべての前層が層であるサイトとまったく同じです。実際に遭遇するほとんどのサイトはサブカノニカルです。

上で最初に挙げた例を繰り返します。Xを位相空間とします。O ( X )を、 Xの開集合をオブジェクトとし、その射を開集合の包含とするカテゴリとして定義しました。開集合UとU上のふるいSについて、集合S ( V ) にはすべての開集合Vに対して 0 個または 1 個の要素が含まれることに注意してください。O ( X )のオブジェクトU上の被覆ふるいは、次の条件を満たす ふるいSです。

• W がS ( V ) が空でないすべての集合Vの和集合である場合、 W = Uです。

このカバーの概念は、点集合位相における通常の概念と一致します。

この位相は、当然プレ位相として表現することもできます。包含族 { V _α U } が被覆族であるとは、和集合 V _{α が}Uに等しい場合に限ります。このサイトは、位相空間Xに関連付けられた小サイトと呼ばれます。 ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \cup}$

Spc をすべての位相空間のカテゴリとします。任意の関数族 { u α _:  V α _→ X }が与えられたとき、u _α ( V _α )がX に等しいとき 、それは射影族である、またはu _{α の}射影は共射であるといいます。すべてのメンバーが開浸漬である射影族を被覆族とすることで、Spc上のプレトポロジーを定義します。 S をSpc上のふるいとします。 S がこの位相に対して被覆ふるいとなるのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle \cup}$

• すべてのYとS ( Y )内のあらゆる射f  : Y → Xに対して、 gが開浸漬であり、gがS ( V )内にあり、f がg を介して因数分解されるようなVとg  : V → Xが存在する。
• W がすべての集合f ( Y )の和集合である場合( f  : Y → XがS ( Y )に含まれる)、 W = Xです。

位相空間Xを固定します。Xへの固定された連続写像を持つ位相空間のコンマカテゴリ Spc/Xを考えます。 Spc上の位相はSpc/X上の位相を誘導します。被覆ふるいと被覆族はほぼ同じです。唯一の違いは、関係するすべての写像がXへの固定写像と可換であることです。これは位相空間Xに関連付けられたビッグサイトです。 Spc は1 点空間に関連付けられたビッグサイトであることに注意してください。このサイトはJean Giraudによって最初に考えられました。

M を多様体とします。 M は位相空間であるため、開集合のカテゴリO ( M ) を持ち、上記の例のように位相が得られます。 Mの2つの開集合UとVに対して、ファイバー積U × _M Vは開集合U ∩ Vであり、これもO ( M )に含まれます。これは、 O ( M )上の位相が前位相、つまり前と同じ前位相によって定義されることを意味します。

Mfd をすべての多様体と連続写像のカテゴリとします。(または滑らかな多様体と滑らかな写像、実解析的多様体と解析的写像など) MfdはSpcのサブカテゴリであり、開いた浸漬は連続(または滑らかな、解析的など)であるため、Mfd はSpcから位相を継承します。これにより、多様体MのビッグサイトをサイトMfd/Mとして構築できます。この位相は、上で使用したのと同じ前位相を使用して定義することもできます。(PT 0)を満たすには、多様体X → Yの任意の連続写像とYの任意の開部分集合Uについて、ファイバー積U × _Y X がMfd/Mに含まれることを確認する必要があることに注意してください。これは、開集合の逆像が開いているという単なるステートメントです。ただし、臨界値での滑らかな写像の逆像は多様体である必要はないため 、すべてのファイバー積がMfdに存在するわけではないことに注意してください。

Schと表記されるスキームのカテゴリには、膨大な数の有用な位相があります。いくつかの問題を完全に理解するには、複数の異なる位相を使用してスキームを調べる必要があります。これらの位相にはすべて、小さなサイトと大きなサイトが関連付けられています。大きなサイトは、スキームのカテゴリ全体とその射を、位相によって指定された被覆ふるいと一緒に取ることによって形成されます。特定のスキーム上の小さなサイトは、特定のスキームの被覆の一部であるオブジェクトと射のみを取ることによって形成されます。

最も基本的なものはザリスキー位相です。Xをスキームとします。X には基礎となる位相空間があり、この位相空間によってグロタンディーク位相が決定されます。Sch 上のザリスキー位相は、その被覆族がスキーム理論的開浸漬の共射影族である前位相によって生成されます。Zarの被覆ふるいS は、次の 2 つの特性によって特徴付けられます。

• すべてのYとS ( Y )内のあらゆる射f  : Y → Xに対して、 gが開浸漬であり、gがS ( V )内にあり、f がg を介して因数分解されるようなVとg  : V → Xが存在する。
• W がすべての集合f ( Y )の和集合である場合( f  : Y → XがS ( Y )に含まれる)、 W = Xです。

外見上の類似性にもかかわらず、 Zar上の位相はSpc上の位相の制限ではありません。これは、位相的に開いた浸漬であるがスキーム理論的に開いた浸漬ではないスキームの射が存在するためです。たとえば、A を非既約環とし、N をその冪零点のイデアルとします。商写像A → A/Nは、マップ Spec A/N → Spec Aを誘導します。これは、基礎となる位相空間上の恒等写像です。スキーム理論的に開いた浸漬であるためには、構造層上の同型写像も誘導する必要がありますが、この写像はそれを行いません。実際、この写像は閉じた浸漬です。

エタール位相はザリスキ位相よりも細かい。これは綿密に研究された最初のグロタンディーク位相である。その被覆族はエタール射の共射族である。これはニスネビッチ位相よりも細かいが、 cdh位相や l′ 位相 よりも細かくも粗くもない。

平坦な位相には、fppf位相とfpqc位相 の2つがある。fppfはfidèlement plate de présentation finieの略で、この位相では、アフィンスキームの射は、忠実に平坦で、有限の表現で、準有限である場合に被覆射となる。fpqc はfidèlement plate et quasi-compacteの略で、この位相では、アフィンスキームの射は、忠実に平坦である場合に被覆射となる。どちらのカテゴリでも、被覆族は、ザリスキ開集合上の被覆となる族として定義される。^[2] fpqc位相では、忠実に平坦で準コンパクトな射は被覆である。^{[3]これらの位相は}降下 と密接に関連している。fpqcトポロジは、上記のすべてのトポロジよりも細かく、標準トポロジに非常に近いものです。

グロタンディークは、特性p多様体のコホモロジーのp捩れ部分を研究するために結晶コホモロジーを導入しました。この理論の基礎となる結晶位相では、基礎となるカテゴリには、無限小の厚みによって与えられるオブジェクトと分割されたべき構造があります。結晶サイトは、最終オブジェクトがないサイトの例です。

サイト間には 2 つの自然なタイプの関手があります。これらは、ある意味でトポロジーと互換性のある関手によって与えられます。

( C , J ) と ( D , K ) がサイトで、u  : C → Dが関手である場合、位相Kに関してD上のすべての層Fに対して、前層Fuが位相Jに関して層である場合、 u は連続です。連続関手は、層F をFuに送ることで、対応するトポイ間の関手を誘導します。これらの関手をプッシュフォワードと呼びます。およびがCとDに関連付けられたトポイを表す場合、プッシュフォワード関手は です。 ${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle u_{s}:{\tilde {D}}\to {\tilde {C}}}$

u _{s は}、プルバックと呼ばれる左随伴u ^{s を}許容します。u ^{s は}、有限の極限であっても、極限を保存する必要はありません。

同様に、u はCのオブジェクトX上の篩をDのオブジェクトuX上の篩に送ります。連続関数は被覆篩を被覆篩に送ります。J がプレトポロジーによって定義されたトポロジーであり、 u がファイバー積と可換である場合、 uが連続であるためには、被覆篩を被覆篩に送り、被覆族を被覆族に送る必要があります。一般に、uが被覆篩を被覆篩に送るだけでは不十分です(SGA IV 3、例1.9.3 を参照)。

再び、 ( C , J ) および ( D , K ) をサイト、v  : C → Dを関数とします。X がCのオブジェクトで、RがvX上のふるいである場合、R は次のようにふるいSに引き戻すことができます。射f  : Z → X がSに含まれるのは、v ( f ) : vZ → vXがRに含まれる場合のみです。これによりふるいが定義されます。 vが連続であるためには、CのすべてのオブジェクトXとvXのすべての被覆ふるいRに対して、Rの引き戻しSがX上の被覆ふるいである必要があります。

vとの合成は、 D上の前層F をC上の前層Fvに送りますが、v が共連続であれば、層を層に送る必要はありません。しかし、通常 と表記される前層カテゴリ上のこの関手は、右随伴 を許容します。すると、v が共連続となるのは、 が層を層に送る場合、つまり、関手 に制限される場合に限ります。この場合、と関連する層関手の合成は、 v _{*の左随伴で、} v ^{* と}表記されます。さらに、v ^{* は}有限の極限を保存するため、随伴関手v _*とv ^{* は}topoi の幾何射を決定します。 ${\displaystyle {\hat {v}}^{*}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{*}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{*}}$${\displaystyle v_{*}:{\チルダ {C}}\to {\チルダ {D}}}$${\displaystyle {\hat {v}}^{*}}$${\displaystyle {\チルダ {C}}\to {\チルダ {D}}}$

連続関手u  : C → D は、 u ^{s が}有限の極限を保存する場合、サイトの射 D → C（C → Dではない ）です。この場合、u ^sとu _{s は}topoi の幾何射を決定します。連続関手C → Dが反対方向のサイトの射を決定すると言われる慣例の背後にある理由は、これが位相空間の場合からの直感と一致するためです。位相空間X → Yの連続写像は、連続関手O ( Y ) → O ( X ) を決定します。位相空間上の元の写像はX をYに送ると言われるので、サイトの射も同様に送られると言われています。 ${\displaystyle {\チルダ {C}}\to {\チルダ {D}}}$

連続関数が左随伴関数を許容する場合、この特殊なケースが発生します。u  : C → Dとv  : D → Cが、 u がvの右随伴関数である関数であるとします。このとき、 vが共連続である場合に限り、 u は連続であり、この場合、u ^{s は}v ^*と自然に同型であり、u _{s は}v _*と自然に同型です。特に、u はサイトの射です。

• ファイバーカテゴリー
• ローヴェア・ティアニー位相

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• グロタンディーク位相の誕生
• グロタンディーク位相の誕生（非アーカイブ版）