e (数学定数)

数e は、自然対数と指数関数の底となる、およそ 2.71828 に等しい数学定数である。スイスの数学者レオンハルト・オイラーにちなんでオイラー数と呼ばれることもあるが、これはオイラー数や、通常 と表記される別の定数であるオイラー定数と混同される可能性がある。あるいは、e はジョン・ネイピアにちなんでネイピア定数と呼ばれることもある。^{[2] [3]}スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイは、複利の研究中にこの定数を発見した。^{[4] [5]}${\displaystyle \gamma}$

数e は、 0 、 1 、π、iと並んで数学において非常に重要な数である^[6]。これら 5 つはオイラーの恒等式の 1 つの定式化に現れ、数学のあらゆる分野で重要かつ繰り返し使用される役割を果たしている。^{[7] [8]}定数πと同様に、e は無理数であり、つまり整数の比として表すことができず、さらに超越数であり、つまり有理数係数を持つ非ゼロ多項式の根ではない。^{[3]小数点以下 30 桁まで、} eの値は次のようになる。^[1] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

数値e は、複利 の計算で生じる式の限界 です。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

それは無限級数の合計である $${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

関数y = a ^xのグラフがx = 0で傾きが 1 になるような唯一の正の数aです。

となる。ここでは（自然）指数関数であり、その導関数に等しく、次式を満たす唯一の関数である。指数関数は一般に と表記されるので、次式も成り立つ。 $${\displaystyle e=\exp(1),}$$${\displaystyle \exp}$${\displaystyle \exp(0)=1.}$${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$$${\displaystyle e=e^{1}.}$$

bを底とする対数は、関数の逆関数として定義できます。したがって、この式は、e が自然対数の底であること を意味します。${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$${\displaystyle b=b^{1},}$${\displaystyle \log_{b}b=1.}$${\displaystyle e=e^{1}}$

数eは積分によって特徴付けられる：^[9] $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$$

その他の特徴については、§ 表現を参照してください。

この定数への最初の言及は、1618年にジョン・ネイピアによる対数に関する著作の付録の表で発表された。しかし、これには定数そのものは含まれておらず、単に を底とする対数${\displaystyle e}$の一覧が記載されていた。この表はウィリアム・オートレッドによって書かれたと推定されている。1661年、クリスティアーン・ホイヘンスは幾何学的手法で対数を計算する方法を研究し、今にして思えばeの10を底とする対数である量を計算したが、 e自体は興味深い量とは認識していなかった。 ^{[5] [10]}

この定数自体は、1683年にヤコブ・ベルヌーイによって、連続複利問題を解くために導入されました。^{[11] [12]} 彼の解法では、定数eは 、nが複利が評価される年間の間隔の数（たとえば、月次複利の場合）を表す極限 として現れます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$${\displaystyle n=12}$

この定数を表すために最初に使われた記号は、ゴットフリート・ライプニッツが1690年と1691年にクリスティアーン・ホイヘンスに宛てた手紙の中で使われた文字bであった^。[13]

レオンハルト・オイラーは、1727年か1728年に大砲の爆発力に関する未発表の論文^[14]と、1731年11月25日のクリスティアン・ゴールドバッハへの手紙の中で、定数に文字eを使い始めました。 ^{[15] [16]}印刷された出版物でe が初めて登場したのは、オイラーの機械力学（1736年）です。^{[17]オイラーが文字}eを選んだ理由は不明です。^[18]その後、一部の研究者は文字cを使用しましたが、文字eの方が一般的であり、最終的に標準になりました。^[2]

オイラーは、e は無限級数 の和であり 、n !はnの階乗であることを証明した。^{[5]極限と無限級数を用いた2つの特徴付けの同値性は}、二項定理によって証明できる。^[19]$${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

ヤコブ・ベルヌーイは1683年に複利に関する問題を研究しているときにこの定数を発見した。^[5]

口座は 1.00 ドルから始まり、年間 100 パーセントの利息が支払われます。利息が年末に 1 回入金された場合、年末の口座の価値は 2.00 ドルになります。年間を通じて利息がより頻繁に計算され、入金された場合はどうなるでしょうか。

利息が年に2回入金される場合、6か月ごとの利率は50％となるため、最初の1ドルは1.5倍に2回掛けられ、年末には1.00 × 1.5 ² = 2.25ドルとなる。四半期ごとの複利では1.00 × 1.25 ⁴ = 2.44140625ドルとなり、月ごとの複利では1.00 × (1 + 1/12) ¹² = 2.613035...ドルとなる。複利期間がn回ある場合、各期間の利息は100％/ nとなり、年末の値は1.00 ×  (1 + 1/ n ) ⁿとなる。^{[20] [21]}

ベルヌーイは、この数列はnが大きくなるほど、つまり複利計算の間隔が短くなるほど、限界（利子の力）に近づくことに気づいた。 ^[5]毎週複利計算（n = 52）すると $2.692596... となり、毎日複利計算（n = 365 ）すると $2.714567... となる（約 2 セント多い）。 nが大きくなるにつれて限界となる数字はeとして知られるようになる。つまり、連続複利計算では、口座の価値は $2.718281828... に達する。より一般的には、$1 から始まり、年間利率Rを提供する口座は、連続複利計算でt年後にはe ^Rtドルを生み出す。ここで、 Rはパーセントで表された利率の 10 進数相当値であり、5% の利子の場合、R = 5/100 = 0.05 となる。^{[20] [21]}

数e自体は、指数関数的増加とは明らかに関係のない方法で、確率論にも応用されています。ギャンブラーが、確率n分の 1 で配当が出るスロットマシンをn回プレイするとします。n が増加すると、ギャンブラーがn 回の賭けすべてを失う確率は1/ eに近づきます。n = 20の場合、これはすでに約 1/2.789509 です...

これはベルヌーイ試行過程の例です。ギャンブラーがスロットをプレイするたびに、勝つ確率はn分の1です。n回のプレイは二項分布によってモデル化され、これは二項定理とパスカルの三角形と密接に関連しています。n回の試行でk回勝つ確率は次のとおりです。^[22]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{nk}.}$

特に、0回勝つ確率（k = 0）は

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

n が無限大に近づくにつれて、上記の式の極限は正確に1/ eになります。

指数関数的増加は、量が時間の経過とともにますます増加する割合で増加するプロセスです。これは、量の時間に対する瞬間的な変化率（つまり、導関数）が量自体に比例する場合に発生します。 ^[21]関数として記述すると、指数関数的に増加する量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数です（2次増加などの他の種類の増加とは対照的です）。比例定数が負の場合、量は時間の経過とともに減少し、代わりに指数関数的減少を起こしていると言われます。指数関数的増加の法則は、異なる底 を使用することで、異なるが数学的に同等の形式で記述できます。底には、数値eが一般的で便利な選択肢です。 ここで、は量xの初期値、kは増加定数、 は量がe倍に増加するのにかかる時間です。 $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \tau}$

平均がゼロで標準偏差が1の正規分布は標準正規分布として知られており、^[23]確率密度関数によって与えられる。 $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

標準偏差の単位制約（したがって分散の単位も）の結果は、⁠1/2⁠指数に が含まれ、曲線の下の総面積が単位であるという制約により、係数 が得られます。この関数はx = 0 を中心に対称で、最大値 に達し、x = ±1で変曲点を持ちます。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

eのもう一つの応用は、ヤコブ・ベルヌーイとピエール・レモン・ド・モンモールによって部分的に発見されたもので、帽子チェック問題としても知られる、混乱の問題である: ^[24] n人のゲストがパーティーに招待され、入り口でゲスト全員が執事に帽子を預け、執事は順番に帽子をn個の箱に入れ、各箱にはゲスト 1 人ずつの名前のラベルを貼る。しかし執事はゲストの身元を尋ねていないので、帽子はランダムに選ばれた箱に入れられる。ド・モンモールの問題は、どの帽子も正しい箱に入れられない確率を求めることである。 と表されるこの確率は次の式で表される: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

n が無限大に近づくにつれて、p n_は1/ eに近づきます。さらに、どの帽子も正しい箱に入らないように箱に入れることができる方法の数は、任意の正のnに対して、最も近い整数に 丸めてn !/ e です。^[25]

の最大値はで発生します。同様に、底b > 1の任意の値に対して、 の最大値はで発生します(以下で説明するシュタイナーの問題)。 ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$${\displaystyle x=e}$${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$${\displaystyle x=e}$

これは長さLの棒をn等分する問題で有用である。長さの積を最大にするnの値は^[26]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$または${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

この量は、確率（の場合にほぼ）で発生するイベントから収集される情報の尺度でもあるため、秘書問題のような最適計画問題では本質的に同じ最適分割が出現します。 ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle 36.8\%}$${\displaystyle x=e}$

数eは、漸近的性質を伴う多くの問題に関連して自然に現れる。一例は、階乗関数の漸近的性質に関するスターリングの公式であり、そこには数eとπの両方が現れる。^[27] $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

その結果、^[27] $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

特に微積分学において数e を導入する主な動機は、指数関数と対数関数を用いて微分積分を実行することである。^[28]一般的な指数関数y = a ^xには、極限で与えられる導関数がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

右側の括弧内の極限は変数xとは無関係です。その値はeを底とするaの対数になります。したがって、 aの値がeに設定されると、この極限は1に等しくなり、次の単純な恒等式に到達します。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

したがって、 e を底とする指数関数は、微積分を行うのに特に適しています。指数関数の底として (他の数値ではなく) e を選択すると、導関数を含む計算がはるかに簡単になります。

もう一つの動機は、底aの対数の微分（すなわちlog _a x）^[28]（  x > 0）を考慮することから来ている。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

ここで、u = h / xと置き換えた。eの a を底とする対数は、a がeに等しい場合、1 となる。したがって、記号的に、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

この特殊な底を持つ対数は自然対数と呼ばれ、通常はlnと表記されます。計算中に未定の限界が存在しないため、微分化しても適切に機能します。

したがって、このような特別な数a を選択するには 2 つの方法があります。1 つは、指数関数a ^xの導関数をa ^xに設定し、aについて解くことです。もう 1 つは、底aの対数の導関数を1/ xに設定し、aについて解くことです。いずれの場合も、微積分を行うための便利な底の選択に到達します。 aのこれら 2 つの解は、実際には同じであることがわかります。つまり、数eです。

指数関数のテイラー級数は、指数関数がそれ自身の導関数であり、0で評価すると1に等しいという事実から演繹することができます。^[29] 設定により、eを無限級数の和として 定義できるようになります。$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle x=1}$

自然対数関数は 1 からまでの積分として定義でき、指数関数は自然対数の逆関数として定義できます。数e はにおける指数関数の値、または自然対数が 1 である数です。したがって、e は次のようになる唯一の正の実数です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/t}$${\displaystyle x=1}$$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

e ^{x は}（定数Kを乗じない限り）それ自身の導関数に等しい唯一の関数であるため、

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

したがって、それはそれ自身の反微分でもある：^[30]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

同様に、関数群

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

ここでKは任意の実数または複素数であり、微分方程式の完全な解である。

$${\displaystyle y'=y.}$$

数eは、 すべての正のxに対して成り立つ唯一の実数である 。^[31]$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

また、すべての実数xに対して不等式が成り立ち 、等式が成り立つのはx = 0のときのみです。さらに、e は指数関数の唯一の底であり、この底に対して不等式a ^x ≥ x + 1がすべてのxに対して成り立ちます。^{[32]これは}ベルヌーイの不等式 の極限ケースです。 $${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

シュタイナーの問題は関数の 最大値を求めるものである。

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

この最大値はまさにx = eのときに発生します。（ xのこの値に対してのみ ln f ( x )の導関数がゼロになることを確認できます。）

同様に、x = 1/ eは関数の最小値が発生する 場所です。

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

無限テトラレーション

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$または${\displaystyle {^{\infty }}x}$

は、 x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447]のときのみ収束し、^{[33] [34]}レオンハルト・オイラーの定理によって示される。^{[35] [36] [37]}

実数eは無理数である。オイラーは、その単純な連分数展開が終了しないことを示してこれを証明した。^[38]（eが無理数であることのフーリエの証明も参照。）

さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、e は超越数であり、これは有理係数を持つ非ゼロ多項式方程式の解ではないことを意味する。これは、この目的のために特別に構築されることなく超越数であることが証明された最初の数である（リウヴィル数と比較のこと）。証明は1873年にシャルル・エルミートによって与えられた。 ^[39]数e は、正確な無理数指数がわかっている数少ない超越数のうちの1つである（ によって与えられる）。^[40]${\displaystyle \mu (e)=2}$

これまで未解決の問題は、 eとπが代数的に独立であるかどうかという問題である。これは、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の現在証明されていない一般化であるシャヌエルの予想によって解決されるだろう。 ^{[41] [42]}

eは正規分布していると推測されており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。^[43]

代数幾何学において、周期とは代数関数を代数領域上で積分して表せる数である。定数πは周期であるが、 eは周期ではないと推測される。 ^[44]

指数関数 e ^{x は}テイラー級数として表される^{[45] [29]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

この級数はxのあらゆる複素数値に対して収束するため、 e ^xの定義を複素数に拡張するためによく使用されます。^[46]これにより、sin xとcos xのテイラー級数を使用して、オイラーの公式を導くことができます。

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

これは任意の複素数xに対して成り立つ。^[46] x = πの特別な場合はオイラーの恒等式である。

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$これは数学の最も基本的な数の間の深いつながりを示すため、数学的な美しさ の典型であると考えられています。さらに、これはπが超越数であることの証明に直接使用され、円を2乗することが不可能であることを意味します。^{[47] [48]}さらに、この恒等式は、対数の主枝において、 ^[46]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

さらに、指数法則を用いると、

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

任意の整数nに対して、これはド・モアブルの公式である。^[49]

指数関数によるcos xとsin xの表現はテイラー級数から導かれる：^[46] $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

この表現 はcis( x ) と略されることもある。^[49]${\textstyle \cos x+i\sin x}$

数eは、無限級数、無限積、連分数、数列の極限など、さまざまな方法で表すことができます。上記の極限と級数に加えて、単純な連分数もあります。

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[50] [51]}

書き表すと次のようになります

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

次の無限積はeに評価される：^[26] $${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

eの他の多くの級数、数列、連分数、無限積表現が証明されています。

eの正確な解析表現に加えて、 e を推定する確率的手法があります。そのようなアプローチの 1 つは、[0, 1] 上の一様分布から抽出された、独立したランダム変数X ₁、X ₂ ... の無限シーケンスから始まります。最初のn 個の観測値の合計が1 を超える最小の数n をVとします。

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

このときVの期待値はe : E( V )= eとなる。^{[52] [53]}

コンピュータの導入以来、eの既知の桁数は大幅に増加しているが、これはコンピュータの性能向上とアルゴリズムの改良によるものである。 ^{[54] [55]}

2010年頃から、現代​​の高速デスクトップコンピュータの普及により、アマチュアでも許容できる時間内にeの兆桁を計算することが可能になった。2020年12月5日には、 eが31,415,926,535,897（約π × 10）という記録的な計算が行われた。¹³）桁。 ^[63]

eの桁を計算する一つの方法は、次の数列を使うことである^[64] $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

より高速な方法は、2つの再帰関数とを使用する。これらの関数は次のように定義される。${\displaystyle p(a,b)}$${\displaystyle q(a,b)}$$${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

この式は、上記の級数のn番目の部分和を生成します。この方法では、バイナリ分割を使用して、より少ない1桁の算術演算でeを計算し、ビットの複雑さを減らします。これを高速フーリエ変換ベースの整数乗算法と組み合わせると、桁の計算が非常に速くなります。^[64]$${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

インターネット文化の出現の過程で、個人や組織がeという数字に敬意を表することがありました。

初期の例では、コンピュータ科学者の ドナルド・クヌースは、彼のプログラムMetafontのバージョン番号をeに近づけました。バージョンは2、2.7、2.71、2.718などです。^[65]

別の例として、 2004年のGoogleのIPO申請では、同社は典型的な端数の金額ではなく、2,718,281,828米ドル（ 10億ドルを四捨五入した金額）を調達する意向を発表しました。^[66]

Googleはまた、シリコンバレー の中心部、後にマサチューセッツ州ケンブリッジ、ワシントン州シアトル、テキサス州オースティンに看板^{[67]を設置した。}看板には「{ eの連続する数字で見つかった最初の10桁の素数}.com」と書かれていた。eの最初の10桁の素数は7427466391で、99桁目から始まる。^[68]この問題を解いて、宣伝されていた（現在は閉鎖されている）ウェブサイトを訪問すると、さらに難しい問題に遭遇した。それは、7182818284、8182845904、8747135266、7427466391 という数列の 5 番目の項を探すというものだった。数列は、eの連続する桁にある 10 桁の数字で構成されており、その桁を合計すると 49 になることが判明した。数列の 5 番目の項は 5966290435 で、127 番目の桁から始まる。^{[69]この 2 番目の問題を解くと、最終的に}Google Labs のウェブページ にたどり着き、訪問者は履歴書を提出するよう求められた。^[70]

公式Python 2インタープリタの最新リリースのバージョン番号は2.7.18で、eを参照しています。^[71]