微分方程式

数学において、微分方程式は1つ以上の未知の関数とその導関数を関連付ける方程式です。^[1]応用分野においては、関数は一般に物理量を表し、導関数はその変化率を表し、微分方程式は両者の関係を定義します。このような関係は一般的であるため、微分方程式は工学、物理学、経済学、生物学など多くの分野で重要な役割を果たしています。

微分方程式の研究は、主にその解（各方程式を満たす関数の集合）とその解の特性の研究から成ります。明示的な公式で解けるのは最も単純な微分方程式だけですが、与えられた微分方程式の解の多くの特性は、正確に計算しなくても決定できます。

多くの場合、解の閉じた形式表現が利用できない場合は、コンピュータを使用して数値的に解を近似することができます。動的システムの理論では、微分方程式で記述されるシステムの定性的な分析に重点が置かれていますが、与えられた精度で解を決定するための数値的手法が数多く開発されてきました。

微分方程式は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる微積分の発明によって誕生しました。1671年の著書『方法論的流動性と連続無限性』 ^[2]の第2章で、ニュートンは3種類の微分方程式を挙げています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

これらすべての場合において、y はx (またはx ₁とx ₂ )の未知の関数であり、f は与えられた関数です。

彼はこれらの例とその他の例を無限級数を使って解き、解の非一意性について論じています。

ヤコブ・ベルヌーイは1695年にベルヌーイ微分方程式を提案した。 ^[3]これは、次の形式の 常微分方程式である。

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

翌年ライプニッツはこれを簡略化して解を得た。^[4]

歴史的に、楽器のような振動する弦の問題は、ジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって研究されました。^{[5] [6] [7] [8]} 1746年にダランベールは1次元波動方程式を発見し、10年以内にオイラーは3次元波動方程式を発見しました。^[9]

オイラー・ラグランジュ方程式は、1750年代にオイラーとラグランジュによって、トートクローン問題の研究に関連して開発されました。これは、出発点とは無関係に、重みのある粒子が一定の時間内に一定の点に落ちる曲線を決定する問題です。ラグランジュは1755年にこの問題を解き、その解をオイラーに送りました。二人はラグランジュの方法をさらに発展させて力学に適用し、ラグランジュ力学の定式化につながりました。

1822年、フーリエは熱の流れに関する研究書「熱の解析理論」^[10]を発表した。その中で彼は、ニュートンの冷却の法則、すなわち、2つの隣接する分子間の熱の流れはそれらの温度の非常に小さな差に比例するという理論に基づいた。この本には、熱の伝導拡散に関するフーリエの熱方程式の提案が含まれていた。この偏微分方程式は現在、数理物理学のカリキュラムの一般的な部分となっている。

古典力学では、物体の運動は時間値が変化するにつれてその位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則により、これらの変数は、位置、速度、加速度、および物体に作用するさまざまな力が与えられた場合、時間の関数としての物体の未知の位置に関する微分方程式として動的に表現できます。

場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くこともできます。

微分方程式を使用して現実世界の問題をモデル化する例としては、重力と空気抵抗のみを考慮した、空中を落下するボールの速度の決定が挙げられます。地面に向かうボールの加速度は、重力による加速度から空気抵抗による減速を引いたものです。重力は一定とみなされ、空気抵抗はボールの速度に比例するものとしてモデル化できます。つまり、ボールの加速度は速度の導関数であり、速度に依存します (速度は時間に依存します)。時間の関数として速度を求めるには、微分方程式を解き、その妥当性を検証する必要があります。

微分方程式はいくつかの種類に分けられます。方程式自体の特性を説明する以外に、これらの微分方程式のクラスは、解法の選択に役立ちます。よく使用される区別には、方程式が常方程式か偏方程式か、線形か非線形か、同次方程式か異次方程式かなどがあります。このリストは網羅的なものではなく、特定の状況で非常に役立つ微分方程式の特性とサブクラスは他にもたくさんあります。

常微分方程式( ODE )は、1 つの実変数または複素変数 xの未知の関数、その導関数、およびxのいくつかの与えられた関数を含む方程式です。未知の関数は一般に変数(多くの場合yと表記) によって表され、したがってxに依存します。したがって、x は方程式の独立変数と呼ばれることがよくあります。「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数に関する場合がある偏微分方程式という用語と対照的に使用されます。

線型微分方程式は、未知の関数とその導関数について線形である微分方程式です。その理論は十分に発達しており、多くの場合、その解は積分によって表現できます。

物理学で遭遇するほとんどの ODE は線形です。したがって、ほとんどの特殊関数は線形微分方程式の解として定義できます (ホロノミック関数を参照)。

一般に、微分方程式の解は閉じた形式の表現では表現できないため、コンピュータ上で微分方程式を解くには 数値法が一般的に使用されます。

偏微分方程式( PDE )は、未知の多変数関数とその偏導関数を含む微分方程式です。(これは、単一変数の関数とその導関数を扱う常微分方程式とは対照的です。) PDE は、複数の変数の関数を含む問題を定式化するために使用され、閉じた形式で解決されるか、関連するコンピュータ モデルを作成するために使用されます。

PDE は、音、熱、静電気、電気力学、流体の流れ、弾性、量子力学など、自然界のさまざまな現象を説明するために使用できます。これらの一見異なる物理現象は、PDE で同様に形式化できます。常微分方程式が 1 次元の動的システムをモデル化するのと同様に、偏微分方程式は多次元システムをモデル化するのがよくあります。確率偏微分方程式は、偏微分方程式を一般化してランダム性をモデル化します。

非線形微分方程式とは、未知の関数とその導関数において線形方程式ではない微分方程式のことである（関数の引数の線形性または非線形性はここでは考慮されない）。非線形微分方程式を正確に解く方法は非常に少なく、知られている方法は通常、方程式が特定の対称性を持つことに依存する。非線形微分方程式は、カオスの特徴である長時間にわたって非常に複雑な動作を示すことがある。非線形微分方程式の解の存在、一意性、拡張可能性、および非線形偏微分方程式の初期値問題と境界値問題の適切性といった基本的な問題でさえ難しい問題であり、特殊なケースでの解決は数学理論の大きな進歩であると考えられている（ナビエ・ストークスの存在と滑らかさを参照）。しかし、微分方程式が意味のある物理プロセスを正しく定式化した表現である場合、解が存在することが期待される。^[11]

線形微分方程式は、非線形方程式の近似として頻繁に現れます。これらの近似は、制限された条件下でのみ有効です。たとえば、調和振動子方程式は、小振幅振動に有効な非線形振り子方程式の近似です。

微分方程式の次数とは、微分方程式に現れる未知の関数の最高次導関数のことである。例えば、 1次導関数のみを含む方程式は1次微分方程式であり、 2次導関数を含む方程式は2次微分方程式である、などである。^{[12] [13]}

未知関数とその導関数における多項式方程式として書かれる場合、その微分方程式の次数は、文脈に応じて、未知関数の最高導関数における多項式次数、 ^[14]、または未知関数とその導関数におけるその全次数となる。特に、線形微分方程式は両方の意味で次数1であるが、非線形微分方程式は最初の意味で次数1であるが、2番目の意味では次数1ではない。 ${\displaystyle y'+y^{2}=0}$

自然現象を記述する微分方程式には、ほとんどの場合、1 次と 2 次の導関数しか含まれませんが、 4 次偏微分方程式である 薄膜方程式などの例外もあります。

最初の例のグループでは、u はxの未知の関数であり、cとω は既知であると想定される定数です。常微分方程式と偏微分方程式の両方の 2 つの大まかな分類は、線形微分方程式と非線形微分方程式、および同次微分方程式と異次微分方程式を区別することです。

• 異質一次線形定数係数常微分方程式:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• 同次2次線形常微分方程式:

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• 調和振動子を記述する同次2次線形定数係数常微分方程式：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• 異種一次非線形常微分方程式:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• 長さLの振り子の運動を記述する 2 次非線形 (正弦関数による) 常微分方程式:

  ${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

次の例のグループでは、未知の関数u は2 つの変数xとtまたはxとyに依存します。

• 同次一次線形偏微分方程式:

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• 楕円型の同次2次線形定数係数偏微分方程式、ラプラス方程式：

  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• 同次3次非線形偏微分方程式、KdV方程式：

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

微分方程式を解くことは代数方程式を解くこととは異なります。微分方程式の解は不明瞭な場合が多いだけでなく、解が一意であるかどうか、あるいは解が存在するかどうかも注目すべき関心対象です。

1 階の初期値問題の場合、ペアノの存在定理により、解が存在する状況のセットが 1 つ与えられます。xy平面上の任意の点が与えられたとき、およびがの内部にあるような長方形領域 を定義します。微分方程式と、 のときという条件が与えられた場合、および が両方とも 上で連続であれば、この問題の解が局所的に存在します。この解は、 を中心とするある区間に存在します。解は一意ではない可能性があります。(他の結果については、常微分方程式を参照してください。) ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle Z}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$${\displaystyle y=b}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle g(x,y)}$${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle a}$

しかし、これは 1 次の初期値問題にのみ役立ちます。n 次の線形初期値問題があったとします。

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

そのような

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}}$

任意の非ゼロのに対して、およびがを含むある区間上で連続であれば、が存在し、は一意である。^[15]${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$

• 遅延微分方程式( DDE) は、通常時間と呼ばれる単一変数の関数の方程式であり、特定の時間における関数の導関数が、それより前の時間における関数の値で表されます。
• 積分方程式は、微分方程式の類似物として考えることができます。微分方程式では、導関数を含む方程式の代わりに、積分が含まれます。
• 積分微分方程式(IDE) は、微分方程式と積分方程式の側面を組み合わせた方程式です。
• 確率微分方程式( SDE) は、未知の量が確率過程であり、方程式にいくつかの既知の確率過程 (たとえば、拡散方程式の場合のウィーナー過程)が含まれる方程式です。
• 確率偏微分方程式( SPDE) は、SDE を一般化して空間時間ノイズプロセスを含めた方程式であり、量子場理論や統計力学に応用されています。
• 超距離擬微分方程式は、超距離空間内のp 進数を含む方程式です。超距離擬微分方程式を含む数学モデルでは、微分演算子の代わりに擬微分演算子を使用します。
• 微分代数方程式(DAE) は、暗黙形式で与えられた微分項と代数項で構成される微分方程式です。

微分方程式の理論は差分方程式の理論と密接に関連しており、座標は離散値のみを想定し、関係には未知の関数の値と近くの座標の値が含まれます。微分方程式の数値解を計算したり、微分方程式の特性を調べたりする多くの方法では、対応する差分方程式の解によって微分方程式の解を近似します。

微分方程式の研究は、純粋数学、応用数学、物理学、工学における幅広い分野です。これらの分野はすべて、さまざまな種類の微分方程式の特性に関係しています。純粋数学は解の存在と一意性に焦点を当てていますが、応用数学は解を近似する方法の厳密な正当性を強調しています。微分方程式は、天体の動きから橋の設計、ニューロン間の相互作用まで、事実上すべての物理的、技術的、または生物学的プロセスをモデル化する上で重要な役割を果たしています。現実の問題を解決するために使用されるような微分方程式は、必ずしも直接解けるとは限りません。つまり、閉じた形式の解はありません。代わりに、数値的方法を使用して解を近似することができます。

物理学と化学の多くの基本法則は、微分方程式として定式化できます。生物学と経済学では、微分方程式は複雑なシステムの挙動をモデル化するために使用されています。微分方程式の数学的理論は、方程式が生まれ、その結果が応用された科学とともに最初に発展しました。しかし、時にはまったく異なる科学分野に由来する多様な問題が、同一の微分方程式を生み出すことがあります。その場合、方程式の背後にある数学的理論は、多様な現象の背後にある統一原理と見なすことができます。例として、大気中の光と音の伝播、および池の表面の波の伝播を考えてみましょう。これらはすべて、同じ2階偏微分方程式である波動方程式で記述できます。これにより、光と音を、よく知られている水中の波のように波の形として考えることができます。ジョセフ・フーリエによって理論が開発された熱伝導は、別の2階偏微分方程式である熱方程式によって支配されます。多くの拡散プロセスは、一見異なっていても、同じ方程式で記述されることがわかります。たとえば、金融における ブラック・ショールズ方程式は熱方程式と関連しています。

さまざまな科学分野で名前が付けられた微分方程式の数は、そのトピックの重要性を証明しています。名前の付いた微分方程式の一覧を参照してください。

一部のCASソフトウェアは微分方程式を解くことができます。主要なプログラムで使用されるコマンドは次のとおりです。

• メープル：^[16] dsolve
• マセマティカ：^[17] DSolve[]
• マキシマ：^[18] ode2(equation, y, x)
• セージマス：^[19] desolve()
• シンピ：^[20] sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Xcas : ^[21] desolve(y'=k*y,y)

• Abbott, P.; Neill, H. (2003).微積分を自分で学ぶ. pp. 266–277.
• Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006).微分方程式. Thompson.
• Boyce, W.; DiPrima, R .; Meade, D. (2017).初等微分方程式と境界値問題. Wiley.
• コディントン、EA; レビンソン、N. (1955)。常微分方程式の理論。マグロウヒル。
• インス、EL（1956）。常微分方程式。ドーバー。
• ジョンソン、W. (1913)。『常微分方程式と偏微分方程式に関する論文』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ミシガン大学歴史数学コレクション
• ポリアニン、AD; ザイツェフ、VF (2003)。常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）。ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス。ISBN 1-58488-297-2。
• ポーター、RI (1978)。「XIX 微分方程式」。さらなる初等解析。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。
• ダニエル・ツヴィリンガー（2014年5月12日）。微分方程式ハンドブック。エルゼビアサイエンス。ISBN 978-1-4832-6396-0。

ウィキクォートに微分方程式に関する引用があります。

ウィキブックスには、 「常微分方程式」というテーマの本があります。

ウィキバーシティには微分方程式に関する学習リソースがあります

ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「微分方程式」のテキストがあります。

• ウィキメディア・コモンズの微分方程式に関連するメディア
• 微分方程式の講義MIT Open CourseWare ビデオ
• オンラインノート / 微分方程式 ポール・ドーキンス、ラマー大学
• 微分方程式、SOS数学
• 微分方程式によるモデリング入門 微分方程式によるモデリング入門と批評的なコメント。
• Web上の数学アシスタントMaximaを使用した記号ODEツール
• 常微分方程式の厳密解
• 物理システムのODEおよびDAEモデルのコレクション Archived 2008-12-19 at the Wayback Machine MATLABモデル
• Diffy Qs に関するメモ: エンジニアのための微分方程式UIUCの Jiri Lebl による微分方程式の入門書
• 微分方程式に関するカーン アカデミー ビデオ プレイリスト。微分方程式の 1 年目のコースで扱われるトピック。
• 微分方程式に関する MathDiscuss ビデオ プレイリスト