ホロノミー

球面上での平行移動の可視化 — 球面上における区分的に滑らかな経路に沿った平行移動。初期ベクトルは次のようにラベル付けされています。 $V$ 曲線に沿って平行移動され、結果として得られるベクトルは次のようにラベル付けされます。 ${\mathcal {P}}_{\gamma }(V)$ 経路が変われば、並行輸送の結果も変わる。

{\displaystyle V} — 球面上における区分的に滑らかな経路に沿った平行移動。初期ベクトルは次のようにラベル付けされています。 $V$ 曲線に沿って平行移動され、結果として得られるベクトルは次のようにラベル付けされます。 ${\mathcal {P}}_{\gamma }(V)$ 経路が変われば、並行輸送の結果も変わる。

微分幾何学において、滑らかな多様体上の接続のホロノミーとは、閉ループに沿った平行移動が、移動される幾何学的データをどの程度保持できないかを示すものです。ホロノミーは、接続の曲率から生じる一般的な幾何学的帰結です。平面接続の場合、関連するホロノミーはモノドロミーの一種であり、本質的に大域的な概念です。曲面接続の場合、ホロノミーは非自明な局所的および大域的な特徴を持ちます。

多様体上のあらゆる種類の接続は、その平行移動写像を通して、何らかのホロノミーの概念を生み出します。最も一般的なホロノミーの形式は、何らかの対称性を持つ接続に関するものです。重要な例としては、リーマン幾何学におけるレヴィ・チヴィタ接続のホロノミー（リーマンホロノミーと呼ばれる）、ベクトル束の接続のホロノミー、カルタン接続のホロノミー、主束の接続のホロノミーなどがあります。これらのいずれの場合も、接続のホロノミーはリー群、すなわちホロノミー群と同一視できます。接続のホロノミーは、アンブローズ・シンガーの定理を通して、接続の曲率と密接に関係しています。

リーマンホロノミーの研究は、数々の重要な発展をもたらしました。ホロノミーは、対称空間を研究し分類するためにエリー・カルタン（1926年）によって導入されました。ホロノミー群がより一般的な設定でリーマン幾何学を研究するために用いられるようになったのは、ずっと後のことです。1952年、ジョルジュ・ド・ラームは、局所ホロノミー群の作用の下で接束を既約空間に分割することにより、リーマン多様体をリーマン多様体のデカルト積に分割する原理であるド・ラーム分解定理を証明しました。その後、1953年にマルセル・ベルジェは可能な既約ホロノミーを分類しました。リーマンホロノミーの分解と分類は、物理学や弦理論に応用されています。

定義

ベクトル束における接続のホロノミー

E を滑らかな多様体M上のランクkベクトル束とし、∇ をE上の接続とする。Mのx を基点とする区分的に滑らかなループγ : [0,1] → Mが与えられたとき、この接続は、 xにおけるEのファイバー上の平行移動写像P _γ : E _x → E _xを定義する。この写像は線形かつ可逆であり、一般線形群GL( E _x )の要素を定義する。xを基点とする ∇ のホロノミー群は次のように定義される。

\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{はxを基点とするループである}}.

xを基点とする制限ホロノミー群は部分群である。 $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ 収縮可能なループγから来ている。

Mがパス連結である場合、ホロノミー群はGL( k , R ) における共役を除いて基点xにのみ依存します。具体的には、γがM内のxからyへのパスである場合、

\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.

E _xとR ^kの異なる同一視を選択することによっても、共役部分群が得られます。場合によっては、特に一般的な議論や非公式な議論（以下など）では、基点への言及を省略することがありますが、これは基点が共役を除いて一意に定義されるという理解に基づいています。

ホロノミー群の重要な性質には以下のようなものがある。

$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ はGL( k , R ) の連結リー部分群である。
$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ は、 $\operatorname {Hol} (\nabla ).$
Mが単連結である場合、 $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
∇ が平坦である（つまり曲率がゼロである）のは、 $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 些細なことです。この場合、 $\operatorname {Hol} (\nabla )$ それでも、決して些細な問題ではないかもしれない。
自然な全射群準同型が存在する $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ どこ $\displaystyle \pi _{1}(M)$ Mの基本群は、ホモトピー類を $[\gamma ]$ 剰余類へ $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$

主束における接続のホロノミー

{\displaystyle P} — 主束上の接続 $P$ 時空と共に $M$ 接空間を各点で分離する $x_{p}$ ファイバーに沿って $G_{p}$ 垂直部分空間へ $V_{p}$ そして水平部分空間 $H_{p}$ 時空上の曲線は、接ベクトルが水平部分空間にある主束内の曲線へと引き上げられる。

主束上の接続のホロノミーの定義は、同様の方法で進められる。Gをリー群、P をパラコンパクトな滑らかな多様体M上の主G束とする。ω をP上の接続とする。M内のx を基点とする区分的に滑らかなループγ : [0,1] → Mと、 x上のファイバー内の点pが与えられたとき、この接続は一意の水平リフトを定義する。 ${\チルダ {\gamma }}:[0,1]\to P$ そのため ${\チルダ {\gamma }}(0)=p.$ 水平リフトの終点、 ${\チルダ {\ガンマ }}(1)$ 一般に、 pではなく、 x上のファイバー内の別の点p · gになります。P上の同値関係~ を、 p ~ qがP内の区分的に滑らかな水平パスで接続できる場合に定義します。

pを基準とした ω のホロノミー群は次のように定義される。

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.

pに基づく制限ホロノミー群は部分群である $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 収縮可能なループγの水平リフトから来る。

MとPが連結している場合、ホロノミー群はGにおける共役を除いて基点pにのみ依存します。具体的には、q がホロノミーの任意の選択された基点である場合、 q ~ p · gとなる一意のg ∈ Gが存在します。このgの値で、

\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.

特に、

\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.

さらに、p ~ qの場合、 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ 上記のように、定義が共役を除いて有効であるという理解のもと、ホロノミー群の基点への言及を省略する場合がある。

ホロノミー群および制限付きホロノミー群の重要な性質には、以下のようなものがある。

$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ はGの連結リー部分群である。
$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ は、 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$
自然な全射群準同型が存在する $\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
Mが単連結である場合 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
ω が平坦である（つまり曲率がゼロである）のは、以下の条件を満たす場合のみである。 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 些細なことだ。

ホロノミーバンドル

M を連結パラコンパクト平滑多様体とし、Pを上記のように接続 ω を持つ主G束とする。p ∈ Pを主束の任意の点とする。H ( p )を、水平曲線でpに接続できるP内の点の集合とする。このとき、明らかな射影写像を持つH ( p ) は、構造群を持つM上の主束であることが示される。 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$ この主束は、接続のホロノミー束（pを経由する）と呼ばれます。接続 ω は、その平行移動写像が H ( p ) を保存するため、H ( p )上の接続に制限されます。したがって、 H ( p ) は接続の縮約束です。さらに、H ( p ) のサブバンドルは平行移動によって保存されないため、これはそのような縮約の最小値です。^{[ 1 ]}

ホロノミー群と同様に、ホロノミー束も周囲の主束P内で同変変換します。詳細には、q ∈ P がホロノミーの別の選択された基点である場合、q ~ p gとなる一意のg ∈ Gが存在します(仮定により、Mはパス連結であるため)。したがって、H ( q ) = H ( p ) gとなります。結果として、異なる基点の選択に対応するホロノミー束上の誘導接続は互いに互換性があります。つまり、それらの平行移動マップは、まったく同じ要素gだけ異なります。

単回投与

ホロノミー束H ( p ) は主束である $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ),$ したがって、制限されたホロノミー群の作用も許容する。 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ （これは全ホロノミー群の正規部分群である）。離散群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ これは接続のモノドロミー群と呼ばれ、商束に作用する。 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$ 全射準同型が存在する ${\displaystyle \varphi$ なので、 $\varphi \left(\pi _{1}(M)\right)$ 行動する $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$ この基本群の作用は、基本群のモノドロミー表現である。 ^{[ 2 ]}

局所的および微小ホロノミー

π: P → Mが主束であり、ω がP内の接続である場合、ω のホロノミーはMの開部分集合上のファイバーに制限することができます。実際、UがMの連結開部分集合である場合、ω はU上の束 π ⁻¹U内の接続を与えるように制限されます。この束のホロノミー（または制限ホロノミー）は次のように表されます。 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)$ (それぞれ) $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)$ ) π( p ) ∈ Uである各pについて。

U ⊂ Vが π( p ) を含む 2 つの開集合である場合、明らかな包含関係が存在する。

\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}

点pにおける局所ホロノミー群は次のように定義される。

\operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})

入れ子になった連結開集合の任意の族U _kに対して $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ 。

局所ホロノミー群は以下の性質を持つ。

これは制限ホロノミー群の連結リー部分群である。 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
すべての点pには、次のような近傍Vが存在する。 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ 特に、局所ホロノミー群は点pのみに依存し、それを定義するために使用される数列U _kの選択には依存しない。
局所ホロノミーは、 Pの構造群Gの要素による並進に関して同変である。すなわち、 $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )$ すべてのg ∈ Gに対して。（なお、性質 1 により、局所ホロノミー群はGの連結リー部分群であるため、随伴群は適切に定義される。）

局所ホロノミー群は、大域的な対象としては必ずしも良好な振る舞いをしない。特に、その次元は一定ではない可能性がある。しかしながら、以下の定理が成り立つ。

局所ホロノミー群の次元が一定であれば、局所ホロノミーと制限ホロノミーは一致する。

\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).

アンブローズ・シンガーの定理

アンブローズ・シンガーの定理（ウォーレン・アンブローズとイサドア・M・シンガーによる1953年の定理）は、主束内の接続のホロノミーと接続の曲率形式を関連付けるものである。この定理の妥当性を確認するために、よく知られているアフィン接続（または接束内の接続、例えばレヴィ・チヴィタ接続）の場合を考えてみよう。曲率は、無限小の平行四辺形の周りを移動するときに生じる。

詳細には、σ: [0, 1] × [0, 1] → Mが変数xとyのペアでパラメータ化されたM内の曲面である場合、ベクトルV はσ の境界に沿って移動できます。まず ( x , 0) に沿って移動し、次に (1, y ) に沿って移動し、続いて ( x , 1) を負の方向に移動し、最後に (0, y ) で原点に戻ります。これはホロノミーループの特殊なケースです。ベクトルVは、σ の境界の持ち上げに対応するホロノミー群要素によって作用されます。曲率は、[0, x ] × [0, y ]上のより小さな平行四辺形の境界をたどって平行四辺形をゼロに縮小するときに明示的に現れます。これは、 x = y = 0で平行移動マップの微分を取ることに相当します。

{\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V

ここでRは曲率テンソルである。^{[ 3 ]}つまり、大まかに言えば、曲率は閉ループ上の無限小ホロノミー（無限小平行四辺形）を与える。より厳密に言えば、曲率はホロノミー群の単位元におけるホロノミー作用の微分である。言い換えれば、R ( X , Y ) はリー代数の要素である。 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$

一般に、構造群Gを持つP上の主束P → Mにおける接続のホロノミーを考える。g をGのリー代数とすると、接続の曲率形式はP上のg値 2 形式 Ωである。アンブローズ・シンガーの定理は次の通りである。^[⁴^]

リー代数

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )

gのすべての要素によって張られる形式は

\Omega _{q}(X,Y)

q は水平曲線でpと結ぶことができるすべての点( q ~ p ) を移動し、XとY はqにおける水平接線ベクトルです。

あるいは、この定理はホロノミーバンドルの観点から言い換えることができる。^{[ 5 ]}

リー代数

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )

は、次の形式の要素によって張られるgの部分空間である。

\Omega _{q}(X,Y)

ここで、q ∈ H ( p ) であり、XとYはqにおける水平ベクトルである。

リーマンホロノミー

リーマン多様体( M , g )のホロノミーは、M への接束上のレヴィ・チヴィタ接続のホロノミー群です。「一般的な」 n 次元リーマン多様体は、 O ( n )のホロノミーを持ち、向き付け可能であればSO( n )のホロノミーを持ちます。ホロノミー群が O( n ) または SO( n )の真部分群である多様体は、特別な性質を持ちます。

リーマンホロノミーに関する最も初期の基本的な結果の 1 つは、ボレルとリヒネロヴィッツの定理(1952)であり、制限ホロノミー群は O( n ) の閉じたリー部分群であると主張しています。特に、それはコンパクトです。

可約ホロノミーとド・ラーム分解

x ∈ Mを任意の点とする。このとき、ホロノミー群 Hol( M )は接空間 T _xMに作用する。この作用は、群表現として既約である場合と、T _xMが直交部分空間 T _xM = T′ _xM ⊕ T″ _xMに分割され、それぞれが Hol( M )の作用の下で不変であるという意味で可約である場合がある。後者の場合、Mは可約であると言われる。

Mが可約多様体であると仮定します。点xを変化させると、各点における接空間の縮小によって形成される束 T′ Mと T″ Mは、フロベニウスの意味で積分可能な滑らかな分布になります。これらの分布の積分多様体は、完全に測地線的な部分多様体です。したがって、 Mは局所的にデカルト積M′ × M″になります。接空間の完全な縮小が達成されるまでこのプロセスを続けると、（局所的な）ド・ラーム同型が導かれます。^{[ 6 ]}

M を単連結リーマン多様体とし、^{[ 7 ]} T M = T ⁽⁰⁾M ⊕ T ⁽¹⁾M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )}M をホロノミー群の作用による接束の完全縮約とする。T ⁽⁰⁾M がホロノミー群の下で不変なベクトル（すなわち、ホロノミー表現が自明なベクトル）から構成されると仮定する。このとき、局所的にMは積と等長である。

V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},

ここで、V _0はユークリッド空間の開集合であり、各V _i^{は T ( i )}Mの積分多様体である。さらに、Hol( M ) は、各M _iのホロノミー群の直積として、ある点を通る T ^{( i )}の最大積分多様体として分解される。

さらに、Mが測地線的に完全であると仮定すると、この定理は大域的に成り立ち、各M _iは測地線的に完全な多様体となる。^{[ 8 ]}

ベルガー分類

1955年、M. Bergerは、単連結で既約（局所的に積空間ではない）かつ非対称（局所的にリーマン対称空間ではない）なリーマン多様体に対する可能なホロノミー群の完全な分類を与えた。Bergerのリストは以下のとおりである。

ホロノミー Sp( n )·Sp(1) を持つ多様体は、1965 年にエドモンド・ボナンとヴィヴィアン・ヨー・クレイネスによって同時に研究され、両者ともそのような多様体は必然的に平行 4 形式を持つことを発見した。

ホロノミーG ₂またはスピン(7)を持つ多様体は、1966年にボナンによって初めて抽象的に研究され、彼はそのような多様体が持つ平行微分形式を分類し、そのような多様体は必然的にリッチ平坦であることを示した。しかし、そのような多様体の実例は、それから30年後まで構築されることはなかった。

Berger の元のリストには、Spin(9) が SO(16) の部分群である可能性も含まれていました。このようなホロノミーを持つリーマン多様体は、後に D. Alekseevski と Brown-Gray によって独立に、必ず局所的に対称、つまりCayley 平面F _{4 /Spin(9) に局所的に等長であるか、局所的に平坦であることが示されました (下記参照)。これらの可能性はすべて、リーマン多様体のホロノミー群として現れることが現在では知られています。最後の 2 つ}_の例外的なケースは、見つけるのが最も困難でした。G 2多様体とSpin(7) 多様体を参照してください。

Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ) であることに注意すると、すべてのハイパーケーラー多様体はカラビ・ヤウ多様体であり、すべてのカラビ・ヤウ多様体はケーラー多様体であり、すべてのケーラー多様体は向き付け可能である。

上記の奇妙なリストは、シモンズによるベルガーの定理の証明によって説明されました。ベルガーの定理の単純で幾何学的な証明は、 2005 年にカルロス E. オルモスによって与えられました。まず、リーマン多様体が局所的に対称な空間ではなく、縮約ホロノミーが接空間に既約に作用する場合、単位球面に推移的に作用することを示します。球面に推移的に作用するリー群は知られています。それらは上記のリストに加えて、2 つの追加のケース、すなわちR ^{16に作用する群 Spin(9) と}R ⁴^mに作用する群T · Sp( m )から構成されます。最後に、これら 2 つの追加のケースのうち最初のケースは、局所的に対称な空間 (ケイリー射影平面に局所的に同型である) のホロノミー群としてのみ現れ、2 番目のケースはホロノミー群としてまったく現れないことを確認します。

ベルガーの当初の分類には、非正定値擬リーマン計量非局所対称ホロノミーも含まれていた。そのリストは、シグネチャ ( p , q ) の SO( p , q ) 、シグネチャ (2 p , 2 q ) の U( p , q )と SU( p , q ) 、シグネチャ (4 p , 4 q ) の Sp( p , q ) と Sp( p , q )·Sp(1)、シグネチャ( n , n ) の SO( n , C )、シグネチャ( 2 n , 2 n ) のSO( n , H )、シグネチャ ( 4 , 3 ) の分割 G ₂、シグネチャ (7, 7) の G ₂ ( C )、シグネチャ (4, 4) の Spin(4, 3)、シグネチャ (7,7) の Spin(7, C )、シグネチャ (8,8) の Spin(5,4)、そして最後にシグネチャ (16,16) の Spin(9, C ) で構成されていました。分割され複素化された Spin(9) は、上記のように必然的に局所的に対称であり、リストには含まれていなかったはずです。複素化されたホロノミー SO( n , C )、G ₂ ( C )、および Spin(7, C ) は、実解析的リーマン多様体を複素化することによって実現できます。最後のケース、SO( n , H ) に含まれるホロノミーを持つ多様体は、R. McLean によって局所的に平坦であることが示されました。^[⁹^]

リーマン対称空間は、同次空間G / Hと局所的に等長であり、Hと同型な局所ホロノミーを持つ。これらも完全に分類されている。

最後に、ベルガーの論文では、ねじれのないアフィン接続のみを持つ多様体の可能なホロノミー群が列挙されています。これについては後述します。

特殊ホロノミーとスピノール

特殊ホロノミーを持つ多様体は、平行スピノルの存在によって特徴付けられます。これは、共変微分がゼロとなるスピノル場を意味します。^{[ 10 ]} 特に、次の事実が成り立ちます。

Hol(ω) ⊂ U (n) は、 M が共変的に定数 (または平行) な射影純粋スピノル場を許容する場合に限り成り立つ。
Mがスピン多様体である場合、Hol(ω) ⊂ SU (n) となるのは、 M が少なくとも 2 つの線形独立な平行な純粋スピノル場を持つ場合のみです。実際、平行な純粋スピノル場は、構造群のSU ( n ) への正準還元を決定します。
Mが7次元スピン多様体である場合、 Mが非自明な平行スピノル場を持つのは、ホロノミーがG ₂に含まれる場合のみである。
Mが8次元スピン多様体である場合、 Mが非自明な平行スピノル場を持つのは、ホロノミーがSpin(7)に含まれる場合に限る。

ユニタリホロノミーと特殊ユニタリホロノミーは、^{ツイスター}理論[ ¹¹^]やほぼ複素構造の研究^[¹⁰^]に関連して研究されることが多い。

アプリケーション

弦理論

特殊ホロノミーを持つリーマン多様体は、弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たします。 ^{[ 12 ]} これは、特殊ホロノミー多様体が共変的に一定の（平行な）スピノルを許容し、元の超対称性の一部を保持するためです。最も重要なのは、 SU(2)またはSU(3)ホロノミーを持つカラビ・ヤウ多様体上のコンパクト化です。G2多様体上のコンパクト化も_重要です。

機械学習

リーマン多様体のホロノミーを計算することは、機械学習、特に多様体学習の文脈において、データ多様体の構造を学習する方法として提案されている。ホロノミー群はデータ多様体の全体構造に関する情報を含んでいるため、データ多様体がどのように部分多様体の積に分解されるかを特定するために使用できる。有限サンプリング効果のため、ホロノミーを正確に計算することはできないが、ベクトル拡散マップと同様のスペクトルグラフ理論のアイデアを使用して数値近似を構築することは可能である。結果として得られるアルゴリズムである幾何学的多様体成分推定器（GeoManCEr）は、実世界のデータに適用できるド・ラーム分解の数値近似を与える。^{[ 13 ]}

アフィンホロノミー

アフィンホロノミー群とは、ねじれのないアフィン接続のホロノミーとして生じる群のことです。リーマン群や擬リーマン群ではないホロノミー群は、非計量ホロノミー群とも呼ばれます。ド・ラーム分解定理はアフィンホロノミー群には適用されないため、完全な分類は不可能です。しかし、既約アフィンホロノミーを分類することは依然として自然なことです。

リーマンホロノミー群の分類を行う過程で、ベルガーは、局所的に対称でないねじれのないアフィン接続のホロノミー群のリー代数が満たさなければならない2つの基準を考案した。そのうちの1つは、ベルガーの第1基準として知られており、曲率がホロノミー代数を生成するというアンブローズ・シンガーの定理の結果である。もう1つは、ベルガーの第2基準として知られており、接続が局所的に対称であってはならないという要件から導かれる。ベルガーは、既約に作用し、かつこれら2つの基準を満たす群のリストを提示した。これは、既約アフィンホロノミーの可能性のリストとして解釈できる。

ベルガーのリストは後に不完全であることが判明し、R. ブライアント(1991) および Q. チー、S. メルクロフ、L. シュヴァッハヘーファー (1996) によってさらに多くの例が発見されました。これらは、エキゾチックなホロノミーと呼ばれることもあります。例の探索は最終的に、メルクロフとシュヴァッハヘーファー (1999) による既約アフィンホロノミーの完全な分類につながり、ブライアント (2000) は、彼らのリストにあるすべてのグループがアフィンホロノミーグループとして出現することを示しました。

メルクロフ・シュヴァッハヘーファー分類は、リスト上の群と特定の対称空間、すなわちエルミート対称空間と四元数ケーラー対称空間との関連性によって大幅に明確化されました。この関係は、シュヴァッハヘーファー（2001）によって示されたように、複素アフィンホロノミーの場合に特に明確です。

V を有限次元複素ベクトル空間とし、H ⊂ Aut( V ) を既約半単純複素連結リー部分群とし、K ⊂ Hを極大コンパクト部分群とする。

G /(U(1) · K )の形の既約エルミート対称空間が存在する場合、HとC *· Hは非対称既約アフィンホロノミー群であり、V はKの接線表現である。
G /(Sp(1) · K )の形の既約四元数ケーラー対称空間が存在する場合、 Hは非対称既約アフィンホロノミー群であり、dim V = 4 の場合のC * · Hも同様です。ここで、Sp(1) · Kの複素化された接線表現はC ² ⊗ Vであり、H はV上の複素シンプレクティック形式を保存します。

これら2つの族は、以下のものを除くすべての非対称既約複素アフィンホロノミー群を生成する。

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}

エルミート対称空間の分類を用いると、最初の族は次の複素アフィンホロノミー群を与える。

{\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}

ここで、Z _Cは自明であるか、または群C * である。

四元数ケーラー対称空間の分類を用いると、第2の族は次のような複素シンプレクティックホロノミー群を与える。

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}

（2行目では、n = 2でない限り、 Z _Cは自明な値でなければならない。）

これらのリストから、リーマンホロノミー群が球面上に推移的に作用するというサイモンズの結果の類似例が観察される。すなわち、複素ホロノミー表現はすべて前均質ベクトル空間である。この事実の概念的な証明は知られていない。

既約な実アフィンホロノミーの分類は、上記のリストと、実アフィンホロノミーが複素ホロノミーに複素化されるという事実を用いて、注意深く分析することで得られる。

語源

コーシーの弟子であるブリオ（1817年- 1882年）とブーケ（1819年- 1895年）によって導入された「ホロモルフィック」という類似語があり、ギリシャ語のὅλος（holos）「全体」とμορφή（morphē）「形」または「外観」に由来する。^[¹⁴^] 「ホロノミー」の語源は「ホロモルフィック」（ holos ）と前半部分を共有している。後半部分については次のとおりである。

「ウェブ上でholonomic（またはholonomy）の語源を見つけるのは驚くほど難しい。プリンストン大学のジョン・コンウェイ氏のおかげで、以下の情報を見つけることができた。「これはポワンソが剛体の運動解析で初めて用いた言葉だと私は考えている。この理論では、ある意味で局所的な情報から全体的な情報を復元できる場合、そのシステムは「ホロノミック」と呼ばれる。したがって、「全体法則」という意味はまさに適切である。テーブル上でボールを転がすのは非ホロノミックである。なぜなら、同じ地点に到達するまでに異なる経路をたどれば、ボールの向きは異なるからである。しかし、『holonomy』が『全体法則』を意味すると言うのは、おそらく少し単純化しすぎている。ギリシャ語の語根『nom』には多くの意味が絡み合っており、おそらく最も頻繁には『数えること』を指す。これは、私たちの『number』という単語と同じインド・ヨーロッパ祖語の語根に由来する。」」

— S. ゴルワラ、^{[ 15 ]}

νόμος ( nomos ) および-nomy を参照してください。

語源とは裏腹に、「ホロノミー」を持つことは「完全法則」を持つことを意味するわけではない。むしろ、「非自明なホロノミー」を持つことは「完全法則を持たない」ことを意味する。「完全法則」を持つ場合は「自明なホロノミー」と呼ばれる。このように、「ホロノミー」は「非ホロノミー」や「非ホロノミー」とほぼ同じ意味を持つことになる。

「ホロノミー」の本来の意味である「完全な法則を持つ」という概念は、古典力学においてのみ保持されており、古典力学では「ホロノミックシステム」とは、その制約条件が完全な法則を持つ力学的システムのことである。

注記

↑小林＆野水 1963 、§II.7
↑シャープ 1997 、§3.7
↑スピヴァク 1999 、p. 241
↑スターンバーグ 1964 、定理 VII.1.2
↑小林＆野水 1963 年、第 1 巻、§II.8
↑小林＆野水 1963 、§IV.5
↑この定理は単連結でない多様体にも一般化できますが、その記述はより複雑になります。
↑小林＆野水 1963 、§IV.6
↑ブライアント、ロバート L. (1996)、「古典的、例外的、エキゾチックなホロノミー: 現状報告書」(PDF)、Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy、1992)、Sémin。会議、vol. 1、Soc.数学。フランス、パリ、 93–165ページ、ISBN 2-85629-047-7MR 1427757
1 2 Lawson & Michelsohn 1989 、§IV.9–10
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さらに読む

特殊ホロノミー多様体に関する文献、フレデリック・ウィットによる参考文献目録。

[1] 小林＆野水 1963 、§II.7

[2] シャープ 1997 、§3.7

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[4] スターンバーグ 1964 、定理 VII.1.2

[5] 小林＆野水 1963 年、第 1 巻、§II.8

[6] 小林＆野水 1963 、§IV.5

[7] この定理は単連結でない多様体にも一般化できますが、その記述はより複雑になります。

[8] 小林＆野水 1963 、§IV.6

[9] ブライアント、ロバート L. (1996)、「古典的、例外的、エキゾチックなホロノミー: 現状報告書」(PDF)、Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy、1992)、Sémin。会議、vol. 1、Soc.数学。フランス、パリ、 93–165ページ、ISBN 2-85629-047-7MR 1427757

[Lawson-10] 1 2 Lawson & Michelsohn 1989 、§IV.9–10

[11] バウムら、1991年

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ツイスター

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