ケイリー平面

数学において、ケーリー平面（または八元数射影平面）P ² ( O ) は八元数上の射影平面である。^[1]

ケイリー平面は 1933 年にルース・ムーファンによって発見され、八元数について記述した 1845 年の論文でアーサー・ケイリーにちなんで命名されました。

プロパティ

ケーリー平面では、直線と点を自然に定義できるため、2次元の射影空間、つまり射影平面になります。これは非デザルグ平面であり、デザルグの定理は成り立ちません。

より正確には、2005年現在、ケイリー平面と呼ばれるオブジェクトは2つあり、実ケイリー平面と複素ケイリー平面である。実ケイリー平面は対称空間 F ₄ /Spin(9)であり、F _4は例外リー群のコンパクト形式であり、Spin(9)は9次元ユークリッド空間のスピン群（F ₄で実現）である。これは、0、8、16次元の3つのセルにセル分解できる。^[2]

複素ケイリー平面は、放物型部分群P ₁による群E ₆の複素化の下での同次空間である。これは、 E ₆の最小複素表現の射影化における閉軌道である。複素ケイリー平面は、2つの複素 F _{4軌道から構成される。閉軌道は、複素化された F}₄を放物型部分群で割ったものであり、開軌道は実ケイリー平面の複素化であり、 ^[3]それに引き戻される。

参照

ローゼンフェルド射影平面

注記

^ バエズ（2002年）。
^ イリエフとマニベル（2005年）。
^ アヒエゼル（1983年）。

参考文献

Baez, John C. (2002). 「八元数」.アメリカ数学会報. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. ISSN 0273-0979. MR 1886087.
Iliev, A.; Manivel, L. (2005). 「ケーリー平面のチョウ環」. Compositio Mathematica . 141 : 146. arXiv : math/0306329 . doi :10.1112/S0010437X04000788.
Ahiezer, D. (1983). 「同次代数多様体の同次因子による同次完備化」. Annals of Global Analysis and Geometry . 1 : 49–78. doi :10.1007/BF02329739.
Baez, John C. (2005). 「八元数の正誤表」(PDF) .アメリカ数学会報. 42 (2): 213–213. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01052-9 .
McTague, Carl (2014). 「ケイリー平面と弦のボルディズム」.幾何学とトポロジー. 18 (4): 2045–2078. arXiv : 1111.4520 . doi :10.2140/gt.2014.18.2045. MR 3268773. Zbl 1323.55007.
ヘルムート・ザルツマンら。「コンパクトな射影平面。八元数幾何学の入門」; de Gruyter Expositions in Mathematics、21。Walter de Gruyter & Co.、ベルリン、1995。xiv+688 pp. ISBN 3-11-011480-1

[Baez2002-1] バエズ（2002年）。

[IlievManivel05-2] イリエフとマニベル（2005年）。

[Ahiezer83-3] アヒエゼル（1983年）。