概同次ベクトル空間

数学において、概均質ベクトル空間 (PVS)は、有限次元ベクトル空間 Vと一般線型群GL( V )の部分群Gであって、 G がV内に開いた稠密軌道を持つものである。概均質ベクトル空間という用語は、佐藤幹夫によって1970 年に導入された。これらの空間は、幾何学、数論、解析学、および表現論において多くの応用がある。既約 PVS は、 G が単純な特殊なケースとして 1960 年の論文で最初に Vinberg によって分類され、その後、佐藤と木村達夫によって 1977 年に「キャスリング」と呼ばれる変換によって一般的なケースとして分類された。それらは、 G の半単純部分が概均質的に作用するかどうかによって 2 つのタイプに細分される。そうでない場合、Gの半単純部分に関して不変であるV上の同次多項式が存在する。

Sato の設定では、Gは代数群で、VはGの有理表現で、ザリスキ位相における (空でない) 開軌道を持ちます。しかし、PVS はリー理論の観点からも研究できます。たとえば、Knapp (2002) では、Gは複素リー群で、V は開いた稠密軌道を持つGの正則表現です。この 2 つのアプローチは本質的に同じであり、理論は実数に対して有効です。表記を簡単にするために、GのVへの作用は忠実な表現であると仮定します。すると、 G をGL( V )の像と同一視できますが、実際にはG を被覆群とすると便利な場合もあります。

概均質ベクトル空間は必ずしも既約な直和に分解されるわけではないが、既約なPVS（すなわち、VがGの既約表現である場合）を研究するのは自然である。この場合、エリー・カルタンの定理は以下を示している。

G ≤ GL( V )

は、中心がせいぜい1次元である簡約群である。これは、明らかな次元制限と相まって、

暗G ≥ 暗V、

佐藤・木村分類の重要な要素です。

PVS の分類は、次の事実によって複雑になります。m > n > 0 で、V が体 F 上の G の m 次元表現であるとします。すると、次のよう になります。

( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ )が PVS である場合、かつその場合のみ、( G × SL( m − n ), V ^* ⊗ F ^{m − n} )が PVS である。

証明は、両方の条件が、Vのn平面の グラスマン多様体に対するGの作用の開いた稠密な軌道が存在することと同値であることを観察することです。これは、 V ^*の( m − n )平面 の​​グラスマン多様体と同型であるためです。

（ Gが簡約的である場合、ペア（G、V）は、 Gの自己同型によって ペア（G、V ^*）と同値になります。）

この PVS の変換はキャスリングと呼ばれます。PVS  Vが与えられた場合、V をF でテンソル化してキャスリングすることで、新しい PVS を取得できます。このプロセスを繰り返し、テンソル積を再グループ化することで、多くの新しい例を取得できます。これらは「キャスリング同等」と呼ばれます。したがって、PVS はキャスリング同等クラスにグループ化できます。佐藤と木村は、このような各クラスには、本質的に最小次元の PVS が 1 つ存在することを示し、これを「縮小」と呼び、縮小された既約 PVS を分類します。

既約な簡約 PVS ( G , V )の分類は、 G が半単純である場合と、 1 次元の中心を持つ簡約である場合の 2 つのケースに分かれます。 Gが半単純であれば、 SL( V )の部分群 (の被覆である可能性もあります) であり、したがってG × GL(1) は1 次元の中心を持つVに概同次的に作用します。 1 次元の中心を持つ PVS から、半単純 PVS のこのような自明な拡張を除外します。 言い換えると、 G が1 次元の中心を持つ場合、半単純部分は概同次的に作用しないと仮定します。したがって、相対不変量、つまり、 Gの半単純部分の下で関数不変量があり、特定の次数dで同次であることが分かります。

これにより、半単純G ≤ SL( V )に注目を限定し、分類を次のように分割する ことが可能になる。

1. （G、V）はPVSである。
2. ( G , V )はPVSではないが、( G ×GL(1), V )はPVSである。

しかし、GL(1) だけでなく、SL( n ) および GL( n ) との積も許容すると、分類ははるかに短くなることがわかります。これは、前述のキャスリング変換の観点からは非常に自然です。したがって、以下のいずれかを 満たす半単純G ≤ SL( V )およびn ≥ 1に関して、既約な簡約 PVS を分類します。

1. ( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ )はPVSである。
2. ( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ )はPVSではありませんが、( G × GL( n ), V ⊗ F ⁿ )はPVSです。

後者の場合、G × GL( n )軌道をG × SL( n )軌道に分離する同次多項式が存在します。

これは、 Vのn平面のグラスマン多様体 Gr _n ( V ) の観点から解釈できます(少なくともn ≤ dim Vの場合)。どちらの場合も、G は稠密な開軌道Uで Gr _n ( V )に作用します。最初のケースでは、補集合Gr n ( V ) ∖ U は余次元≥ 2を持ちます。2 番目のケースでは、補集合Gr _n ( V ) ∖ U は、ある次数dの 約数であり、相対不変量は次数ndの同次多項式です 。

以下では、複素数についての分類リストを示します。

^*厳密に言えば、簡約された例を得るためには n ≤ (dim V )/2に制限する必要があります。

タイプ1

C ¹⁶上のスピン (10, C )

タイプ2

C ^{2 m} ⊗ C ³上のSp(2 m , C ) × SO(3, C )

これらの例は両方ともn = 1の場合のみの PVS です。

残りの例はすべてタイプ 2 です。出現する有限群の議論を避けるため、リストでは等方性群そのものではなく、等方性群の リー代数を示します。

ここでΛ³
₀C ⁶ ≅ C ^{14 は、}与えられたシンプレクティック形式との縮約がゼロである 3 形式の空間を表します。

佐藤と木村は、 Gが簡約的であることと次元制限を利用して、可能性のある既約な前同次( G、V )のリストを作成することによってこの分類を確立します。次に、このリストの各メンバーが前同次であるかどうかを確認します。

しかし、一般化された旗多様体の等方性表現の観点から、分類におけるペア( G、V )のほとんどが概同次である理由については一般的な説明がある。実際、1974 年にRichardson は、 H が放物線部分群Pを持つ半単純リー群である場合、そのリー代数のnilradical ^⊥へのPの作用は稠密な開軌道を持つことを観察したものである。これは特に (また1975 年にVinbergによって独立に指摘されたが)、 Pのレヴィ因子G がV  := ^⊥ /[ ^⊥、^⊥ ]に概同次的に作用することを示す。分類におけるほとんどすべての例は、 P を単純リー群Hの最大放物線部分群に適用することで得られ、これらは 1 つの区別されたノードを持つ連結されたDynkin 図によって分類される。   ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

PVS が興味深い理由の 1 つは、 G不変な状況で発生する一般的なオブジェクトを分類することです。たとえば、G = GL(7)の場合、上の表は、 Gの作用下で一般的な 3 形式が存在し、そのような 3 形式の安定化因子が例外リー群G ₂と同型であることを示しています。

もう 1 つの例は、3 次相対不変量を持つ概同次ベクトル空間に関するものです。佐藤-木村分類によれば、本質的にはそのような例は 4 つあり、それらはすべて、より大きなグループHのエルミート対称空間の複素等方性表現から生じます(つまり、Gは点の安定子の半単純部分であり、V は対応する接線表現です)。

いずれの場合も、 Vの一般点は、それを3 × 3エルミート行列のジョルダン代数（それぞれR、C、H 、およびOの分割代数上）の複素化と同一視し、3 次相対不変量は適切な行列式と同一視されます。このような一般点の等方性代数、 Gのリー代数、およびHのリー代数は、フロイデンタールの魔方陣の最初の 3 行の複素化を与えます。

他のエルミート対称空間は、その一般点が同様の方法でジョルダン代数を定義する概同次ベクトル空間をもたらします。

最後の行のジョルダン代数J ( m − 1)はスピン因子（ベクトル空間R ^{m −1} ⊕ Rであり、 R ^{m −1}上の内積を使用して定義されたジョルダン代数構造を持つ ）です。これは、 m = 3、4、6、10 に対してそれぞれ J ₂ ( R )、J ₂ ( C )、J ₂ ( H )、J ₂ ( O ) に簡約されます。

エルミート対称空間とジョルダン代数の関係は、ジョルダン三重系を使用して説明できます。

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