幾何学的位相

古典力学および量子力学において、幾何学的位相（パンチャラトナム・ベリー位相、パンチャラトナム位相、またはベリー位相とも呼ばれる）は、システムが周期的な断熱過程を受けるときに、ハミルトニアンのパラメータ空間の幾何学的性質から生じる、サイクル中に獲得される位相差である。^[¹^]この現象は、古典光学においてS.パンチャラトナム（1956年）^[²^]と分子物理学においてH.C.ロンゲ・ヒギンズ（1958年）^[³^]によって独立に発見され、後にマイケル・ベリーによって（1984年）一般化された。^[⁴^]古典力学におけるその類似物はハネイ角である。

ポテンシャルエネルギー面の円錐交差^[³^]^[⁵^]やアハロノフ・ボーム効果に見られる。 C ₆ H ₃ F ₃⁺分子イオンの基底電子状態を含む円錐交差周辺の幾何学的位相については、Bunker と Jensen の教科書の 385–386 ページで議論されている。^[⁶^]アハロノフ・ボーム効果の場合、断熱パラメータは2 つの干渉経路に囲まれた磁場であり、これらの 2 つの経路がループを形成するという意味で周期的である。円錐交差の場合、断熱パラメータは分子座標である。量子力学以外にも、古典光学などのさまざまな波動系で発生する。経験則として、トポロジーの何らかの特異点または穴の近傍で波を特徴付けるパラメータが少なくとも 2 つある場合はいつでも発生する可能性がある。非特異状態の集合が単連結でないか、または非ゼロのホロノミーが存在するかのいずれかであるため、2つのパラメータが必要です。

波は振幅と位相によって特徴づけられ、これらのパラメータの関数として変化する可能性があります。幾何学的位相は、両方のパラメータが同時に、しかし非常にゆっくりと（断熱的に）変化し、最終的に初期構成に戻されるときに発生します。量子力学では、これは粒子の回転だけでなく並進も伴う可能性があり、それらは明らかに最後に元に戻されます。システムの波は、振幅と位相によって特徴づけられる初期状態（時間の経過を考慮に入れた場合）に戻ると予想されます。しかし、パラメータの変動が自己回帰的な往復変動ではなくループに対応する場合、初期状態と最終状態の位相が異なる可能性があります。この位相差が幾何学的位相であり、その発生は通常、システムのパラメータ依存性が特定のパラメータの組み合わせに対して特異である（その状態が定義されていない）ことを示しています。波動システムの幾何学的位相を測定するには、干渉実験が必要です。

フーコー振り子は、幾何学的位相を説明するために用いられることがある古典力学の例である。断熱駆動される調和振動子の幾何学的角度も、古典力学のもう一つの簡単な例である。^{[ 7 ]}

量子力学におけるベリー位相

n番目の固有状態にある量子系において、ハミルトニアンの断熱的変化によって、系はハミルトニアンのn番目の固有状態にとどまりつつ、位相因子も得られる。得られる位相は、状態の時間発展による寄与と、変化するハミルトニアンに伴う固有状態の変化による寄与の2つから成る。後者の項はベリー位相に対応し、ハミルトニアンの非周期的変化の場合、時間発展の各点におけるハミルトニアンの固有状態に対応する位相を異なるように選択することで、この項をゼロにすることができる。

しかし、変動が周期的である場合、ベリー位相は打ち消すことができず、不変となり、システムの観測可能な特性となる。マックス・ボルンとウラジミール・フォックが『Zeitschrift für Physik』51、165 （1928）で示した断熱定理の証明を復習することで、断熱過程全体の変化を位相項として特徴づけることができる。断熱近似の下では、断熱過程におけるn番目の固有状態の係数は次のように与えられる。 $C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$ どこ $\gamma _{n}(t)$ はパラメータtに関するベリー位相です。変数tを一般化パラメータに変換すると、 ${\bf {R}}(t),\partial /\partial t\rightarrow -i\partial /\partial {\bf {R}}(t),$ ベリーのフェーズを次のように書き換えることができます。 $\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n({\bf {R}}(t))|{\bf {\nabla }}_{\bf {R}}|n({\bf {R}}(t))\rangle \,d{\bf {R}},$ どこ $R$ 周期的断熱過程をパラメータ化する。正規化に注意する。 $|n,t\rangle$ これは、被積分関数が虚数であることを意味するので、 $\gamma _{n}[C]$ 現実です。そして、閉じた道があります。 $C$ 適切なパラメータ空間において。閉じた経路に沿った幾何学的位相 $C$ また、ベリー曲率を囲まれた表面上で積分することによって計算することもできます。 $C$ 。

幾何学的位相の例

フーコーの振り子

最も簡単な例の 1 つはフーコーの振り子です。幾何学的位相の観点からの簡単な説明は、ウィルチェックとシャペールによって与えられています。^{[ 8 ]}

振り子が一般的な経路Cに沿って移動する場合、どのように歳差運動を起こすのでしょうか?赤道に沿って移動する場合、振り子は歳差運動を起こしません。[...] ここで、C が測地線セグメントで構成されている場合、歳差運動はすべて測地線セグメントが交わる角度から生じます。総歳差運動は正味の欠損角に等しく、これはCによって囲まれた立体角を2πで割った値に等しくなります。最後に、任意のループを測地線セグメントのシーケンスで近似できるため、最も一般的な結果 (球面上にあるか球面外にあるか) は、正味の歳差運動が囲まれた立体角に等しいということです。

言い換えれば、振り子を歳差運動させるような慣性力は存在しないため、歳差運動（振り子が運ばれる経路の運動方向に対する相対的な歳差運動）は、完全にこの経路の回転によるものです。したがって、振り子の向きは平行移動します。オリジナルのフーコー振り子の場合、経路は緯度円であり、ガウス・ボンネの定理により、位相シフトは囲まれた立体角で与えられます。^{[ 9 ]}

導出

球面上の閉じたループ、例えば球面三角形の周りのベクトルを考えてみましょう。そのベクトルがねじれる角度 $α$ は、ループの内側の面積に比例し、以下で検討します。

地球とほぼ同調して運動するが、地球の自転とは連動しない慣性系では、振り子のおもりは恒星日の間に円軌道を描く。つまり、吊り下げ棒に沿った振動はごくわずかであるため、平面軌道を描くことになる。

パリの緯度、北緯48度51分では、歳差運動の周期は32時間弱です。そのため、恒星日が経過して地球が1日前と同じ向きに戻ると、振動面は270度強回転しています。もし振動面が当初南北方向だった場合、1日後には東西方向になります。

これは運動量の交換があったことを意味します。つまり、地球と振り子のおもりが運動量を交換したということです。地球は振り子のおもりよりもはるかに質量が大きいため、地球の運動量の変化は目に見えません。しかし、振り子のおもりの揺れる面が移動したため、保存則によれば運動量の交換が起こったはずです。

振動面の歳差運動は、微小回転を合成することによって実証でき、歳差運動の速度は、地球の角速度を地球の法線方向に投影した値に比例します。上記で述べた球面三角形の形をしたループの面積は $(A+B+N-\pi )r^{2}$ 、どこ $r$ は球の半径であり、 $A,B,N$ は球面角です。^{[ 10 ]}この球面三角形は、ループに拡張できます。 $N=2\pi ,$ となることによって $A+B=\pi +\alpha .$ 24 時間後、地球座標系におけるトレースの初期方向と最終方向の差は $α = -2 π sin φ$ であり、これはガウス・ボンネの定理によって与えられる値に対応します( $1/r²$ はガウス曲率です。α $は$ 振り子のホロノミーまたは幾何学的位相とも呼ばれます。地球上の運動を解析する場合、地球座標系は慣性座標系ではなく、1 日あたり2π sin φラジアンの実効速度で局所鉛直軸を中心に回転します。地球の表面に接する円錐内の平行移動を利用した簡単な方法で、フーコーの振り子のスイング面の回転角を記述できます。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

地球座標系（測定円と観測者は地球上にあり、観測者が移動する際にコリオリ力に対する地形の反応が知覚されない場合でも）の観点から、 $x$ 軸が東、 $y$ 軸が北を指す直交座標系を用いると、振り子の歳差運動はコリオリ力によるものである（重力や遠心力などの他の仮想的な力は直接的な歳差運動成分を持たない）。小角近似において、一定の固有振動数 $ω$ を持つ平面振り子を考える。振り子のおもりには2つの力が作用する。重力とワイヤーによる復元力と、コリオリ力である（重力による復元力に反対する遠心力は無視できる）。緯度 $φ$ におけるコリオリ力は小角近似では水平であり、次式で表される。 ${\begin{aligned}F_{{\text{c}},x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\F_{{\text{c}},y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi ,\end{aligned}}$ ここで、 $Ω$ は地球の自転周波数、 $F c, x$ $はコリオリ力のx$ 方向成分、 $F c, y$ $はコリオリ力のy$ 方向成分である。

小角近似で遠心力を無視した場合の復元力は、次式で与えられる。 ${\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}$

ニュートンの運動法則を用いると、次の連立方程式が得られる。 ${\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}$

複素座標 $z = x + iy$ に切り替えると、方程式は次のようになる。 ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0.$

$Ω / ω$ の一次近似では、この方程式 $の$ 解は次のようになる $。$ $z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).$

時間を日数で測ると、 $Ω = 2π となり$ $、振り子は 1 日で-2π sin φ$ $の$ 角度だけ回転します。これらの方程式の数学的説明、つまり導出などは、古典力学の多くの教科書に記載されています。^{[ 13 ]}

立体角の導出 $\Omega '$ 振り子のおもりが1日で掃過する角度緯度 $\phi$ パップスの定理を思い出せば、これは実際には自明である。^{[ 14 ]}この定理によれば、半径の球の表面積は $r$ （ここでいう地球の）つまり $4\pi r^{2}$ は、半径の円筒のそれと等しい。 $r$ つまり $4\pi r^{2}=2\pi r\times 2r$ この定理によれば、簡単に確認できるように、この等式は球のあらゆる断面に適用される。したがって、振り子のおもりの軌道によって定義される球冠が最大高さを持つ場合、 $h$ 緯度 $\phi$ 、我々は持っています $h=r-r\sin \phi .$ 立体角 $\Omega '$ キャップで囲まれた部分は、

{\frac {\rm {area\;of\;cap}}{\rm {area\;of\;sphere}}}={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}={\frac {\Omega '}{4\pi }},

そしてそれゆえに $\Omega '=2h/r=2\pi (1-\sin \phi )=\Omega \;{\rm {modulo}}\;2\pi .$ 赤道で $\phi =0,\Omega '=2\pi ,$ そして北極では $\phi =\pi /2,\Omega '=0.$ 振動周期は $T=2\pi /\omega \sin \phi$ 、どこ $\omega =2\pi /1\;{\rm {day}}=7.26\times 10^{-5}/s.$

光ファイバー内の偏光

2つ目の例は、直線偏光がシングルモード光ファイバーに入射する場合です。ファイバーが空間内で何らかの経路を描き、光が入射時と同じ方向にファイバーから出射するとします。次に、入射時の偏光と出射時の偏光を比較します。半古典近似では、ファイバーは導波路として機能し、光の運動量は常にファイバーに接しています。偏光は、運動量に垂直な方向と考えることができます。ファイバーが経路を描くにつれて、光の運動量ベクトルは運動量空間の球面上に経路を描きます。光の初期方向と最終方向が一致するため、経路は閉じており、偏光は球面に接するベクトルです。運動量空間への移行は、ガウス写像を取ることと同等です。偏光を回転させる力はなく、球面に接し続けるという制約だけです。したがって、偏光は平行移動し、位相シフトは囲まれた立体角（スピンの倍数、光の場合は 1）によって与えられます。^{[ 15 ]}

確率的ポンプ効果

確率ポンプは、パラメータの周期的な変化に対して平均的にゼロでない電流で応答する古典的な確率システムです。確率ポンプ効果は、確率電流のモーメント生成関数の進化における幾何学的位相の観点から解釈できます。^{[ 16 ]}

スピン1/2

磁場中のスピン1/2粒子の幾何学的位相は厳密に評価できる。 ^[¹^]

アトラクター上で定義された幾何学的位相

ベリーの定式化はもともと線形ハミルトン系に対して定義されたものですが、NingとHaken ^{[ 17 ]}はすぐに、特定の周期的アトラクターを持つ非線形散逸系など、まったく異なるシステムに対しても同様の幾何学的位相を定義できることに気付きました。彼らは、特定の対称性を持つ非線形散逸系のクラスにそのような周期的アトラクターが存在することを示しました。^{[ 18 ]}ベリーの位相のこの一般化にはいくつかの重要な側面があります。1) 元のベリー位相のパラメータ空間の代わりに、このNing-Hakenの一般化は位相空間で定義されます。2) 量子力学系における断熱的発展の代わりに、位相空間におけるシステムの発展は断熱的である必要はありません。時間的発展の時間スケールに制限はありません。3) エルミート系または線形減衰を持つ非エルミート系の代わりに、システムは一般に非線形かつ非エルミートであることができます。

分子断熱ポテンシャル面の交差における露出

ボルン・オッペンハイマーの枠組み内で分子の幾何学的位相を計算する方法はいくつかある。その一つは「非断熱結合」を用いる方法である。 $M\times M$ 行列は次のように定義されます。 $\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$ どこ $\psi _{i}$ は、原子核パラメータに依存する断熱電子波動関数である。 $R_{\mu }$ 非断熱結合は、場の理論におけるウィルソンループ（1974年）に類似したループ積分を定義するために使用でき、これはM. Baer（1975年、1980年、2000年）によって分子フレームワーク向けに独自に開発されたものである。閉じたループが与えられた場合 $\Gamma$ パラメータ化 $R_{\mu }(t),$ どこ $t\in [0,1]$ はパラメータであり、 $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$ D行列は次のように与えられる。 $D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$ （ここ ${\hat {P}}$ はパス順序記号です。 $M$ が十分に大きい場合（つまり、十分な数の電子状態が考慮されている場合）、この行列は対角行列となり、対角要素は $e^{i\beta _{j}},$ どこ $\beta _{j}$ ループに関連付けられた幾何学的位相は、 $j$ －番目の断熱電子状態。

時間反転対称電子ハミルトニアンの場合、幾何学的位相はループによって囲まれた円錐交点の数を反映します。より正確には、 $e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$ どこ $N_{j}$ は断熱状態を含む円錐交差の数である。 $\psi _{j}$ ループで囲まれている $\Gamma .$

D行列アプローチの代替案としては、パンチャラトナム位相の直接計算が挙げられます。これは、単一の断熱状態の幾何学的位相のみに関心がある場合に特に有用です。このアプローチでは、数をとります。 $N+1$ ポイント $(n=0,\dots ,N)$ ループに沿って $R(t_{n})$ と $t_{0}=0$ そして $t_{N}=1,$ そして、 j番目の断熱状態のみを使用する $\psi _{j}[R(t_{n})]$ 重なり部分のパンチャラトナム積を計算します。 $I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$

極限では $N\to \infty$ （説明といくつかの応用例については、Ryb & Baer 2004を参照） $I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$

幾何学的位相とサイクロトロン運動の量子化

磁場にさらされた電子 $B$ 円軌道（サイクロトロン軌道）を描いて運動する。古典的には、サイクロトロン半径は $R_{c}$ は許容される。量子力学的には、離散的なエネルギー準位（ランダウ準位）のみが許容され、 $R_{c}$ は電子のエネルギーに関連しており、これは量子化された値に対応します。 $R_{c}$ シュレーディンガー方程式を解くことによって得られるエネルギー量子化条件は、例えば次のようになる。 $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$ $\alpha =1/2$ 自由電子（真空中）または ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ グラフェン中の電子の場合、 $n=0,1,2,\ldots$ 。これらの結果を導出することは難しくないが、ランダウ準位の量子化について、ある意味でより優れた物理的洞察を提供する別の導出方法が存在する。この別の方法は、半古典的なボーア・ゾンマーフェルト量子化条件に基づいている。 $\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$ これには幾何学的位相が含まれる $\gamma$ 電子がサイクロトロン軌道の閉じたループに沿って（実空間での）運動を実行している間に電子によって拾い上げられる。^{[ 19 ]}自由電子の場合、 $\gamma =0,$ その間 $\gamma =\pi$ グラフェン中の電子について。幾何学的位相は直接的に $\alpha =1/2$ 自由電子と $\alpha =0$ グラフェン中の電子。

注記

^簡単のため、電子は2DEGのように平面内に閉じ込められ、磁場は平面に垂直であると仮定します。

^ $\omega _{c}=eB/m$ はサイクロトロン周波数（自由電子の場合）であり、 $v$ は（グラフェン中の電子の）フェルミ速度です。

脚注

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1 2 H. C. Longuet Higgins; U. Öpik; MHL Pryce; RA Sack (1958). "ヤーン・テラー効果の研究 II. 力学的問題". Proc. R. Soc. A . 244 (1236): 1– 16. Bibcode : 1958RSPSA.244....1L . doi : 10.1098/rspa.1958.0022 . S2CID 97141844 . 12ページをご覧ください
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↑チュートリアルについては、Jiamin Xue: "グラフェンにおけるベリー位相と非従来型の量子ホール効果" (2013) を参照してください。

情報源

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他の物理現象（ヤーン・テラー効果など）との関連性については、以下で議論されています：ベリーの幾何学的位相：レビュー
コルゲート大学のガルベス教授による論文「光学における幾何位相」：光学における幾何位相の応用（2007年8月24日にWayback Machineにアーカイブ済み）
Surya Ganguli、「古典物理学におけるファイバー束とゲージ理論：落下する猫、磁気単極子、ベリー位相の統一的記述」
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さらに読む

マイケル・V・ベリー、「幾何学的位相」、サイエンティフィック・アメリカン259 (6) (1988)、26–34。

外部リンク

Wikiquoteにある幾何学的位相に関する引用
「幾何学的位相と世界の分離」マイケル・ベリー著。YouTube 。国際理論科学センター。2020年2月10日。

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[6] 分子対称性と分光法、第2版、フィリップ・R・バンカー、ペル・イェンセン著、NRCリサーチプレス、オタワ（1998年）ISBN 9780660196282

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[19] チュートリアルについては、Jiamin Xue: "グラフェンにおけるベリー位相と非従来型の量子ホール効果" (2013) を参照してください。

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幾何学的位相

量子力学におけるベリー位相