線形順序群

数学、特に抽象代数学において、線型順序群または全順序群とは、並進不変の全順序"≤"を備えた群 Gのことである。これは異なる意味を持つ場合がある。 ( G , ≤) は次のように表現される。

• ≤ が左不変である場合、つまり、G内のすべてのa、  b、  cに対してa  ≤  bならばca  ≤  cb が成り立つ場合、左順序群、
• ≤ が右不変である場合、つまり G の任意のa、  b、  cに対してa  ≤  bならばac  ≤  bc が成り立つ場合、右順序群、
• ≤ が双不変である場合、つまり左と右の両方で不変である場合、双順序群。

群G が左順序付け可能（または右順序付け可能、または双順序付け可能）であるとは、G上に左（または右、または双）不変順序が存在する場合を言います。群が左順序付け可能であるための単純な必要条件は、有限順序の要素を持たないことですが、これは十分条件ではありません。群が左または右順序付け可能であることは同等ですが、双順序付け可能ではない左順序付け可能な群も存在します。

このセクションでは、単位元を持つグループ上の左不変順序について説明します。ここで述べたことはすべて、明らかな変更を加えた右不変順序にも適用されます。左不変であることは、右不変である場合に限り、によって定義される順序と同等であることに注意してください。特に、グループが左順序付け可能であることは、右順序付け可能であることと同じです。 ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \leq '}$${\displaystyle g\leq 'h}$${\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}$

通常の数字と同様に、のとき、順序群の元は正と呼ばれます。順序群の正の元の集合は正錐と呼ばれ、 と表記されることが多いですが、単位元とともに正錐には若干異なる表記法が使用されます。^[1]${\displaystyle g\not =e}$${\displaystyle e\leq g}$${\displaystyle G_{+}}$${\displaystyle G^{+}}$

正の錐は順序 を特徴づけます。実際、左不変性により、 の場合にのみ となることがわかります。実際、左順序群は、次の 2 つの条件を満たす部分集合を伴う群として定義できます。 ${\displaystyle G_{+}}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle g\leq h}$${\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$

1. なぜなら、私たちには、${\displaystyle g,h\in P}$${\displaystyle gh\in P}$
2. とすると、 はとの互いに素な和集合になります。${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P,P^{-1}}$${\displaystyle \{e\}}$

に関連付けられた順序は によって定義されます。最初の条件は左不変性であり、2 番目の条件は順序が明確に定義され、完全であることです。 の正の円錐は です。 ${\displaystyle \leq _{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$${\displaystyle \leq _{P}}$${\displaystyle P}$

左不変順序は、共役不変である場合に限り、双不変です。つまり、 であれば、任意の に対して も成り立ちます。これは、正錐が内部自己同型の下で安定であることと同等です。 ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle g\leq h}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$

^{[引用が必要]} の場合、の絶対値 ( )は、 と定義されます。 さらに、群がアーベル である場合、任意の に対して三角不等式が満たされます。 ${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|}$$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

左または右に順序付け可能な群は捩れなし、つまり恒等元以外に有限順序の元を含まない。逆に、FW レヴィは捩れなしのアーベル群は双順序付け可能であることを示した。 ^[2]これは冪零群にも当てはまる^[3]が、左に順序付け可能ではない捩れなしの有限提示群も存在する。

オットー・ヘルダーは、すべてのアルキメデス群（アルキメデスの性質を満たす双順序群）は、実数の加法群のサブグループと同型であることを示した（Fuchs & Salce 2001、p. 61）。アルキメデスの lo 群を乗法的に書くと、lo 群の 根による閉包のデデキント完備化を考えることで、これを示せるかもしれない。この空間に通常の線型順序の位相を与え、各 に対して指数写像が順序保存/逆転のよく定義された位相群同型であることが示される。lo 群を完備化することは、非アルキメデスの場合に難しい可能性がある。このような場合、群をそのランク: で分類することができる。これは、凸サブグループの最大シーケンスの順序タイプに関係する。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}$

自由群は左順序付け可能である。より一般的には、直角アルティン群も同様である。^[4] 組紐群も左順序付け可能である。^[5]

発表で与えられた群は捩れがないが左順序付け可能ではない。^[6]これは 3 次元結晶群(直交軸と同じ移動長を持つ 2 つのすべり半回転によって生成される群として実現できる) であり、単位予想の反例として証明されたのと同じ群である点に注意されたい。より一般的には、3 次元多様体群の順序付け可能性の話題は、さまざまな位相不変量との関係で興味深い。^[7]左順序付け可能だが二重順序付け不可能な 3 次元多様体群が存在する^[8] (実際、局所的に示せるという弱い性質を満たさない)。 ${\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }$

左順序可能群は力学系の観点からも関心を集めており、可算群が左順序可能であるのは、それが実数直線上に同相写像によって作用する場合のみであることが知られている。^[9]このパラダイムに関連する非例としては、高階リー群の格子が挙げられる。例えば、の有限指数部分群は左順序可能ではないことが知られている。^[10]この広範な一般化が最近発表された。^[11]${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$

• 周期的に順序付けられたグループ
• ハーンの埋め込み定理
• 部分的に順序付けられたグループ

• デロアン、ベルトラン。ナバス、アンドレス。リバス、クリストバル (2014)。 「グループ、秩序、そして力学」。arXiv : 1408.5805 [math.GT]。
• Levi, FW (1942)、「順序付けられたグループ」、Proc. Indian Acad. Sci.、A16 (4): 256–263、doi :10.1007/BF03174799、S2CID  198139979
• フックス、ラースロー、サルチェ、ルイージ（2001）、非ノイザン領域上のモジュール、数学調査とモノグラフ、第84巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-1963-0、MR  1794715
• ギス、E. (2001)、「サークルで行動するグループ。」、L'Enseignement Mathématique、47 : 329–407