弱O極小構造

モデル理論において、弱 O 極小構造とは、領域内の定義可能集合が凸集合の有限和集合であるようなモデル理論的構造である。

順序関係 < を含む言語Lを持つ線形順序構造Mは、 Mのすべてのパラメータ定義可能な部分集合が凸 (定義可能な) 部分集合の有限和である場合に弱 o 極小と呼ばれます。理論は、そのすべてのモデルが弱 o 極小である場合に弱 o 極小です。

o-極小性とは対照的に、理論が弱o-極小であるモデルと弱o-極小ではないモデルを持つことが可能であることに留意されたい。^[1]

o-極小構造では、内のデファイナブル集合は点と区間の有限和です。ここで、区間は内の何らかの a と b に対して、の形式の集合を表します。弱 o-極小構造では、これは緩和され、M内のデファイナブル集合は凸デファイナブル集合の有限和になります。集合が凸であるとは、 aとb が内にあり、a  <  bかつc  ∈ が  a  <  c  <  bを満たす場合、c がC内にあるということです。点と区間はもちろん凸集合ですが、以下で説明するように、点でも区間でもない凸集合もあります。 ${\displaystyle (M,<,...)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I=\{r\in M\,:\,a<r<b\}}$${\displaystyle M\cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle (M,<,...)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M}$

実数順序体 ( R ,<)を展開する弱 o 極小構造がある場合、その構造は o 極小になります。ただし、他の設定では 2 つの概念は異なります。たとえば、R を、通常の順序 < をRから継承した実数代数的数の順序体とします。超越数、たとえばπを取り、サブセット (− π , π ) ∩  Rによって与えられた構造に単項関係Sを追加します。次に、式で定義される RのサブセットA を考えます。

${\displaystyle 0<a\,\wedge \,S(a)}$

となり、この集合はπ未満のすべての正の実代数的数から構成される。この集合は明らかに凸であるが、端点がR内にある点と区間の有限和として書くことはできない。これを区間として書くには、 Rにない端点πを含めるか、和のような無限個の区間が必要となる。

${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\pi }(0,\alpha ).}$

点と区間の有限和ではない定義可能な集合を持っているので、この構造は o 極小ではありません。しかし、この構造は弱 o 極小であることが知られており、実際、この構造の理論は弱 o 極小です。^[2]