オメガカテゴリー理論

数理論理学において、オメガ圏論は、同型性を除いてちょうど 1 つの可算無限モデルを持つ理論です。オメガ圏論はκ 圏論の特殊なケース κ =   = ωであり、オメガ圏論はω 圏論とも呼ばれます。この概念は、可算な一階理論にとって最も重要です。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$

理論上の多くの条件はオメガ圏の性質と同等である。1959年にエルヴィン・エンゲラー、チェスワフ・リル＝ナルジェフスキ、ラース・スヴェノニウスは独立にいくつかの条件を証明した。^[1]それにもかかわらず、文献では今でもこれらの条件をリル＝ナルジェフスキ定理と呼んでいる。定理に含まれる条件は著者によって異なる。^{[2] [3]}

無限モデルを持つ可算完全な一階理論T が与えられた場合、以下は同値です。

• 理論Tはオメガカテゴリカルです。
• Tのすべての可算モデルには、オリゴモーフィック自己同型群があります(つまり、すべてのnに対して、 M ⁿ上に有限個の軌道が存在します)。
• Tの可算モデルにはオリゴモーフィック自己同型群が存在する。^[4]
• 理論Tには、すべての自然数nに対して有限個のn型のみを実現するモデルがあります。つまり、ストーン空間 S _n ( T ) は有限です。
• あらゆる自然数nに対して、T には有限個のn型しかありません。
• あらゆる自然数nに対して、あらゆるn型は孤立しています。
• あらゆる自然数nに対して、 T を法とする同値性を除いて、 n 個の自由変数を持つ式は有限個しか存在しません。言い換えれば、あらゆるnに対して、Tのn番目のリンデンバウム・タルスキー代数は有​​限です。
• Tのすべてのモデルはアトミックです。
• Tのすべての可算モデルはアトミックです。
• 理論Tには可算な原子および飽和モデルがあります。
• 理論Tには飽和素数モデルがあります。

有限関係言語上で同質な任意の可算無限構造の理論はオメガ圏的である。^[5]より一般的には、任意の一様局所有限なフライセ類のフライセ極限の理論はオメガ圏的である。 ^[6]したがって、以下の理論はオメガ圏的である。

• 端点のない稠密な線型順序の理論（カントールの同型定理）
• ラドーグラフの理論
• 任意の有限体上の無限線型空間の理論
• 原子のないブール代数の理論

• キャメロン、ピーター J. (1990)、Oligomorphic permutation groups、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 152 巻、ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38836-8、Zbl  0813.20002
• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1989) [1973]、モデル理論、エルゼビア、ISBN 978-0-7204-0692-4
• ホッジス、ウィルフリッド（1993）、モデル理論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30442-9
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、「より短いモデル理論」、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6
• マクファーソン、ダガルド (2011)、「均質構造の調査」、離散数学、311 (15): 1599–1634、doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024、MR  2800979
• ポイザット、ブルーノ（2000）、モデル理論講座：現代数学論理入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98655-5
• ロスマーラー、フィリップ（2000）、モデル理論入門、ニューヨーク：テイラー＆フランシス、ISBN 978-90-5699-313-9