整列した幾何学

順序幾何学は、中間性（または「中間性」）の概念を特徴とする幾何学の一形態ですが、射影幾何学と同様に、測定の基本概念を省略しています。順序幾何学は、アフィン幾何学、ユークリッド幾何学、絶対幾何学、双曲幾何学の共通の枠組みを形成する基本的な幾何学です（ただし、射影幾何学には当てはまりません）。

歴史

モーリッツ・パッシュは1882年に測定に言及せずに幾何学を初めて定義した。彼の公理はペアノ（1889年）、ヒルベルト（1899年）、ヴェブレン（1904年）によって改良された。^{[ 1 ]}^{： 176}ユークリッドは『原論』の定義4でパッシュのアプローチを先取りしていた。「直線とは、それ自身上の点と均等に位置する直線である」^{[ 2 ] 。}

原始的な概念

順序幾何学における唯一の基本的な概念は、点A、B、C、…と、中間性の三項関係[ ABC ] であり、これは「 BはAとCの間にある」と読むことができます。

定義

線分ABは、 [ APB ] を満たす点Pの集合です。

区間ABは、線分ABとその両端点AおよびBです。

光線A / B (「 AからBに向かう光線」と読む) は、 [ PAB ]を満たす点Pの集合です。

直線ABは、区間ABと2つの半直線A / BおよびB / Aで表されます。直線AB上の点は共線であると言われます。

角度は、点O (頂点) と、 Oから出る 2 つの非共線な光線(辺) で構成されます。

三角形は、一直線上にない３つの点（頂点と呼ばれる）と、それらの点を結ぶ３つの線分AB、BC、CAによって構成される。

3点A、B、Cが同一直線上にない場合、平面ABCは、三角形ABCの1辺または2辺上の点のペアと同一直線上にあるすべての点の集合です。

4つの点A、B、C、Dが同一平面上にない場合、空間（3次元空間）ABCDは、四面体ABCDの4つの面（平面領域）のいずれかから選択された点のペアと共線するすべての点の集合です。

順序幾何学の公理

少なくとも2つの論点が存在する。
AとBが異なる点である場合、 [ABC]となるようなCが存在する。
[ ABC ] の場合、AとCは異なる ( A ≠ C )。
[ ABC ]ならば[ CBA ]であるが[ CAB ]ではない。
CとDが直線AB上の異なる点である場合、Aは直線CD上にある。
ABが直線である場合、直線AB上にない点Cが存在する。
（パッシュの公理）ABCが三角形で[ BCD ]と[ CEA ]ならば、直線DE上に[ AFB ]となる点Fが存在する。
次元性の公理：
1. 平面順序幾何学では、すべての点が同一平面上にあります。または
2. ABCが平面である場合、平面ABC上にない点Dが存在する。
すべての点は同一平面、同一空間などに存在する（どの次元で作業するかによって異なる）。
（デデキントの公理）直線上のすべての点を、一方の集合のどの点も他方の集合の2点の間に存在しないような2つの空でない集合に分割すると、一方の集合のどの点も他方の集合のどの点とも間に位置する点が、一方の集合のどの点にも存在する。

これらの公理はヒルベルトの順序公理と密接に関連している。順序幾何学の公理化に関する包括的な調査については、Pambuccian (2011) を参照のこと。^{[ 3 ]}

結果

シルベスターの共線点問題

シルベスター・ガライの定理は、^秩序幾何学の枠組みの中で証明できる。^{[ 4 ]}^{[ 1 ]}^{： 181、2}

並列構造

ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーは^、秩序幾何学で表現できる平行性の概念を発展させた。 ^{[ 1 ]}^{： 189、90}

定理（平行線の存在）：点Aと、 Aを通らない直線rが与えられたとき、平面Arにおいて、 Aからrと交わらない半直線がちょうど2本存在する。したがって、 Aを通りrと交わらない平行線が存在する。

定理（平行性の伝達性）：光線と直線の平行性は、光線の始点に線分を追加または削除することによって保持される。

平行性の推移性は、順序付き幾何学では証明できません。^{[ 5 ]}したがって、「順序付き」平行性の概念は、線上の同値関係を形成しません。

参考文献

1 2 3 Coxeter, HSM (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 .
↑ヒース、トーマス( 1956) [1925]。『ユークリッド原論 13巻』（第1巻）。ニューヨーク：ドーバー出版。165ページ。ISBN 0-486-60088-2。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑パムブチアン、ヴィクター (2011)。「順序付き幾何学の公理系：I. 順序付き接続空間」。Expositiones Mathematicae。29 ：24–66。doi ： 10.1016 / j.exmath.2010.09.004。
↑パンブッチアン、ビクター (2009)。「シルベスター・ガライの定理の逆分析」。ノートルダム形式論理ジャーナル。50 (3): 245–260。土井: 10.1215/00294527-2009-010。Zbl 1202.03023。
↑ Busemann, Herbert (1955). Geometry of Geodesics . Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press . p. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 . {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[Coxeter69-1] 1 2 3 Coxeter, HSM (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 .

[2] ヒース、トーマス( 1956) [1925]。『ユークリッド原論 13巻』（第1巻）。ニューヨーク：ドーバー出版。165ページ。ISBN 0-486-60088-2。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[3] パムブチアン、ヴィクター (2011)。「順序付き幾何学の公理系：I. 順序付き接続空間」。Expositiones Mathematicae。29 ：24–66。doi ： 10.1016 / j.exmath.2010.09.004。

[4] パンブッチアン、ビクター (2009)。「シルベスター・ガライの定理の逆分析」。ノートルダム形式論理ジャーナル。50 (3): 245–260。土井: 10.1215/00294527-2009-010。Zbl 1202.03023。

[5] Busemann, Herbert (1955). Geometry of Geodesics . Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press . p. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 . {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[ 1 ]

[ 2 ] 。

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

整列した幾何学

歴史

原始的な概念

定義

順序幾何学の公理

結果

シルベスターの共線点問題

並列構造

関連項目

参考文献

関連するトピック

幾何学

射影幾何学と同様に、

測定

アフィン幾何学