五度圏

音楽理論において、五度圏（五度循環とも呼ばれる）は、音程を完全五度のシーケンスとして整理する方法です。C から始まり、西洋音楽の標準的なチューニング システム（12 平均律）を使用すると、シーケンスは次のようになります。C、G、D、A、E、B、F ♯ /G ♭、C ♯ /D ♭、G ♯ /A ♭、D ♯ /E ♭、A ♯ /B ♭、F、C。この順序では、最も関連性の高い調号が互いに隣接して配置されます。

十二音平均律では、各オクターブを 12 の等価な半音に分割し、五度圏は開始点から 7 オクターブ上の C につながります。五度が 3:2 の正確な周波数比で調律されている場合 (純正律として知られる調律システム)、これは当てはまりません (圏は「閉じません」)。

五度圏は、音程を完全五度の順序で整理したもので、一般的には音程（および対応するキー）を時計回りに並べた円として表示されます。反時計回りに四度圏として表示することもできます。西洋音楽の和声進行では、このシステムで隣接するキーが一般的に使用されるため、音楽の作曲やハーモニーの参考になります。^[1]

円の一番上はハ長調のキーを示しており、シャープやフラットはありません。時計回りに進むと、音高は5度ずつ上昇します。これらの音高に関連付けられている調号もそれに応じて変化します。Gのキーにはシャープが1つ、Dのキーにはシャープが2つ、というようになります。円の一番上から反時計回りに進むと、音は5度ずつ下降し、調号もそれに応じて変化します。Fのキーにはフラットが1つ、B ♭のキーにはフラットが2つ、というようになります。一部のキー（円の一番下）は、シャープでもフラットでも表記できます。

任意のピッチから始めて 5 度ずつ上昇すると、最初のピッチ クラスに戻る前にすべてのトーンが生成されます (ピッチ クラスは、オクターブに関係なく、特定の文字で示されるすべての音符で構成されます。たとえば、すべての「C」は同じピッチ クラスに属します)。反時計回りに移動すると、ピッチは 5 度ずつ下がりますが、完全 4 度ずつ上昇すると、1 オクターブ高い同じ音符になります (したがって、同じピッチ クラスになります)。C から反時計回りに移動すると、5 度ずつ下がって F になるか、4 度ずつ上がって F になると考えられます。

各ピッチは、長調または短調の主音として機能し、これらの各キーには全音階が関連付けられます。円グラフは、各調号のシャープまたはフラットの数を示します。長調は大文字で示され、短調は小文字で示されます。同じ調号を持つ長調と短調は、互いに 相対的な長調と相対的な短調と呼ばれます。

調性音楽は、多くの場合、調号が元の調号と 1 つのフラットまたはシャープだけ異なる新しい調性中心に転調します。これらの密接に関連するキーは、互いに 5 度離れているため、五度圏で隣接しています。コード進行は、ルートが完全五度で関連しているコード間を移動することが多く、五度圏はコード間の「調和距離」を示すのに役立ちます。

五度圏は、和音のハーモニーや調性機能を整理して記述するために使用されます。^[2]和音は、「機能的連続」で上昇する完全四度（または下降する完全五度と見なす）のパターンで進行することができます。これは、「五度圏（したがって、音階II度は音階IV度よりも属音に近い）」によって示されます。 ^[3]この見方では、トニックまたは調性中心は、五度圏から派生した コード進行の終点と見なされます。

リチャード・フランコ・ゴールドマンの『西洋音楽のハーモニー』によると、「IV コードは、全音階関係の最も単純なメカニズムでは、I から最も遠い位置にある。[下降する] 五度圏で言えば、I に近づくのではなく、I から離れていく」とのことです。^[4]彼は、I–ii–V–I 進行 (オーセンティック・カデンツ) は、I–IV–I (プラガル・カデンツ) よりも終止形または解決形に感じられると述べています。ゴールドマン^{[5]は、ナティエズに同意しており、「I–IV–vii o} –iii–vi–ii–V–I進行では、4 度のコードは II のコード、およびそれに続く終止形の I よりずっと前に現れる」と主張し、そこでもトニックから遠く離れていると述べています。^[6] (この記事および関連記事では、大文字のローマ数字は長三和音を示し、小文字のローマ数字は短三和音を示します。)

周波数の正確な 3:2 比を使用して完全五度 (純正律) を定義すると、五度圏を一周した後、開始音のピッチ クラスに完全には戻りません。12音平均律では、最初の音のちょうど 7オクターブ上の音に戻る五度が生成され、半音の周波数比が全音階の半音の周波数比と同じになります。標準平均律の五度の周波数比は 2 ^7/12 :1 (または約 1.498307077:1) で、正確に調律された五度よりも約 2 セント狭くなります。

12 の正確に調律された五度だけ上昇すると、約 23.46セント、およそ半音の 4 分の 1を超えて円を閉じることができず、この音程はピタゴラス コンマとして知られています。1 オクターブあたり 12 のピッチに制限されると、ピタゴラス調律では12 の五度のうちの 1 つの幅が著しく短くなり、ひどく不協和になります。この変則的な五度はウルフ五度と呼ばれています。これは、オオカミが音程外の音を遠吠えしていることをユーモラスに表現したものです。拡張されていない四分音階のミーントーンでは、平均律の五度よりもわずかに狭い 11 の五度が使用され、円を閉じるにははるかに広くさらに不協和なウルフ五度が必要になります。5限界調律などの純正律に基づくより複雑な調律システムでは、最大で 8 つの正確に調律された五度と少なくとも 3 つの非純正五度 (純正五度よりもわずかに狭いものもあれば、わずかに広いものもある) を使用して円を閉じます。

今日では、電子同形キーボードの出現により、1オクターブあたり12音以上の平均律調律を使用して、他の調律の五度圏を閉じることができます。たとえば、31音平均律は四分音階に近く、53音平均律はピタゴラス音律に近くなります。

五度圏は、バロック時代の転調を理論化するために 1600 年代後半から 1700 年代初頭にかけて開発されました (§ バロック時代を参照)。

最初の五度圏図は、作曲家で理論家のニコライ・ディレツキーの『グラマティカ』（1677年）に登場します。ディレツキーは、音楽理論を作曲のツールとして提示することを目的としていました。 ^[7]これは「ロシアの聴衆に西洋風のポリフォニック作曲の書き方を教えることを目的としていた、その種の最初のもの」でした。

5度圏図は、ドイツの作曲家で理論家のヨハン・ダーヴィッド・ハイニヒェンが『Neu erfundene und gründliche Anweisung』（1711年）で独自に作成したもので^{[8] 、彼はこれを「音楽サークル」（ドイツ語:} Musicalischer Circul ）と呼んだ。^{[9] [10]これは彼の}『Der General-Bass in der Commission』（1728 年） にも掲載されました。

ハイニヒェンは相対的短調を長調の隣に置いたが、これは実際の調の近さを反映していなかった。ヨハン・マッテゾン（1735）らはこれを改善しようと試み、デイヴィッド・ケルナー（1737）は長調を1つの円に置き、相対的短調を2つ目の内側の円に置くことを提案した。これは後に、平行短調も組み込んだ和音空間へと発展した。 ^[11]

いくつかの情報源は、五度圏は古代ピタゴラスによって知られていたことを示唆している。^{[12] [13] [14]}これは誤解であり時代錯誤である。^[15]五度による調律（いわゆるピタゴラス調律）は古代メソポタミアにまで遡る。 ^[16]メソポタミアの音楽§ 音楽理論を参照。ただし、彼らはこれを12音階にまで拡張せず、7で止めた。ピタゴラスコンマはユークリッドと中国の数学者（淮南子）によって計算された。ピタゴラスコンマ§ 歴史を参照。したがって、12の五度サイクルはほぼ正確に7オクターブ（より実際的には、上昇する五度と下降する四度を交互に繰り返すとほぼ正確に1オクターブ）であることが古代に知られていた。しかし、これは理論的な知識であり、繰り返される十二音音階を構築したり、変調したりするために使用されたわけではありませんでした。これは後に、調律を維持したまま変調を可能にする平均律と十二音平均律で行われましたが、ヨーロッパでは 1500 年頃まで発展しませんでした。五度圏として普及しましたが、そのアングロサクソン語の語源は「五度輪」という名前にまで遡ります。

バロック音楽時代や古典派音楽時代の楽曲、西洋のポピュラー音楽、伝統音楽、民族音楽では、楽曲や歌が新しい調に転調する場合、これらの転調は五度圏と関連付けられることが多い。

実際には、作曲で五度圏全体が使われることはめったにありません。より一般的には、作曲家は「五度圏の『サイクル』という作曲上のアイデア、つまり、音楽が、圏が抽象的に表す音構造リソースのより小さいまたは大きいセグメントを一貫して移動する」を使用します。^[17]通常のやり方では、五度圏の進行は、半音階に存在する 12 音の完全な範囲からではなく、全音階の 7 つの音から導き出されます。この全音階バージョンの五度圏では、5 度のうちの 1 つは真の 5 度ではありません。それは、たとえば「自然な」全音階 (つまりシャープやフラットなし) の F と B の間のような、トライトーン (または減五度) です。全音階の長音階からの 順列によって五度圏が導き出される様子を次に示します。

全音階とそこから派生した五度圏 - 長調

そして（ナチュラル）マイナースケールから：

全音階とそこから派生した五度圏 - 短調

以下はメジャーベースライン上に構築できる基本的なコードシーケンスです。

五度圏のコード進行 – メジャー

そしてマイナーでは：

五度圏のコード進行 - マイナー

コードに 7 度音を加えると、ハーモニーに前進の勢いが増します。

五度圏のコード進行 - 七度を追加したマイナー

リチャード・タラスキンによれば、アルカンジェロ・コレッリは、このパターンを標準的な和声的「比喩」として確立した最も影響力のある作曲家であった。「五度圏が和声的運動の主な推進力として「理論化」されたのは、まさにコレッリの時代、17世紀後半であり、その新しいアイデアを実践に移したのは、他のどの作曲家よりもコレッリであった。」^[18]

五度圏進行は、J.S.バッハの音楽に頻繁に登場します。以下は、Jauchzet Gott in allen Landen、BWV 51からの抜粋ですが、ソロのベースラインでは、関係するコードを明示するのではなく暗示しています。

バッハ カンタータ第51番より

ヘンデルは、チェンバロ組曲第6番ト短調の パッサカリア楽章の基礎として五度圏進行を使用しています。

ヘンデル 組曲ト短調よりパッサカイル 1～4小節目

バロック時代の作曲家たちは、五度圏によって生み出されるハーモニーの「推進力」を「構成和音のほとんどに七度を加える」ことで高めることを学びました。「これらの七度は不協和音であるため、解決の必要性が生じ、五度圏の各進行は、ハーモニーの緊張を同時に緩和し、再刺激するものになります...したがって、表現目的に利用されます。」^[19]七度の使用を示す印象的な一節は、ヘンデルの1715年のオペラ「ガウラの女神」のアリア「ペナ・ティランナ」にあります。

ヘンデル、アマディジよりアリア「ペナ・ティランナ」、管弦楽序奏

– そして、アレッサンドロ・マルチェッロのオーボエと弦楽のための協奏曲のバッハによるキーボード編曲。

バッハ アダージョ BWV 974 (マルチェロによる)

フランツ・シューベルトの即興曲変ホ長調 D 899 には、変形五度圏で動くハーモニーが含まれています。

メンデルスゾーンの弦楽四重奏曲第2番の間奏楽章には、五度圏の動きを伴う短い部分があります（ii° が iv に置き換えられています）。

ロベルト・シューマンの「子供の情景」の中の「眠りに落ちる子供」では、この進行が最後に変更されており、予想されるトニックのE マイナーではなく、A マイナーのコードで曲が終了します。

ワーグナーのオペラ『神々の黄昏』では、プロローグの終わりから裕福なギビヒュング家の堂々としたホールを舞台とした第1幕の最初の場面に移る音楽に、五度進行のサイクルが見られる。「地位と名声は、ギビヒュング家の長 であるグンターに割り当てられたモチーフの至るところに書かれている」 ^{[20] 。}

五度圏が形式構築の手段および表現力豊かな音楽的比喩として根強い人気を誇っていることは、20 世紀に作曲された「スタンダード」なポピュラー ソングの数からも明らかです。五度圏は、作詞家が音程、コード関係、進行を理解するのに役立つため、ジャズ ミュージシャンによる即興演奏の手段としても好まれています。

• バート・ハワード、「フライ・ミー・トゥ・ザ・ムーン」

曲は下降フレーズのパターンで始まり、本質的には曲のフックであり、心地よい予測可能性をもって提示され、まるでメロディーの今後の方向が最初の5つの音によって決定されているかのようだ。一方、和声進行は五度圏から外れることはほとんどない。^[21]

• ジェローム・カーン「あなたがいるすべて」^[22]
• レイ・ノーブル「チェロキー」。多くのジャズミュージシャンは、ミドルエイトが円を非常に速く進むため、「一時的にいくつかの調性を通過する一連のII-V-I進行を作成する」ため、これを特に困難だと感じています。^[23]
• コスマ、プレヴェール、マーサー「秋の葉」^[24]
• ビートルズ、「ユー・ネヴァー・ギヴ・ミー・ユア・マネー」^{[25] [非一次資料が必要]}
• マイク・オールドフィールド、「インカンテーションズ」^[26]
• カルロス・サンタナ、「エウロパ（地球の叫び、天国の微笑み）」^[要出典]
• グロリア・ゲイナー、「I Will Survive」^{[27] [非一次資料が必要]}
• ペット・ショップ・ボーイズ、「イッツ・ア・シン」^{[28] [非一次資料が必要]}
• ドナ・サマー、「Love to Love you, Baby」^{[29] [非一次資料が必要]}

全音階の五度圏は、全音階の要素のみを含む五度圏です。したがって、C メジャーの B と F の間には減五度が含まれます。構造は多重性を意味するを参照してください。サークル進行は、通常、全音階のコードを通る五度圏であり、1 つの減コードが含まれます。コードが I–IV–vii^または–iii–vi–ii–V–Iである C メジャーのサークル進行を以下に示します。

五度圏は半音圏と密接な関係があり、半音圏も特定の調律における平均律のピッチクラスを円形に並べます。この 2 つの圏の主な違いは、半音圏は連続した空間として理解でき、その上で圏上のすべての点が考えられるピッチクラスに対応し、考えられるすべてのピッチクラスが圏上の 1 つの点に対応することです。これに対して五度圏は、基本的に明確な間隔で並べられた離散的な構造であり、その各点にピッチクラスを割り当てる明確な方法はありません。この意味で、2 つの圏は数学的にかなり異なります。

しかし、任意の正の整数Nに対して、N音平均律のピッチクラスは、 Nの位数の巡回群、または同等に、Nを法とする剰余類、で表すことができます。 十二音平均律では、この群には4 つの生成元があり、これらは上昇および下降する半音と上昇および下降する完全五度で識別できます。半音生成元は半音圏を生じ、完全四度と完全五度は五度圏を生じます。 31 平均律などの他のほとんどの調律では、生成元としてさらに多くの音程を使用でき、結果としてさらに多くの円が可能になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

五度圏または四度音階は、を掛けることによって半音階からマッピングすることができ、逆もまた同様です。五度圏と半音階（整数表記）をマッピングするには、 7 （M7）を掛け、四度圏の場合は 5 （ P5 ）を掛けます。

12 音平均律では、順序付けられた12 組の整数 (音列)から始めることができます。

(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11)

半音階の音を表します: 0 = C、2 = D、4 = E、5 = F、7 = G、9 = A、11 = B、1 = C ♯、3 = D ♯、6 = F ♯、8 = G ♯、10 = A ♯。次に、12 組全体に 7 を掛けます。

(0、7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77)

次に、各数値に 12 を法とする減算を適用します (数値が 12 より小さくなるまで、各数値から必要な回数だけ 12 を減算します)。

(0、7、2、9、4、11、6、1、8、3、10、5)

これは次の式と同等である。

(C、G、D、A、E、B、F ♯、C ♯、G ♯、D ♯、A ♯、F)

これは五度圏です。これは異名同音的に次のものと等価です。

(C、G、D、A、E、B、G ♭、D ♭、A ♭、E ♭、B ♭、F)。

平均律では、完全五度を定義する周波数の正確な 3:2 比は使用されませんが、純正律ではこの正確な比率が使用されます。平均律で 5 度ずつ上昇すると、開始ピッチ クラスに戻ります。つまり、C から開始して 5 度ずつ上昇すると、一定回数の反復後に別の C になります。正確な 3:2 比 (純正律) が使用されている場合は、この現象は発生しません。平均律で行われる調整は、ピタゴラス コンマと呼ばれます。この違いにより、平均律で異名同音であるピッチ (12 音平均律の C ♯と D ♭、または C ♯と D19平均律では、純正律を使用した場合、音階は等しくありません。

したがって、純正律では、5 度音程のシーケンスは円ではなく螺旋として視覚化できます。12 の 5 度音程のシーケンスは、ピタゴラス コンマによる「コンマ ポンプ」となり、螺旋のレベルが上がるように視覚化されます。§ 非等調律システムにおける円の閉鎖も参照してください。

異名同音の等価音がない場合、5度音の連続を続けると、二重の臨時記号 (二重シャープまたは二重フラット) が付いた音符、さらには三重または四重の臨時記号が付いた音符になります。ほとんどの平均律調律では、これらは異名同音の等価音符に置き換えることができます。

調号に二重または三重のシャープとフラットが含まれる調は理論調と呼ばれ、12音平均律では冗長となるため使用されることは極めて稀ですが、1オクターブあたりの音数が12の倍数でない場合は区別されます。この場合の記譜法は標準化されていません。

LilyPondのデフォルトの動作(上図) では、5 度圏の順序で単一のシャープまたはフラットを書き、その後に二重シャープまたはフラットに進みます。これは、ジョン・ファウルズのA World Requiem、作品 60 ^{[31]で使用されている形式で、上に示すように、ト}♯長調の調号で終わります。ここでのト♯長調の調号のシャープは、C ♯、G ♯、D ♯、A ♯、E ♯、B ♯、Fの順に続きます。。

調号中の単一のシャープやフラットは、礼儀として繰り返されることがあります。例えば、マックス・レーガーの『変調理論補足』では、42～45ページにD ♭マイナー調号が記載されています。これらには、最初にB ♭があり、B最後に（ダブルフラット記号付き）、B ♭、E ♭、A ♭、D ♭、G ♭、C ♭、F ♭、Bと続きます。LilyPondとFouldsの慣例により、最初のB ♭は省略されます。調号の先頭に二重記号が書かれ、その後に単音記号が続くこともあります。たとえば、F ♭調号はBと表記されます。、E ♭、A ♭、D ♭、G ♭、C ♭、F ♭。この規則はVictor Ewald、^[32]、プログラムFinale、およびいくつかの理論的著作で使用されています。

• アプローチコード
• ソナタ形式
• 気質が良い
• 五度圏テキスト表
• ピッチ星座
• n を法とする整数の乗法群
• 掛け算（音楽）
• 三度圏

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• Vths の円を解読する
• インタラクティブ五度圏
• インタラクティブな五度圏作曲ツール
• ギタリストのためのインタラクティブな五度圏