ピタゴラスのコンマ

C 上のピタゴラスのコンマ (531441:524288)

ベン・ジョンストンの記譜法を用いたCのピタゴラスコンマ。五線譜上で下の方に示されている音符（B♯ +++）は、（C ♮よりも）わずかに高い音高です。

音楽の調律において、ピタゴラス・コンマ（または二音コンマ^{[ a ]}）は、古代の数学者であり哲学者でもあるピタゴラスにちなんで名付けられ、ピタゴラス調律において、 CとB♯、またはD♭とC♯のような異名同音の2つの音の間に存在する小さな音程（またはコンマ）です。 [ 1 ]これ^{は周波数比}( 1.5 ) ^12/27 = ^{531441/524288} ≈ 1.01364、つまり約23.46セント、おおよそ半音の4分の1 （75:74と74:73の間^{[ 2 ]} ）に等しくなります。音楽の音律がしばしば「調律」するコンマは、ピタゴラス・コンマです。^{[ 3 ]}

ピタゴラスコンマは、ピタゴラスアポトームとピタゴラスリンマの差^{[ 4 ]}（つまり、ピタゴラス調律で決定される半音階と全音階の半音の差）、12個の完全五度と7オクターブの差、または3つのピタゴラス二全音と1オクターブの差としても定義できます。（これが、ピタゴラスコンマが二音階コンマとも呼ばれる理由です。）

ピタゴラス音律における減2度は、リンマとアポトームの差として定義されます。したがって、ピタゴラス音律のコンマの反対に相当し、下降するピタゴラス音律のコンマ（例えば、C♯からD ♭へ）と見なすことができ、その値は約-23.46セントです。

序論で述べたように、ピタゴラスのコンマは複数の方法で導き出すことができる。

• ピタゴラス音階における異名同音の2つの音、例えばCとB♯、またはD ♭とC♯の間の差（下記参照）。
• ピタゴラスのアポトームとピタゴラスのリンマの違い。
• 12個の完全5度と7オクターブの違い。
• 3つのピタゴラス音程（長3度）と1オクターブの差。

完全五度は周波数比が3:2である。ピタゴラス音律では、オクターブとともに、ある基準音を基準として、他の任意の音の周波数を定義するための尺度として用いられる。

アポトームとリンマは、ピタゴラス音律で定義される2種類の半音です。すなわち、アポトーム（約113.69セント、例えばCからC♯まで）は半音階的半音、つまり増ユニゾン（A1）であり、リンマ（約90.23セント、例えばCからD ♭まで）は全音階的半音、つまり短2度（m2）です。

二音（または長三度）とは、2つの長音によって形成される音程のことです。ピタゴラス音律では、長音の大きさは約203.9セント（周波数比9:8）なので、ピタゴラス二音は約407.8セントになります。

ピタゴラスコンマの大きさは、セント単位で測定すると、

$\displaystyle {\hbox{アポトーム}}-{\hbox{リムマ}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{セント}}\!}$

より正確には、周波数比で表すと次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

ピタゴラス音律コンマを、ベン・ジョンストン記譜法による12個の正五度として表す。

ピタゴラスのコンマは、12個の正しく調律された完全5度（比率3:2）と7オクターブ（比率2:1）の間の不一致と考えることもできます。

${\displaystyle {\frac {\hbox{12 5度}}{\hbox{7 オクターブ}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

以下の五度圏の音階表では、ピタゴラスのコンマは、例えばF♯とG ♭の間の小さな音程として示されています。音程だけで五度圏を一周すると、ピタゴラスのコンマによるコンマポンプが発生します。

6 ♭と6♯の音階[ ^{i ]は}、ピアノの鍵盤上にあるにもかかわらず、同一ではありません。 ♭音階はピタゴラス音階のコンマが1つ低いのです。この違いを無視すると、異名同音の変化が生じます。

この音程は、半音階の様々な調律方式に重大な影響を及ぼします。なぜなら、西洋音楽では、12の完全5度と7つのオクターブが同じ音程として扱われるからです。今日、西洋で最も一般的な調律方式である平均律は、各5度をピタゴラス音律のコンマの12分の1（約2セント）だけ低くすることで、この問題を解決し、完全オクターブを作り出しました。

これを別の言い方で表現すると、純正5度は（主音と比較して）周波数比が3:2、つまり1.5対1であるのに対し、7番目の半音（1オクターブを12等分した対数に基づく）は2の12乗根の7乗、つまり1.4983...対1であり、これは厳密には同じではありません（約0.1%の差があります）。純正5度を12乗し、そこから7オクターブを引くと、ピタゴラスコンマが得られます（約1.4%の差があります）。

コンマの比率が531441:524288であることを最初に言及したのはユークリッドで、彼はピタゴラス音律の全音（比率9:8）、オクターブ（比率2:1）、そして数A = 262144を基準としている。彼はこの数を6全音上げると、オクターブ（Aの2倍）上げるよりも大きな値Gが得られると結論づけている。彼はGを531441としている。^{[ 6 ]}必要な計算は次のようになる。

Gの計算：

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Aの2倍の計算：

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

中国の数学者たちは紀元前122年にはすでにピタゴラスのコンマを認識しており（その計算方法は『淮南子』に詳しく記されている）、紀元前50年頃、荊芳は完全5度のサイクルを12を超えて53まで続けると、この53番目の音と開始音との差がピタゴラスのコンマよりもはるかに小さくなることを発見した。このはるかに小さい間隔は後にメルカトルのコンマと名付けられた（53平均律の歴史を参照）。

ジョージ・ラッセルの『リディア旋法による調性構成の概念』 （1953年）では、彼のオルタード・メジャー・ブルースとマイナー・ブルース・ブルースの補助音階におけるリディア旋法の主音と♭ 2の間の半音は、理論的にはピタゴラス音律のコンマに基づいている。^{[ 7 ]}

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