特殊等角変換

射影幾何学において、特殊共形変換はアフィン変換ではない線型分数変換です。したがって、特殊共形変換の生成には、アフィンではない線型分数変換の生成元である乗法反転の使用が必要です。

数理物理学では、球面波変換として知られる特定の共形写像は、特殊な共形変換です。

特別な共形変換は次のように書くことができる^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.}$

これは、反転( x μ ^→  x  μ ^/ x ² = y ^μ )、平行移動( y ^μ  →  y ^μ  −  b ^μ = z ^μ )、および別の反転 ( z ^μ  →  z ^μ /z ² = )の合成です。 x ' ^μ )

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

その微小生成器は

${\displaystyle K_{\mu}=-i(2x_{\mu}x^{\nu}\partial _{\nu}-x^{2}\partial _{\mu})\,.}$

特殊な共形変換は双曲運動する電荷の力場を研究するために使われてきた。^[2]

この反転は、双四元数Bの乗法反転とも言える^[3]。複素代数B は、環上の射影直線を通じて P( B )に拡張できる。P( B ) 上のホモグラフィには変換が含まれる。

${\displaystyle U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).}$

ホモグラフィ群G( B )は埋め込みq →U( q :1)に関する無限遠での並進を含む。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

行列は特殊な共形変換の作用を記述する。^[4]

平行移動は、射影直線上に作用する線型分数群の部分群を形成する。同次座標の射影直線には、z → [ z :1] とz → [1: z ] の 2 つの埋め込みがある。加算演算は、最初の埋め込みにおける平行移動に対応する。2 番目の埋め込みへの平行移動は、特別な共形変換であり、無限遠における平行移動を形成する。これらの変換による加算は、加算前の項を往復させ、次に別の往復によって結果を返す。この演算は、平行移動と呼ばれる。複素平面の場合、平行移動演算子は、無限遠を使用するがゼロを除外する代替フィールドにおける加算演算を形成する。したがって、無限遠における平行移動は、射影直線上のホモグラフィ群の別の部分群を形成する。

特殊等角変換 (ドイツ語では「speziellen konformen Transformationen」) という用語は、1962 年にハンス カストラップによって初めて使用されました。^{[5] [6]}