ケーリー・ハミルトン定理

線型代数学において、ケイリー・ハミルトン定理（数学者アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名付けられた）は、可換環（実数や複素数、整数など）上のすべての正方行列は、それ自身の特性方程式を満たすということを述べています。

n  ×  n行列Aの特性多項式は^[5]のように定義されます。ここで、detは行列式の演算、λは基本環の変数スカラー要素、I _nはn  ×  n単位行列です。行列の各要素はλについて定数または線形であるため、 の行列式はλの次数nモニック多項式となり、次のように記述できます。 スカラー変数λ を行列Aに置き換えると、類似の行列多項式式を定義できます。 (ここで、 は与えられた行列であり、 とは異なり変数ではなく、は関数ではなく定数です。) ケイリー・ハミルトン定理によれば、この多項式式はゼロ行列に等しい、つまり特性多項式は の消滅多項式です。 ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$ ${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$ $${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda +c_{0}.}$$$${\displaystyle p_{A}(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle p_{A}(A)}$${\displaystyle p_{A}(A)=\mathbf {0} ;}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle A.}$

ケイリー・ハミルトン定理の用途の 1 つは、 A ^{n を}Aの下側の行列のべき乗の線形結合として表現できることです。 環が体である場合、ケイリー・ハミルトン定理は、正方行列の最小多項式がその特性多項式 を割り切るという主張と同等です。$${\displaystyle A^{n}=-c_{n-1}A^{n-1}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I_{n}.}$$

この定理の特殊なケースは、1853年にハミルトンによって四元数の線形関数の逆関数に関して初めて証明された^[6]。^{[2] [3] [4]これは、特定の}4 × 4実数行列または2 × 2複素行列の特殊なケースに対応する。 1858年にケイリーは3 × 3以下の行列の結果を示したが、 2 × 2の場合の証明のみを発表した。^{[7] [8]} n  ×  n行列に関しては、ケイリーは「...、任意の次数の行列の一般的なケースで定理の正式な証明を行う必要はないと考えました」と述べた。 一般的なケースは、1878年にフェルディナント・フロベニウスによって初めて証明された。 ^[9]

1×1行列A = ( a )の場合、特性多項式はp ( λ ) = λ − aで与えられるので、p ( A ) = ( a ) − a (1) = 0は自明である。

具体的な例として、 その特性多項式は次のように与えられる。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

ケイリー・ハミルトン定理は、 次の ように定義する と、 計算によって確かに次のことが証明できると主張している。 $${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$$${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

一般的な2×2行列の場合、 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

特性多項式はp ( λ ) = λ ² − ( a + d ) λ + ( ad − bc )で与えられるので、ケーリー・ハミルトン定理は、 A ² の要素を計算すれば明らかなように、実際に常に当てはまることを述べています。 $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$

一般的なn  ×  n 可逆行列 A、すなわち行列式が0でない行列Aの場合、A ^−1はAの( n −1)次多項式として表される。 示されているように、ケイリー・ハミルトン定理は次の恒等式となる。

係数c _{i は、} Aの固有値の基本対称多項式によって与えられます。ニュートン恒等式を使用すると、基本対称多項式は、固有値の べき乗和対称多項式で表すことができます。 ここで、 tr( A ^k )は行列A ^kのトレースです。したがって、 c _{i を}Aのべき乗のトレースで表すことができます。 $${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$

一般に、係数c _iの式は、完全指数ベル多項式で次のように表される^{[注 1]。} $${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

特に、Aの行列式は(−1) ⁿ c ₀に等しい。したがって、行列式はトレース恒等式として書くことができる。 $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

同様に、特性多項式は 次のように書くことができ、両辺にA ⁻¹（−(−1) ⁿ = (−1) ^{n −1}であることに注意）を掛けると、トレース恒等式としてAの逆関数を表す式が得られる。 $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

一般的なn  ×  n行列の係数c _{k を}得るための別の方法は、根がゼロにならないことを前提として、行列式の次の代替表現に依存します。 したがって、メルカトル級数 のおかげで、 指数はλ ^{− n}の次数まで展開するだけで済みます。これは、 p ( λ )がnの次数であるためです。 λの正味の負の累乗は、C-H 定理によって自動的に消えます。 (この場合も、有理数を含む環が必要です。)この表現をλについて微分すると、一般的なnの特性多項式の係数をm  ×  m行列の行列式として表すことができます。 ^{[nb 2]}$${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$$${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$ $${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

例

例えば、最初のいくつかのベル多項式は、 B ₀ = 1、B ₁ ( x ₁ ) = x ₁、B ₂ ( x ₁、x ₂ ) = xである。²
₁+ x ₂、そしてB ₃ ( x ₁、x ₂、x ₃ ) = x³
₁+ 3 x ₁ x ₂ + x ₃。

これらを使って2×2行列 の特性多項式の係数c _{i を指定すると、次の式が得られます。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

係数c ₀は2×2行列の行列式、つまりc ₁からそのトレースを引いたものを与え、その逆行列は次のように与えられる。 $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

ベル多項式で表される c _{n − k}の一般公式から、次の式が成り立つことは明らかである。$${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

は、任意のn  ×  n行列の特性多項式におけるλ ⁿ ₋₁の係数c _n ⁻¹とλ ⁿ ₋₂の係数c _n ⁻²をそれぞれ常に与えます。したがって、 3 × 3行列Aの場合、ケイリー・ハミルトンの定理のステートメントは、次のようにも記述できます 。ここで 、右辺は、すべての要素がゼロに減算された3 × 3行列を示します。同様に、 n = 3の場合のこの行列式は、次のようになります 。 この式は、以下に示すように、一般的な場合のλ ⁿ _{−3の係数}c _n ⁻³の負の値を与えます。 $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$

同様に、 4×4行列Aについては、 $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}-{\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

ここで、行列式はc _{n −4}であり、

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

より大きな行列の場合も同様です。係数c _kのますます複雑な表現は、ニュートンの恒等式またはFaddeev-LeVerrier アルゴリズムから演繹できます。

ケイリー・ハミルトン定理は、常にAの累乗間の関係を提供します（必ずしも最も単純な関係とは限りません）。これにより、そのような累乗を含む式を簡略化し、累乗A ⁿやAのそれ以上の累乗を計算しなくても評価することができます。

例えば、定理は ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$

次に、A ⁴を計算するには、 同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

行列のべき乗を 2 つの項の和として表すことができることに注目してください。実際、任意の次数kの行列のべき乗は、最大で次数n − 1の行列多項式として表すことができます。ここで、n は正方行列のサイズです。これは、ケイリー・ハミルトン定理を使用して行列関数を表現できる例であり、これについては以下で体系的に説明します。

解析関数と n  ×  n行列Aのn次 特性多項式p ( x )が与えられた場合、関数は長除法を使用して次のように表すことができます。 ここ で、 q ( x )は商多項式、r ( x )は0 ≤ deg r ( x ) < nとなる剰余多項式です。 $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$$${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$

ケーリー・ハミルトン定理により、xを行列Aに置き換えるとp ( A ) = 0となるので、 $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

したがって、行列Aの解析関数は、 n未満の次数の行列多項式として表すことができます。

剰余多項式を p ( λ ) = 0 とすると、関数f ( x ) をAのn個の固有値で評価すると次の式が得られます 。これはn 個の線形方程式 の連立方程式に相当し、これを解くことで係数c _{i を}決定できます。したがって、 $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$$${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{for }}i=1,2,...,n.}$$ $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

固有値が重複している場合、つまりi ≠ jに対してλ _i = λ _jである場合、2 つ以上の方程式は同一であるため、線形方程式を一意に解くことはできません。このような場合、重複度mの固有値λについて、 p ( x )の最初のm – 1 個の導関数は固有値で消えます。これにより、m – 1 個の線形独立な解が 追加され、他の解と組み合わせると、 c _iを解くために 必要なn個の方程式が生成されます。 $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$

点( λ _i、   f  ( λ _i ) )を通る多項式を見つけることは本質的には補間問題であり、ラグランジュ補間法またはニュートン補間法を使用して解くことができ、シルベスターの公式につながります。

例えば、次の多項式表現を求めるタスクがあるとします。 $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

特性多項式はp ( x ) = ( x − 1)( x − 3) = x ² − 4 x + 3であり、固有値はλ = 1, 3です。r ( x ) = c ₀ + c ₁ xとします。固有値でf ( λ ) = r ( λ )を評価すると、 2 つの線形方程式e ^t = c ₀ + c ₁とe ^{3 t} = c ₀ + 3 c ₁が得られます。

これらの式を解くと、c ₀ = (3 e ^t − e ^{3 t} )/2、c ₁ = ( e ^{3 t} − e ^t )/2となる。したがって、 $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

代わりに関数がf ( A ) = sin Atであれば、係数はc ₀ = (3 sin t − sin 3 t )/2およびc ₁ = (sin 3 t − sin t )/2となる。したがって 、$${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

さらなる例として、 を考えると 、特性多項式はp ( x ) = x ²  + 1であり、固有値はλ = ± iです。 $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$

前と同様に、固有値で関数を評価すると、線形方程式e ^it = c ₀ + ic ₁およびe ^{− it} = c ₀ − ic ₁が得られます。その解は、c ₀ = ( e ^it + e ^{− it} )/2 = cos  tおよびc ₁ = ( e ^it − e ^{− it} )/2 i = sin  tとなります。したがって、この場合は、 回転行列 になります。 $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$

このような使用法の標準的な例としては、行列リー群のリー代数から群への指数写像が挙げられます。これは行列指数で与えられます。このような表現は、 SU(2)（ σ はパウリ行列）やSO(3)（ ロドリゲスの回転公式） に対しては古くから知られています 。表記法については、3D 回転群#リー代数に関する注記を参照してください。 $${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.}$$$${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$$${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$

最近では、ローレンツ群 SO(3, 1)、^[10] O(4, 2) ^[11]やSU(2, 2)、^{[12] 、} GL( n , R ) ^[13]などの他の群に対する表現も登場している。O(4, 2)群は時空の共形群であり、SU(2, 2) はその単連結被覆（正確には、O( 4, 2) の連結成分SO ⁺ (4, 2)の単連結被覆）である。 得られた表現は、これらの群の標準的な表現に適用される。 指数関数的に表すには、行列の（一部の）固有値を知っている必要がある。 SU(2)（したがってSO(3) ）については、すべての既約表現、つまり任意のスピンに対して閉じた表現が得られている。 ^[14]

ケイリー・ハミルトン定理は、代数的整数の最小多項式を計算するための効果的なツールです。たとえば、の有限拡大と の非ゼロ線形結合である代数的整数が与えられている場合、 -線形変換を表す行列を見つけることによっての最小多項式を計算できます。 この変換行列を と呼ぶと、 にケイリー・ハミルトン定理を適用することで最小多項式を見つけることができます。^[15]${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \cdot \alpha :\mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ケイリー・ハミルトン定理は、代数的に閉じた体上の行列のジョルダン標準形の存在から直接得られる結果です。ジョルダン標準形 § ケイリー・ハミルトン定理を参照してください。このセクションでは、直接的な証明を示します。

上記の例が示すように、 n  ×  n行列 に対するケーリー・ハミルトン定理の記述を得るには、

$${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}}$$2つのステップが必要である。まず、特性多項式の 係数c _{i は}、行列式の tの多項式として展開することによって決定される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\det(tI_{n}-A)={\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots &-a_{1,n}\\-a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots &-a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n,1}&-a_{n,2}&\cdots &t-a_{n,n}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0},\end{aligned}}}$$

そして、これらの係数は、n  ×  nのゼロ行列に等しいAの累乗の線形結合で使用されます。 $${\displaystyle A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$$

左辺は、Aの要素a _i、jの集合内の（巨大な）多項式を要素とするn  ×  n行列に展開できるため、ケイリー・ハミルトン定理によれば、これらのn ²式のそれぞれは0に等しいとされています。 nの任意の固定値に対して、これらの恒等式は、面倒ではあるが簡単な代数操作によって得ることができます。ただし、これらの計算のいずれも、ケイリー・ハミルトン定理がすべての可能なサイズnの行列に対して有効である理由を示すことはできないため、すべてのnに対する統一的な証明が必要です。

サイズnのベクトルvが、固有値λを持つAの固有ベクトルである場合、つまりA ⋅ v = λvである場合、 p ( λ ) = 0（Aの固有値はp ( t )の根とまったく同じ）である ため、これはゼロベクトルです。 これはすべての可能な固有値λに対して成り立つため、定理によって等式化された 2 つの行列は、どの固有ベクトルに適用されても同じ（ゼロの）結果になります。 ここで、A が固有ベクトルの基底を許容する場合、つまりAが対角化可能である場合、ケーリー・ハミルトン定理はAに対して成り立ちます。これは、基底の各要素に適用されたときに同じ値を与える 2 つの行列は等しくなければならないためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$ $${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$ $${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$ $${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$ $${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$