ルーレット（カーブ）

曲線の微分幾何学において、ルーレットは、サイクロイド、エピサイクロイド、ハイポサイクロイド、トロコイド、エピトロコイド、ハイポトロコイド、インボリュートを一般化した曲線の一種です。基本的なレベルでは、曲線が別の曲線の上を滑ることなく転がりながら描く経路です。

大まかに言えば、ルーレットとは、ある曲線が固定された別の曲線に沿って滑ることなく転がるときに、その曲線に付けられた点 (ジェネレーターまたはポールと呼ばれる) によって描かれる曲線です。より正確には、同じ空間を占める固定された平面に接続された特定の曲線に沿って滑ることなく転がるように移動している平面に接続された曲線がある場合、移動している平面に接続された点は、ルーレットと呼ばれる固定平面内の曲線を描きます。

ローリング曲線が直線で、生成点が直線上の点である場合、ルーレットは固定曲線のインボリュートと呼ばれます。ローリング曲線が円で、固定曲線が直線である場合、ルーレットはトロコイドです。この場合、点が円上にある場合、ルーレットはサイクロイドです。

関連する概念として、グリセットがあります。これは、与えられた曲線に付けられた点が 2 つ (またはそれ以上) の与えられた曲線に沿ってスライドするときに、その点によって記述される曲線です。

正式に言えば、曲線はユークリッド平面上の微分可能曲線でなければなりません。固定曲線は不変に保たれ、回転曲線は連続的な合同変換の対象となり、どちらの曲線に沿っても常に同じ速度で移動する接点で曲線が接します(この制約を表現する別の方法は、2 つの曲線の接点が合同変換の瞬間的な回転中心になることです)。結果として得られるルーレットは、同じ一連の合同変換の対象となったジェネレータの 軌跡によって形成されます。

元の曲線を複素平面の曲線としてモデル化すると、回転曲線 ( )と固定曲線( )の2 つの自然なパラメータ化が、すべての に対して 、 、 となるとします。が転がるジェネレータのルーレットは、次のマッピングによって与えられます。 ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r(0)=f(0)}$${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

回転曲線に 1 つの点を付ける代わりに、別の特定の曲線を移動平面に沿って運ぶと、合同な曲線の族が生成されます。この族のエンベロープは、ルーレットとも呼ばれます。

より高い空間でのルーレットは確かに想像できますが、接線以上のものを揃える必要があります。

固定曲線が懸垂線で、回転曲線が直線である場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

線のパラメータ化は次のように選択される。

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

上記の式を適用すると次のようになります。

${\displaystyle f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

p = − iの場合、式は一定の虚数部（つまり − i ）を持ち、ルーレットは水平線になります。これの興味深い応用例は、四角い車輪が、懸垂線の弧が一致した一連の道路上を跳ねることなく転がることができること です。

• ローリング
• ギヤ
• 軌跡（数学）
• 重ね合わせの原理
• スピログラフ
• トゥシ夫婦
• ロゼッタ（軌道）

• WH Besant (1890) 「ルーレットとグリセットに関する注記」、コーネル大学歴史数学モノグラフより、元々 Deighton、Bell & Co. より出版。
• ワイスタイン、エリック・W.「ルーレット」。マスワールド。

• 2dcurves.com のルーレット
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (フランス語)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (ドイツ語)