文字列が別の曲線からアンラップされてトレースされる曲線
放物線の2つのインボリュート（赤） 数学 において 、 インボリュート （または 進化 曲線）は、別の形状または曲線に依存する特定のタイプの 曲線 です。曲線のインボリュートは、 張られた弦が曲線からほどかれるか、曲線に巻き付けられるときに、弦上の点が描く 軌跡です。 [1]
インボリュートの縮閉線 は 元の曲線です。
これは、ルーレット 曲線族によって一般化されます 。つまり、曲線のインボリュートは、直線によって生成される曲線のルーレットです。
曲線の縮閉線と縮閉線の概念は、 クリスティアーン・ホイヘンス が著書 『時計の振動子は幾何学的に 適切な振子である』（1673年）で導入した。ホイヘンスは、サイクロイドの縮閉線もサイクロイドであることを示し、サイクロイド振り子 の作り方を示した。サイクロイド振り子は、 周期が振動の振幅に依存しないという便利な性質を持っている。 [2]
パラメータ化された曲線のインボリュート を平面上の 正則曲線 とし 、 その 曲率は 0でなく、の ときは、パラメトリック表現を持つ曲線は
c →
（ t ） 、 t ∈ [
t
1
、
t
2
]
{\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}
1つの ∈ （
t
1
、
t
2
）
{\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}
C
→
a
(
t
)
=
c
→
(
t
)
−
c
→
′
(
t
)
|
c
→
′
(
t
)
|
∫
a
t
|
c
→
′
(
w
)
|
d
w
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
与えられた曲線の
インボリュート です。
積分に 任意の固定数値を加えると、 ( ほどかれる前にすでにある程度の長さの糸が垂れ下がっている毛糸玉のように) 延長された弦に対応するインボリュートが生成されます。したがって、インボリュートは定数および/または積分に数値を加えることで変化させることができます ( 「 半三次放物線のインボリュート」を参照)。
l
0
{\displaystyle l_{0}}
(
∫
a
t
|
c
→
′
(
w
)
|
d
w
)
{\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}
l
0
{\displaystyle l_{0}}
a
{\displaystyle a}
もし 誰かが
c
→
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
T
{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}
X
(
t
)
=
x
(
t
)
−
x
′
(
t
)
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
∫
a
t
x
′
(
w
)
2
+
y
′
(
w
)
2
d
w
Y
(
t
)
=
y
(
t
)
−
y
′
(
t
)
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
∫
a
t
x
′
(
w
)
2
+
y
′
(
w
)
2
d
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}
インボリュートの特性 インボリュート: 特性。 示されている角度は 90 度です。 正規曲線の特性を導くには、 弧の長さ を与えられた曲線のパラメータと仮定すると有利です。これにより、次の簡略化が実現されます。 および 、曲率 、単位法線です 。 インボリュート の 場合は次の式が得られます。
s
{\displaystyle s}
|
c
→
′
(
s
)
|
=
1
{\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}
c
→
″
(
s
)
=
κ
(
s
)
n
→
(
s
)
{\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}
κ
{\displaystyle \kappa }
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
C
→
a
(
s
)
=
c
→
(
s
)
−
c
→
′
(
s
)
(
s
−
a
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }
そして
C
→
a
′
(
s
)
=
−
c
→
″
(
s
)
(
s
−
a
)
=
−
κ
(
s
)
n
→
(
s
)
(
s
−
a
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}
そして声明:
点では インボリュートは 正則ではない （なぜなら ）。
C
→
a
(
a
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}
|
C
→
a
′
(
a
)
|
=
0
{\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}
そして 以下から:
C
→
a
′
(
s
)
⋅
c
→
′
(
s
)
=
0
{\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}
点 におけるインボリュートの法線は、 点 における指定された曲線の接線です 。
C
→
a
(
s
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}
c
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {c}}(s)}
インボリュートは、 および における単位法線である という事実により、 平行 曲線 です。
C
→
a
(
s
)
=
C
→
0
(
s
)
+
a
c
→
′
(
s
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}
c
→
′
(
s
)
{\displaystyle {\vec {c}}'(s)}
C
→
0
(
s
)
{\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}
インボリュートの族と元の曲線の接線の族は、 直交座標系を 構成します。したがって、インボリュートをグラフィカルに構築することができます。まず、接線の族を描きます。次に、点を通過する接線に対して常に直交するようにインボリュートを構築できます。
カスプ このセクションは[3] に基づいています。
インボリュートには、一般的に 2 種類のカスプがあります。1 つ目のタイプは、インボリュートが曲線自体に接する点にあります。これは、次数 3/2 のカスプです。2 つ目のタイプは、曲線に変曲点がある点にあります。これは、次数 5/2 のカスプです。
これは、によって 定義される マップを作成することによって視覚的に確認できます。ここで、 は曲線の弧長パラメータ化であり、 は 点 における曲線の傾斜角です 。これは、2D 平面を 3D 空間の表面にマップします。たとえば、これは円を 1 枚の双曲面 にマップします。
f
:
R
2
→
R
3
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}
(
s
,
t
)
↦
(
x
(
s
)
+
t
cos
(
θ
)
,
y
(
s
)
+
t
sin
(
θ
)
,
t
)
{\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
{\displaystyle (x(s),y(s))}
θ
{\displaystyle \theta }
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
{\displaystyle (x(s),y(s))}
この写像により、インボリュートはに写像し 、次に の曲面に写像し、最後に z 軸を削除して に投影するという 3 段階のプロセスで得られます。 ここで は 任意の実定数です。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
s
↦
(
s
,
l
−
s
)
↦
f
(
s
,
l
−
s
)
↦
(
f
(
s
,
l
−
s
)
x
,
f
(
s
,
l
−
s
)
y
)
{\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}
l
{\displaystyle l}
マッピングは のすべての導関数がゼロではないため 、インボリュートの尖点は の導関数 が垂直（z 軸に平行）な場合にのみ発生し、これは の曲面に 垂直接線平面がある場合にのみ発生します。
s
↦
f
(
s
,
l
−
s
)
{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}
s
∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
s
↦
f
(
s
,
l
−
s
)
{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
一般的に、サーフェスが垂直接線面を持つのは、サーフェスが曲線に接する場合と、曲線に変曲点がある場合の 2 つの場合のみです。
3/2 の頂点 最初のタイプでは、円のインボリュートから始めて、方程式 を 設定し 、小さい について展開して、 3/2 次曲線 、つまり 半三次放物線 を得ることができます 。
X
(
t
)
=
r
(
cos
t
+
(
t
−
a
)
sin
t
)
Y
(
t
)
=
r
(
sin
t
−
(
t
−
a
)
cos
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
t
{\displaystyle t}
X
(
t
)
=
r
+
r
t
2
/
2
+
O
(
t
4
)
Y
(
t
)
=
r
t
3
/
3
+
O
(
t
5
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}
Y
2
−
8
9
r
(
X
−
r
)
3
+
O
(
Y
8
/
3
)
=
0
{\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}
5/2 の順序のカスプ 3 次曲線の接線とインボリュート 。3/2 次尖点は 3 次曲線上にあり、5/2 次尖点は x 軸 (変曲点の接線) 上にあります。
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
2 番目のタイプでは、曲線 について考えます。 から へ の弧 の長さは で 、 で の接線の角度はです。したがって、 から の 距離 で始まるインボリュートは、 パラメータ式で 表されます。 これを 次数まで展開する と、 次数 5/2 のカスプである が得られます。明示的には、 が満たす多項式展開を解くことができます 。 または は、カスプの形状を明確に示します。
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
s
{\displaystyle x=s}
∫
0
s
1
+
(
3
t
2
)
2
d
t
=
s
+
9
10
s
5
−
9
8
s
9
+
O
(
s
13
)
{\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}
x
=
s
{\displaystyle x=s}
θ
=
arctan
(
3
s
2
)
{\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
L
{\displaystyle L}
{
x
(
s
)
=
s
+
(
L
−
s
−
9
10
s
5
+
⋯
)
cos
θ
y
(
s
)
=
s
3
+
(
L
−
s
−
9
10
s
5
+
⋯
)
sin
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}
s
5
{\displaystyle s^{5}}
{
x
(
s
)
=
L
−
9
2
L
s
4
+
(
9
2
L
−
9
10
)
s
5
+
O
(
s
6
)
y
(
s
)
=
3
L
s
2
−
2
s
3
+
O
(
s
6
)
{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
(
x
−
L
+
y
2
2
L
)
2
−
(
9
2
L
+
51
10
)
2
(
y
3
L
)
5
+
O
(
s
11
)
=
0
{\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}
x
=
L
−
y
2
2
L
±
(
9
2
L
+
51
10
)
(
y
3
L
)
2.5
+
O
(
y
2.75
)
,
y
≥
0
{\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}
と設定する と、原点を通過するインボリュートが得られます。これは尖点を含まない特別なものです。直列展開により、パラメトリック方程式 または
L
=
0
{\displaystyle L=0}
{
x
(
s
)
=
18
5
s
5
−
126
5
s
9
+
O
(
s
13
)
y
(
s
)
=
−
2
s
3
+
54
5
s
7
−
318
5
s
11
+
O
(
s
15
)
{\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}
x
=
−
18
5
⋅
2
1
/
3
y
5
/
3
+
O
(
y
3
)
{\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}
例
円のインボリュート 円のインボリュート パラメトリック表現の円の場合 、 となります
。したがって 、パスの長さは です 。
(
r
cos
(
t
)
,
r
sin
(
t
)
)
{\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}
c
→
′
(
t
)
=
(
−
r
sin
t
,
r
cos
t
)
{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}
|
c
→
′
(
t
)
|
=
r
{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}
r
(
t
−
a
)
{\displaystyle r(t-a)}
上記のインボリュートの方程式を評価すると、次の式が得られます。
X
(
t
)
=
r
(
cos
(
t
+
a
)
+
t
sin
(
t
+
a
)
)
Y
(
t
)
=
r
(
sin
(
t
+
a
)
−
t
cos
(
t
+
a
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}
円のインボリュートの
媒介変数方程式 について。
この 項はオプションです。円上の曲線の開始位置を設定するために使用されます。図には、 (緑)、 (赤)、 (紫)、 (水色) のインボリュートが示されています。インボリュートは アルキメデスの螺旋 のように見えますが、実際は異なります。
a
{\displaystyle a}
a
=
−
0.5
{\displaystyle a=-0.5}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
a
=
0.5
{\displaystyle a=0.5}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
インボリュートの
弧の長さ は
a
=
0
{\displaystyle a=0}
0
≤
t
≤
t
2
{\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}
L
=
r
2
t
2
2
.
{\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}
半三次放物線のインボリュート (青)。赤い曲線だけが放物線です。インボリュートと接線が直交座標系を構成する様子に注目してください。これは一般的な事実です。
半三次放物線のインボリュート パラメトリック 方程式は 半三次放物線 を記述します 。 から および が 得られます 。 文字列を 大幅に拡張すると、計算がさらに簡略化され、 が得られます。
c
→
(
t
)
=
(
t
3
3
,
t
2
2
)
{\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}
c
→
′
(
t
)
=
(
t
2
,
t
)
{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}
|
c
→
′
(
t
)
|
=
t
t
2
+
1
{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}
∫
0
t
w
w
2
+
1
d
w
=
1
3
t
2
+
1
3
−
1
3
{\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}
l
0
=
1
3
{\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}
X
(
t
)
=
−
t
3
Y
(
t
)
=
t
2
6
−
1
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}
t を 消去 すると 、このインボリュートが 放物線である ことが示されます。
Y
=
3
2
X
2
−
1
3
,
{\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}
したがって、他のインボリュートは 放物線の 平行曲線であり、6 次曲線であるため放物線ではありません ( 平行曲線 § その他の例を 参照)。
カテナリー線 (青) の赤いインボリュートはトラクトリクスです。
カテナリーのインボリュート カテナリー の場合 、接線ベクトルは 、 長さは です 。したがって、点 (0, 1) からの弧の長さは
(
t
,
cosh
t
)
{\displaystyle (t,\cosh t)}
c
→
′
(
t
)
=
(
1
,
sinh
t
)
{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}
1
+
sinh
2
t
=
cosh
2
t
,
{\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}
|
c
→
′
(
t
)
|
=
cosh
t
{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}
∫
0
t
cosh
w
d
w
=
sinh
t
.
{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}
したがって、 (0, 1) から始まるインボリュートは 次のようにパラメータ化される。
(
t
−
tanh
t
,
1
/
cosh
t
)
,
{\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}
したがって、 トラクトリックス です。
他のインボリュートはトラクトリクスの平行曲線であるため、トラクトリクスではありません。
サイクロイドのインボリュート サイクロイドのインボリュート（青）：赤い曲線だけが別のサイクロイドです パラメトリック表現は サイクロイド を表す 。 から 、（いくつかの三角関数の公式を使用した後）次の式が得られる。
c
→
(
t
)
=
(
t
−
sin
t
,
1
−
cos
t
)
{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}
c
→
′
(
t
)
=
(
1
−
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}
|
c
→
′
(
t
)
|
=
2
sin
t
2
,
{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}
そして
∫
π
t
2
sin
w
2
d
w
=
−
4
cos
t
2
.
{\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}
したがって、対応するインボリュートの方程式は
X
(
t
)
=
t
+
sin
t
,
{\displaystyle X(t)=t+\sin t,}
Y
(
t
)
=
3
+
cos
t
,
{\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}
これは図のシフトした赤いサイクロイドを表しています。したがって
サイクロイドのインボリュートは サイクロイドの平行曲線である
(
t
−
sin
t
,
1
−
cos
t
)
{\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}
(
t
+
sin
t
,
3
+
cos
t
)
.
{\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}
(サイクロイドの平行曲線はサイクロイドではありません。)
インボリュートとエボリュート 与えられた曲線の 縮 閉線は 、の曲率中心から構成される 。縮閉線と閉閉線の間では、次のことが成り立つ。
[4] [5]
c
0
{\displaystyle c_{0}}
c
0
{\displaystyle c_{0}}
曲線は、その任意のインボリュートの縮閉線です。
応用 現代のギアの 歯の最も一般的なプロファイルは、 円のインボリュートです。 インボリュート ギア システムでは、かみ合う 2 つのギアの歯は、単一の直線の作用線に沿って 1 つの瞬間点で接触します。接触する歯が互いに及ぼす力もこの直線に沿っており、歯に対して垂直です。これらの条件を維持するインボリュート ギア システムは、ギアリングの基本法則に従います。つまり、2 つのギア間の角速度の比率は、全体を通じて一定でなければなりません。
他の形状の歯では、連続した歯が噛み合うにつれて相対速度と力が増減し、振動、騒音、過度の摩耗が発生します。このため、現代の平面歯車システムのほとんどはインボリュート歯車か、それに関連する サイクロイド歯車 システムのいずれかです。 [6]
スクロールコンプレッサーの仕組み 円のインボリュートは ガス圧縮 においても重要な形状であり、 スクロール コンプレッサーはこの形状に基づいて構築できます。スクロール コンプレッサーは従来のコンプレッサーよりも騒音が少なく、非常に 効率的で あることが証明されています 。
高 中性子束同位体原子炉 では、燃料要素間に冷却材用の一定幅のチャネルを確保するために、インボリュート形状の燃料要素を使用します。
参照
参考文献
^ ラター、JW (2000)。曲線の幾何学。CRC プレス。pp. 204。ISBN 9781584881667 。 ^ McCleary, John (2013). 微分可能な視点からの幾何学 ケンブリッジ大学出版局 pp. 89. ISBN 9780521116077 。 ^ Arnolʹd, VI (1990). ホイヘンスとバロー、ニュートンとフック:進化論から準結晶までの数学的解析とカタストロフィー理論の先駆者たち。バーゼル: Birkhaüser Verlag. ISBN 0-8176-2383-3 . OCLC 21873606. ^ K. Burg、H. Haf、F. Wille、A. Meister: Vektoranalogy: Höhere Mathematik für Ingenieure、Naturwissenschaftler und ... 、Springer-Verlag、2012、 ISBN 3834883468 、S. 30。 ^ R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung、1. Band 、Springer-Verlag、1955、S. 267. ^ VGA Goss (2013)「歯車の歯の形状への解析幾何学の応用」、 Resonance 18(9): 817～31 Springerlink（購読が必要）。
外部リンク
![{\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b014b9d8601fa970d2eaa1f8132f2f34ec432233)
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トラクトリックスの縮閉線は懸垂線である