集合（数学）

列挙記法は、1908年にエルンスト・ツェルメロによって導入された記法で、集合の要素を中括弧で囲み、コンマで区切って列挙することで集合を指定します。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}例えば、次のようになります。${\displaystyle \{4,2,1,3\}}$そして​​${\displaystyle \{{\text{青、白、赤}}\}}$括弧で囲まれているため、これらはタプルではなく集合を表します。

表記法${\displaystyle \{\,\}}$空集合の場合、そして${\displaystyle \{x\}}$単一要素の場合、これらはリスト表記の例です。

セットを指定する場合、各要素がセットに含まれているかどうかだけが重要であり、要素が繰り返されたり、異なる順序で配置されたりしてもセットは変わりません。たとえば、^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}。}$$

すべての集合要素を生成する明確なパターンがある場合、省略記号を使用して表記を省略することができます。 [ ^{29 ] [ 30 ]たとえば}、${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,10\}}$はの略語です${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}$列挙表記における省略記号は、いくつかの無限集合を表すためにも使用できます。たとえば、すべての整数の集合は次のように表すことができます 。$${\displaystyle \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$$ または $${\displaystyle \{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}.}$$

集合構成記法では、集合は、ある論理式を満たすすべての要素の集合として指定されます。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}より正確には、もし⁠${\displaystyle P(x)}$変数に依存する論理式です${\displaystyle x}$⁠、これは⁠の値に応じて真または偽と評価されます${\displaystyle x}$⁠、それから $${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$$ または^{[ 34 ]}$${\displaystyle \{x:P(x)\}}$$すべて の集合を表す${\displaystyle x}$⁠そのため⁠${\displaystyle P(x)}$⁠は真である。 ^{[ 10 ]}例えば、集合⁠${\displaystyle F}$以下のように指定できます 。$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{は整数であり、}}0\leq n\leq 19\}.}$$ この表記では、縦棒「|」は「～のように」と読み、式全体は「⁠${\displaystyle F}$はすべての集合です ${\displaystyle n}$⁠そのため⁠${\displaystyle n}$は0から19までの整数です。

論理式の中には、例えば次のようなものがあります。${\displaystyle \color {red}{S{\text{は集合です}}}}$または​​${\displaystyle \color {red}{S{\text{は集合であり、}}S\not \in S}}$⁠ は、その式によって特徴付けられる要素を持つ集合が存在しないため、集合構成記法では使用できません。この問題を回避する方法はいくつかあります。その式が集合を定義することを証明する方法があります。これは多くの場合すぐに証明できますが、非常に難しい場合もあります。

より大きなセットを導入することもできます。${\displaystyle U}$指定された集合のすべての要素を含まなければならない。表記法を次のように記述する 。$${\displaystyle \{x\mid x\in U{\text{ かつ ...}}\}}$$ または $${\displaystyle \{x\in U\mid {\text{ ...}}\}.}$$

また、次のように定義することもできます。${\displaystyle U}$⁠一度きりで、表記の縦棒の左側に現れるすべての変数は、要素を表すという慣例を採用します。${\displaystyle U}$これはつまり、${\displaystyle x\in U}$⁠は集合構成記法では暗黙的に含まれています。この場合、 ⁠${\displaystyle U}$はしばしば議論の領域または宇宙と呼ばれます。

例えば、小文字のラテン文字は実数のみを表すという慣例により、次の式は$${\displaystyle \{x\mid x\not \in \mathbb {Q} \}}$$ は略語です $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x\not \in \mathbb {Q} \},}$$ これは無理数を定義する。

• 全ての人間の集合は、全ての哺乳類の集合の真部分集合である。
• ⁠${\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}}$⁠
• ⁠${\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$⁠

• 2つの集合が等しいのは、それらが互いに包含する場合に限る。${\displaystyle A=B}$⁠は ( ⁠と同等です${\displaystyle A\subseteq B}$そして​​${\displaystyle B\subseteq A}$⁠ ). ^{[ 32 ] [ 10 ]}
• 空集合はあらゆる集合の部分集合である。${\displaystyle \forall A,\varnothing \subseteq A}$⁠ . ^{[ 19 ]}

2つの集合の共通部分${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は、で表される集合です。${\displaystyle A\cap B}$その要素は両方に属する要素である。${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$つまり 、$${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\},}$$ どこで${\displaystyle \land }$⁠は論理とを表します。

交差演算は結合法則と交換法則を満たします。つまり、一連の交差演算を行う際には、演算の順序を指定するために括弧を使用する必要なく、任意の順序で演算を進めることができます。

もし​$\displaystyle {\mathcal {S}}}$は空でない集合の集合であり、その共通部分は、 ${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ は、 のすべての集合に属する要素を要素とする集合です。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$つまり 、$$\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\forall A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ 例：${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$、 それから${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cap Y}$。

2つの集合の和集合${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は、で表される集合です。${\displaystyle A\cup B}$要素は、に属する要素です。${\displaystyle A}$または​​${\displaystyle B}$または両方。つまり、 $${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\},}$$ どこで${\displaystyle \lor }$⁠は論理和を表します。

和集合は結合法則と交換法則を満たす。

もし​$\displaystyle {\mathcal {S}}}$は集合の集合であり、その和集合は次のように表される。 ${\textstyle \bigcup S=\bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ は、少なくとも１つの集合に属する要素からなる集合である。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$つまり 、$$\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\exists A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ 例：${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$、 それから${\textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cup Y}$。

2つの集合の集合差${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は集合であり、 と表記される。${\displaystyle A\setminus B}$または​​${\displaystyle AB}$⁠、その要素は⁠に属する要素です${\displaystyle A}$⁠、しかし、 ⁠${\displaystyle B}$つまり 、$${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\not \in B\},}$$ どこで${\displaystyle \land }$⁠は論理とを表します。

いつ​${\displaystyle B\subseteq A}$違い​​${\displaystyle A\setminus B}$はの補数とも呼ばれます。${\displaystyle B}$⁠で⁠${\displaystyle A}$⁠ . 考慮されるすべての集合が固定された全体集合の部分集合である場合${\displaystyle U}$補数​​${\displaystyle U\setminus A}$はしばしばの絶対補数と呼ばれる。${\displaystyle A}$⁠ .

2つの集合の対称差${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$⁠、表記⁠${\displaystyle A\,\Delta \,B}$⁠ は、 に属する要素の集合です。${\displaystyle A}$または​​${\displaystyle B}$しかし、両方には適用されない。 $${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$$

ある集合のすべての部分集合の集合${\displaystyle U}$はの冪集合と呼ばれます。${\displaystyle U}$⁠、しばしば表記される⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$冪集合は代数構造であり、主な演算は和集合、積集合、差集合、対称差集合、絶対補集合（補集合は）である。${\displaystyle U}$⁠ )

冪集合は、加算として対称差、乗算として共通部分、加法単位元として空集合を持つブール環である。${\displaystyle U}$乗法単位元として、また部分集合自体を加法逆元として表します。

冪集合は、結合が ⁠ であるブール代数でもある。${\displaystyle \lor }$組合は​${\displaystyle \cup }$⁠、ミーティング⁠${\displaystyle \land }$交差点です​${\displaystyle \cap }$⁠、そして否定は集合の補集合です。

すべてのブール代数と同様に、冪集合も集合包含関係において半順序集合である。また、完全束でもある。

これらの構造の公理は、部分集合間の関係を示す多くの恒等式を導き出す。それらの詳細は、リンク先の記事に記載されている。

直感的に言えば、インデックス付きファミリーとは、要素に別の集合（インデックス集合）の要素のラベルが付けられた集合のことです。これらのラベルによって、同じ要素がファミリー内で複数回出現することが可能になります。

正式には、インデックス付きファミリーとは、インデックスセットを定義域とする関数のことです。一般的に、通常の関数表記では${\displaystyle f(x)}$⁠は索引付きファミリーには使用されません。代わりに、索引セットの要素はファミリー名の添え字として記述されます。例: ⁠${\displaystyle a_{i}}$⁠ .

インデックスセットが⁠${\displaystyle \{1,2\}}$⁠、インデックス付き族は順序対と呼ばれます。インデックス集合が⁠の集合である場合${\displaystyle n}$⁠最初の自然数では、インデックス付きの族は⁠${\displaystyle n}$⁠ -タプル。インデックス集合がすべての自然数の集合である場合、インデックス付き族はシーケンスと呼ばれます。

これらのすべての場合において、自然数の自然な順序により、明示的にインデックス付けされた族のインデックスを省略できます。たとえば、${\displaystyle (b,2,b)}$は3つ組を表します${\displaystyle A}$⁠そのため⁠${\displaystyle A_{1}=b,A_{2}=2,A_{3}=b}$⁠ .

上記の表記${\displaystyle \textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A}$そして​​${\displaystyle \textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A}$⁠は、一般的にインデックス付きファミリーを含む表記法に置き換えられます。 $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}}$$ そして $${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}.}$$

上記のセクションの式は、添え字付き族の式の特殊な場合であり、${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {I}}}$そして​​${\displaystyle i=A=A_{i}}$⁠。以下の場合でも、式は正しいままです。${\displaystyle A_{i}=A_{j}}$一部の人にとって${\displaystyle i\neq j}$⁠、以来⁠${\displaystyle A=A\cup A=A\cap A}$⁠ .

与えられた集合⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$それらのデカルト積（または単に積）は、次のように表される。${\displaystyle A\times B}$は、すべての順序対の集合です。${\displaystyle (a,b)}$⁠そのため⁠${\displaystyle a\in A}$そして​​${\displaystyle b\in B}$つまり 、$${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}.}$$ 定義はたとえ${\displaystyle A=B}$。

同様に定義することもできる${\displaystyle A\times B\times C}$順序付きトリプルの集合として${\displaystyle (a,b,c)}$有限個の集合についても同様である。

実際、集合の数は有限である必要はありません。任意のインデックス付き集合族が与えられた場合${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$、製品${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$は、インデックス付き要素ファミリーの集合です。${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$そのため${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$各${\displaystyle i\in I}$選択公理は、空でない集合の積は空でないことを示唆している。

2つの集合が与えられた場合${\displaystyle E}$そして​​${\displaystyle F}$⁠、集合のべき乗、表記は⁠${\displaystyle F^{E}}$⁠ は、 からのすべての関数を要素として持つ集合です。${\displaystyle E}$⁠から⁠${\displaystyle F}$⁠ .

同様に、${\displaystyle F^{E}}$は、によってインデックス付けされたファミリーのデカルト積として見なすことができる。${\displaystyle E}$すべて等しい集合の⁠${\displaystyle F}$⁠ 。これは、整数指数によるべき乗が、すべての因数が底に等しい積であることから、用語と表記法を説明するもの

集合の冪集合${\displaystyle E}$は、のすべての部分集合を含む集合です。${\displaystyle E}$要素として、空集合と も含む${\displaystyle E}$それ自体。 ^{[ 32 ]}しばしば次のように表記される${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$例えば 、$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$$

のサブセット間には自然な一対一対応（全単射）が存在する。${\displaystyle E}$⁠そして、 ⁠からの関数${\displaystyle E}$⁠から⁠${\displaystyle \{0,1\}}$⁠ ; この対応関係は、各部分集合に値を取る関数を関連付けます。${\displaystyle 1}$サブセットと​${\displaystyle 0}$他の場所では、この対応関係により、${\displaystyle E}$⁠は一般的に集合のべき乗と同一視されます。 $${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=\{0,1\}^{E}.}$$ この表記では、${\displaystyle \{0,1\}}$はしばしば次のように略されます。${\displaystyle 2}$⁠、これにより^{[ 32 ] [ 38 ]が得られる。}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=2^{E}.}$$ 特に、もし${\displaystyle E}$⁠持っている⁠${\displaystyle n}$要素、そして${\displaystyle 2^{E}}$⁠持っている⁠${\displaystyle 2^{n}}$要素。 ^{[ 39 ]}

2つ以上の集合の非交和は、和集合と似ていますが、2つの集合に共通する要素がある場合、非交和ではそれらの要素は別々のものとして扱われます。これは、要素が属する集合のインデックスで要素にラベルを付けることによって実現されます。

2つの集合の互いに素な和集合${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は一般的に と表記されます${\displaystyle A\sqcup B}$したがって、次のように定義されます 。$${\displaystyle A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1\land a\in A)\lor (i=2\land a\in B\}.}$$

もし​${\displaystyle A=B}$⁠は⁠のセットです${\displaystyle n}$要素、そして${\displaystyle A\cup A=A}$⁠持っている⁠${\displaystyle n}$要素、一方${\displaystyle A\sqcup A}$⁠持っている⁠${\displaystyle 2n}$要素。

2 つの集合の非交和は、インデックス付き集合族の非交和の特殊なケースであり、次のように定義されます。 $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}.}$$

互いに素な和集合は、集合の圏における余積です。したがって、表記法は $${\displaystyle \coprod _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}}$$ 一般的に使用されています。

無限集合の濃度は、有限集合の要素数が自然数で表されるのと同様に、一般的に基数で表されます。基数の定義はこの記事では専門的すぎるため割愛しますが、濃度の多くの性質は、以下のように基数を参照せずに扱うことができます。

2セット${\displaystyle S}$そして​​${\displaystyle T}$要素間に一対一対応（全単射）が存在する場合、要素は同じ濃度を持つ。これは と表記される。${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$⁠ 、すべての集合の集合が存在するならば、それは集合上の同値関係となるだろう

例えば、自然数と偶数の自然数は同じ濃度を持ちます。なぜなら、2を掛けることでそのような全単射が得られるからです。同様に、区間⁠${\displaystyle (-1,1)}$⁠そして、すべての実数の集合は同じ濃度を持ち、関数によって全単射が提供される。${\displaystyle x\mapsto \tan(\pi x/2)}$⁠ .

真部分集合と同じ濃度を持つことは、無限集合の特徴的な性質です。集合が無限であるのは、その集合が真部分集合のいずれかと同じ濃度を持つ場合のみです。 したがって、上記の例から、自然数は無限集合を形成します。^{[ 32 ]}

平等に加えて、基数の間には自然な不平等があります。集合⁠${\displaystyle S}$ある集合の濃度が、別の集合の濃度以下である。${\displaystyle T}$⁠から注入があった場合⁠${\displaystyle S}$⁠から⁠${\displaystyle T}$これは次のように表記されます。${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$⁠ .

シュレーダー・ベルンシュタインの定理は、${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$そして​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$意味する​${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$また、​${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$⁠ 、 からへの全射が存在する場合に限る${\displaystyle T}$⁠から⁠${\displaystyle S}$2つのセットごとに${\displaystyle S}$そして​​${\displaystyle T}$⁠、どちらか一方${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$または​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$⁠ . ^{[ c ]}したがって、濃度の不等式は全順序です。

集合の濃度${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の⁠は、 ⁠で表される。${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$は最小の無限濃度です。これは、もし ならば です。${\displaystyle S}$は自然数の集合であるならば、以下のいずれか${\displaystyle S}$は有限または${\displaystyle \vert S\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$⁠ .

濃度が以下の集合${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$これらは可算集合と呼ばれ、有限集合または可算無限集合（濃度が 1 以上の集合）のいずれかです。${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ ); 一部の著者は「可算」を「可算無限」という意味で使用しています。濃度が厳密に⁠より大きい集合${\displaystyle \aleph _{0}}$それらは非可算集合と呼ばれます。

カントールの対角線論法によれば、すべての集合に対して、${\displaystyle S}$⁠、その冪集合（その部分集合の集合） ⁠${\displaystyle 2^{S}}$⁠はより大きな基数を持つ： $${\displaystyle |S|<\left|2^{S}\right|.}$$ これは、最大の濃度が存在しないことを意味する。

実数の集合の濃度は連続体の濃度と呼ばれ、 で表される。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$（ 「連続体」という用語は、 20世紀以前は実数直線を指しており、当時は実数直線は一般的に数値の集合として捉えられていなかった。）

上記のように、実数線は${\displaystyle \mathbb {R} }$は開区間と同じ濃度を持ち、 のすべての部分集合はです。${\displaystyle \mathbb {R} }$空でない開区間を含む ⁠ は濃度も持つ⁠${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$⁠ .

1つは $${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}},}$$ つまり、実数の濃度は自然数の冪集合の濃度と等しいということである。特に、^{[ 43 ]}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}.}$$

1878年にゲオルク・カントールによって発表されたこの結果は、数学者たちに拒否され、一般に受け入れられるまでには数十年を要した。^{[ 44 ]}

が示せる。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$は平面全体、および任意の有限次元ユークリッド空間の濃度でもある。 ^{[ 45 ]}

連続体仮説は、1878年にゲオルク・カントールによって提唱された予想であり、厳密に の間に濃度を持つ集合は存在しないと述べている。${\displaystyle \aleph _{0}}$そして​​${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$⁠ . ^{[ 44 ]} 1963年、ポール・コーエンは、連続体仮説が選択公理を持つツェルメロ・フレンケル集合論の公理とは独立であることを証明した。 ^{[ 46 ]} これは、最も広く使用されている集合論が無矛盾である（つまり自己矛盾していない）場合、 ^{[ d ]}連続体仮説をさらに公理として追加した集合論と、連続体仮説の否定を追加した集合論の両方について同じことが言えることを意味する。

ツォルンの補題は、集合論の他の公理の下で選択公理と同等の主張であり、通常の数学においてより使いやすい。

させよう${\displaystyle S}$部分順序集合である。の鎖は⁠${\displaystyle S}$は誘導順序の下で完全に順序付けられている部分集合です。ゾルンの補題によれば、 のすべての鎖が であれば、${\displaystyle S}$はに上限を持つ${\displaystyle S}$⁠、それから⁠${\displaystyle S}$は（少なくとも）最大要素、つまり、の別の要素よりも小さくない要素を持つ。${\displaystyle S}$⁠ .

ツォルンの補題のほとんどの使用例では、${\displaystyle S}$は集合の集合であり、順序は集合の包含関係であり、連鎖の上限はその要素の和集合として取られます。

ツォルンの補題の使用例として、すべてのベクトル空間が基底を持つことの証明が挙げられる。ここで、の要素は${\displaystyle S}$はベクトル空間の線形独立な部分集合です。 の要素の連鎖の和集合はです。${\displaystyle S}$は線形独立である。なぜなら、無限集合が線形独立であるのは、各有限部分集合が線形独立である場合に限るからであり、鎖の和集合のすべての有限部分集合は、その鎖のいずれかの要素に含まれなければならないからである。したがって、極大な線形独立集合が存在する。この線形独立集合は極大性によりベクトル空間を張らなければならず、したがって基底となる。

ツォルンの補題のもう一つの古典的な用法は、環のすべての真イデアル（つまり、環全体ではないイデアル）が極大イデアルに含まれることの証明である。ここで、${\displaystyle S}$は、与えられたイデアルを含む真のイデアルの集合です。イデアルの連鎖の和集合はイデアルです。なぜなら、イデアルの公理は有限個の要素を含むからです。真のイデアルの連鎖の和集合は真のイデアルです。そうでなければ⁠${\displaystyle 1}$⁠は組合に属し、これはそれが連鎖のメンバーに属することを意味する。

選択公理は、すべての集合上に整列順序を定義できるという事実と同値である。整列順序とは、すべての空でない部分集合が最小要素を持つような全順序のことである。

整列集合の簡単な例としては、自然数（自然順序）と、すべての⁠${\displaystyle n}$⁠、そのセット⁠${\displaystyle n}$-辞書式順序の自然数のタプル。

整列順序は、数学的帰納法の一般化を可能にするものであり、これは超限帰納法と呼ばれる。ある性質（述語）が与えられた場合、${\displaystyle P(n)}$自然数に依存する数学的帰納法は、次のことを証明するための事実である。${\displaystyle P(n)}$は常に真であり、すべての に対して であることを証明すれば十分である。${\displaystyle n}$⁠、 $${\displaystyle (m<n\implies P(m))\implies P(n).}$$ 超限帰納法も同様で、自然数を整列集合の要素に置き換えるだけです。

多くの場合、超限帰納法による証明は、3つの場合を別々に証明すると容易になる。最初の2つの場合は通常の帰納法の場合と同じである。

• ⁠${\displaystyle P(0)}$⁠は真であり、${\displaystyle 0}$は整列集合の最小要素を表す
• ⁠${\displaystyle P(x)\implies P(S(x))}$⁠、そこで⁠${\displaystyle S(x)}$⁠ は⁠の後継者を表します${\displaystyle x}$⁠、つまり、より大きい最小の要素です。${\displaystyle x}$⁠
• ⁠${\displaystyle (\forall y;\;y<x\implies P(y))\implies P(x)}$⁠、その時⁠${\displaystyle x}$後継者ではありません。

超限帰納法は、順序数と基数を定義する上で基本となる。