BKL特異点

ベリンスキー・ハラトニコフ・リフシッツ（BKL）特異点は、初期の重力特異点付近の宇宙の動的進化のモデルであり、アインシュタインの重力場の方程式の異方性でカオス的な解によって記述されます。[ 2 ]この^モデルによると、宇宙は時間と空間がゼロに等しくなる、または同値として、時空の曲率が無限に大きくなる重力特異点の周りをカオス的に振動しています。この特異点は、解の必要な特性であるという意味で物理的に実在し、それらの方程式の正確な解にも現れます。この特異点は、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー解、準等方性解、カスナー解などの他の特殊解による仮定や単純化によって人為的に作成されたものではありません。

このモデルは、当時ランダウ理論物理学研究所に勤務していた著者のウラジミール・ベリンスキー、イサク・ハラトニコフ、エフゲニー・リフシッツにちなんで名付けられました。

BKL によって作成された図には、いくつかの重要な要素があります。これらは次のとおりです。

• 特異点の近くでは、異なる空間点における幾何学の発展が分離されるため、偏微分方程式の解は、適切に定義された空間スケール係数に対する時間に関する常微分方程式の解によって近似できます。これはBKL予想と呼ばれます。
• ほとんどの種類の物質では、特異点の近くでは、物質場が幾何学のダイナミクスに与える影響は無視できます。または、ジョン・ウィーラーの言葉を借りれば、特異点の近くでは「物質は重要ではない」ということです。BKL の当初の研究では、すべての物質に対して無視できる影響が提示されましたが、後に彼らは、質量のないスカラー場と同等の「硬い物質」(状態方程式p = ε) が、特異点の近くでダイナミクスに修正効果をもたらす可能性があると理論化しました。
• 漸近挙動を記述する常微分方程式は、ミックスマスター ダイナミクスを構成する空間的に同次な解のクラスから派生したものです。ミックスマスター ダイナミクスは、BKL で議論されているものと同様の特性を示す複雑な振動およびカオス モデルです。

宇宙の特異点付近における宇宙のダイナミクスの研究は、現代の理論物理学と数理物理学の急速に発展している分野となっている。多次元（カルツァ・クライン型）宇宙モデルにおける宇宙特異点へのBKLモデルの一般化は、次元が10以下の時空ではカオス的な特徴を示すが、高次元の時空では、有限数の振動を経た宇宙は単調なカスナー型収縮状態に入る。^{[3] [4] [5]}

超弦モデルに基づく宇宙論研究の発展により、特異点付近のダイナミクスの新たな側面が明らかになった。^{[6] [7] [8]}これらのモデルでは、カスナー時代の変化のメカニズムは重力相互作用ではなく、存在する他の場の影響によって引き起こされる。6つの主要な超弦モデルと11次元の超重力モデルに基づく宇宙論モデルは、特異点に向かうカオス的なBKLダイナミクスを示すことが証明された。振動BKLのような宇宙論モデルと、無限次元リー代数の特別なサブクラス、いわゆる双曲型カッツ・ムーディ代数との間に関連性が発見された。^{[9] [10] [11]}

現代宇宙論の基礎は、アレクサンダー・フリードマンが 1922 年から 1924 年にかけて発見したアインシュタインの場の方程式の特殊解である。宇宙は均質(空間はすべての点で同じ測定特性 (尺度) を持つ)かつ等方性(空間はすべての方向で同じ尺度を持つ) であると仮定されている。フリードマンの解は、球状で外側に湾曲した空間 (正の曲率) を持つ閉じたモデルと、鞍状で内側に湾曲した空間 (負の曲率) を持つ開いたモデルの 2 つの空間形状を可能にする。どちらのモデルでも、宇宙は静止しておらず、常に膨張 (大きくなる) または収縮 (小さくなる) している。これは、後退する銀河のハッブル赤方偏移を確立したエドウィン・ハッブルによって確認された。現在では、等方性モデルが一般に宇宙の現在の状態を適切に説明するという見解が一致している。しかし、現在の宇宙の等方性だけでは、宇宙の進化の初期段階を説明するのに十分であると期待する理由にはなりません。同時に、現実の世界では、均質性はせいぜい近似に過ぎないことは明らかです。銀河間空間に比べて大きな距離での物質密度の均一な分布について話すことはできますが、この均質性はより小さなスケールでは消えてしまいます。一方、均質性の仮定は数学的な面で非常に有効です。それは解を高度に対称的なものにし、より一般的なケースを考えるとき消えてしまう特定の特性を与えることができます。

等方性モデルのもう 1 つの重要な特性は、時間特異点の必然的な存在です。時間の流れは連続的ではなく、時間が非常に大きい値または非常に小さい値に達すると停止するか逆戻りします。特異点間では、時間は特異点から離れる方向 (時間の矢印) に流れます。オープン モデルでは、時間特異点は 1 つしかないため、時間は一方の端では制限されますが、もう一方の端では制限されません。一方、クローズド モデルでは、両端で時間を制限する 2 つの特異点があります (ビッグバンとビッグクランチ)。

時空の物理的に興味深い特性(特異点など) は、安定している特性、つまり、初期データがわずかに乱されても依然として発生する特性だけです。特異点が安定していても、物理的に興味深いものではない場合があります。安定性は、物理的関連性の必要条件ではありますが、十分条件ではありません。たとえば、特異点は、高度に異方性の宇宙に対応する初期データセットの近傍でのみ安定する可能性があります。実際の宇宙は現在、ほぼ等方性であるように見えるため、このような特異点は私たちの宇宙では発生しません。安定した特異点が物理的に興味深いものであるための十分条件は、特異点が汎用的(または一般的) であるという要件です。大まかに言えば、安定した特異点が汎用的であるのは、あらゆる初期条件セットの近くで発生し、非重力場が何らかの特定の方法で「物理的に現実的な」場に制限され、アインシュタイン方程式、さまざまな状態方程式などが進化した時空で保持されると想定される場合です。真の重力自由度の小さな変化の下では特異点が安定しているが、特異点は座標系、あるいはむしろ時空が展開される初期の超曲面の選択に何らかの形で依存するため、一般的なものではないということが起こるかもしれない。

アインシュタイン方程式などの非線形微分方程式系では、一般解は明確に定義されません。原理的には、複数の一般積分が存在する可能性があり、各一般積分にはすべての可能な初期条件の有限のサブセットのみが含まれます。これらの各積分には、必要なすべての独立関数が含まれますが、いくつかの条件（たとえば、いくつかの不等式）が適用されます。したがって、特異点を持つ一般解の存在は、特異点を含まない他の追加の一般解の存在を排除するものではありません。たとえば、比較的小さな質量を持つ孤立した物体を記述する、特異点のない一般解の存在を疑う理由はありません。

すべての空間とすべての時間に対する一般積分を見つけることは不可能です。しかし、これは問題の解決に必要ではありません。特異点付近の解を研究すれば十分です。これにより、問題の別の側面も解決されます。つまり、物質密度とリーマン曲率テンソルの不変量が無限大になる点として理解される物理的特異点に到達したときの一般解における時空計量進化の特性です。

ランダウ グループ (BKL も所属)が研究した主要な問題の 1 つは、相対論的 宇宙モデルが時間特異点を必ず含むのか、それとも時間特異点はこれらのモデルを簡略化するために使用された仮定の産物なのか、という問題でした。特異点が対称性仮定に依存しないということは、時間特異点はアインシュタイン方程式の特殊解だけでなく一般解にも存在することを意味します。一般解に特異点が存在する場合、アインシュタイン方程式の最も一般的な特性のみに基づいた何らかの兆候があるはずだと示唆するのは妥当ですが、それらの兆候だけでは特異点を特徴付けるには不十分かもしれません。

解の一般性の基準は、解に含まれる独立した空間座標関数の数である。これには、基準フレームの選択によって数が減らない「物理的に独立した」関数のみが含まれる。一般解では、そのような関数の数は、初期として選択されたある瞬間の初期条件（物質の分布と動き、重力場の分布）を完全に定義するのに十分でなければならない。この数は、空の（真空）空間では4、物質および/または放射線で満たされた空間では8である。^{[12] [13]}

ランダウグループによる以前の研究（^{[14] [15] [16] [12]}でレビュー）は、一般解には物理的特異点が含まれないという結論に至った。特異点を持つより広範なクラスの解の探索は、アインシュタイン方程式の研究に対する体系的なアプローチが欠如していたため、基本的に試行錯誤の方法で行われてきた。このようにして得られた否定的な結果は、それ自体では説得力がなく、必要な程度の一般性を備えた解はそれを無効にし、同時に特定の解に関連する肯定的な結果を確認することになる。

当時、一般解における物理的特異点の存在を示す唯一の既知の指標は、同期フレーム、すなわち固有時間x ⁰ = tが空間全体で同期されているフレームで書かれたアインシュタイン方程式の形に関連していた。このフレームでは、空間距離要素dl は時間間隔dtとは分離されている。^{[注 2]}アインシュタイン方程式

同期フレームで書かれたものは、物質分布に関するいかなる仮定にも関わらず、計量行列式 gが有限時間内に必然的にゼロになるという結果を与える。 ^{[12] [13]}

しかし、上記の特異点は同期フレームの特定の幾何学的特性、つまりタイムライン座標の交差に関連していることが明らかになったため、一般的な物理的特異点を見つける努力は放棄されました。この交差は、幾何光学におけるコースティック面の4次元類似物であるいくつかの円周超曲面で発生します。gは、この交差点で正確にゼロになります。^[16]したがって、この特異点は一般的ではありますが、架空のものであり、物理的なものではありません。参照フレームが変更されると消えます。明らかに、これが研究者にこの方向でのさらなる調査を思いとどまらせたようです。

この問題への関心が再び高まるまで数年が経ち、ペンローズ （1965）が未知の特性を持つ特異点の存在と、参照フレームの選択とは何の共通点もないいくつかの非常に一般的な仮定を結び付ける定理を発表した。その後、同様の定理がホーキング^{[17] [18]}とジェロック^[19]によって発見された（ペンローズ-ホーキング特異点定理を参照）。これにより、特異解の探索への関心が再燃した。

均質かつ等方性の空間では、計量は完全に決定され、曲率の符号のみが自由になります。等方性などの追加の対称性がなく、空間の均質性のみを想定すると、計量の選択にかなりの自由度が残ります。以下は、t が空間全体で同じ同期時間となるように同期フレームを想定する、特定の瞬間tにおける計量の空間部分に関するものです。

^{1970年の研究[2]}で、BKLは、特異点に近づくにつれて、アインシュタインの方程式の時間微分を含む項が空間微分を含む項よりも優勢になると述べました。これはそれ以来BKL予想として知られており、アインシュタインの偏微分方程式（PDE）が常微分方程式（ODE）によってよく近似され、一般相対性理論のダイナミクスが事実上局所的かつ振動的になることを意味しています。各空間点における場の時間発展は、ビアンキ分類の均質宇宙論によってよく近似されます。

例えば、等質空間の分類に用いられる方法でアインシュタイン方程式の時間と空間の微分を分離し、空間微分を含む項をゼロに設定することで、いわゆるシステムの打ち切り理論（打ち切り方程式）を定義することができる。^[20]そうすると、BKL予想はより具体的になる。

弱い予想: 特異点に近づくにつれて、アインシュタイン方程式の空間微分を含む項は、時間微分を含む項と比較して無視できるようになります。したがって、特異点に近づくにつれて、アインシュタイン方程式は、微分項をゼロに設定して得られる方程式に近づきます。したがって、弱い予想は、アインシュタイン方程式は、特異点付近で打ち切り方程式によって十分に近似できることを示しています。これは、特異点に近づくにつれて、完全な運動方程式の解が打ち切り方程式の解に近づくことを意味するものではないことに注意してください。この追加条件は、次のように強いバージョンで表現されます。

強い推測: 特異点に近づくにつれて、アインシュタイン方程式は打ち切り理論の方程式に近づき、さらに、完全な方程式の解は打ち切り方程式の解によって十分に近似されます。

当初、BKL 予想は座標に依存し、かなり信じ難いものと思われていた。例えば、バローとティプラー^{[21] [22]}は、BKL 研究に対する 10 の批判の中に、時間微分と空間微分を分離する手段としての同期フレームの選択が不適切 (彼らによると) であるとしている。BKL 予想は、特異点の近くでは時間微分のみが重要であるという声明として文献で言い換えられることもあった。このような声明は、額面通りに受け取ると、間違っているか、せいぜい誤解を招くものである。なぜなら、BKL 分析自体で示されているように、計量テンソルの空間的勾配は、4 つの時空次元における純粋なアインシュタイン重力の一般的な解では無視できず、実際、振動状態の出現に重要な役割を果たしているからである。しかし、アシュテカーのような変数など、関連する勾配を含む新しい変数に関してアインシュタイン理論を再定式化する手法があり、その場合、時間微分が支配的な役割を担うという声明は正しい。^[20]確かに、各空間点において、時間に関する常微分方程式で記述される有限次元の力学系の観点から特異点の有効な記述が得られるが、空間勾配はこれらの方程式に非自明に挿入される。

その後、多数の著者による分析により、BKL 予想は正確に行えることが示され、現在までに、それを支持する数値的および解析的証拠が多数存在しています。^[23]強い予想の証明にはまだほど遠いと言っても過言ではありません。しかし、より単純なモデルでは目覚ましい進歩がありました。特に、バーガー、ガーフィンクル、モンクリーフ、アイゼンバーグ、ウィーバーらは、ある種のモデルでは、特異点に近づくにつれて、完全なアインシュタイン場の方程式の解が、空間微分を無視して得られる「速度項が支配的な」（切り捨てられた）解に近づくことを示しました。^{[23] [24] [25] [26] [27]} Andersson と Rendall ^{[28] は}、質量のないスカラー場または硬い流体に結合した重力の場合、対称性がない場合でも、打ち切り方程式のすべての解に対して、特異点に近づくにつれて打ち切り解に収束する完全な場の方程式の解が存在することを示した。これらの結果は、p 型ゲージ場も含むように一般化されました。^[29]これらの打ち切りモデルでは、ダイナミクスはより単純であり、証明できる予想を正確に記述することができます。一般的なケースでは、現在までで最も強力な証拠は数値的発展から得られています。 Berger と Moncrief ^{[30] は、}一般的な宇宙の特異点を分析するプログラムを開始しました。初期の研究は対称性が低減された場合に焦点を当てていましたが、[ ^31]最近では Garfinkle ^[32最後に、この予想をさらに裏付けるものとして、シュワルツシルトブラックホールの特異点付近のテスト場の挙動に関する数値的研究が挙げられます。^[33]

異方性（等方性ではない）同次空間に対するBKLアプローチは、真空中の場に対してカスナー^[34]によって導かれた厳密な特殊解の一般化から始まる。この真空中の場は同次空間であり、カスナー計量に従って時間に依存するユークリッド計量を持つ。

（dlは線要素、dx、dy、dzは3次元空間における微小 変位、tは初期瞬間t ₀ = 0からの経過時間）。ここで、p ₁、p ₂、p _{3 は、次の}カスナー条件を満たす任意の3つの数である。

これらの関係により、3 つの数のうち 1 つだけが独立しています( 3 つの未知数を持つ 2 つの方程式)。3 つの数がすべて同じになることはありません。2 つの数が同じになるのは、値のセットと (0, 0, 1) の場合のみです。^{[注 4]その他の場合は、数が異なり、1 つの数が負で、他の 2 つが正です。これは、最初の条件}式 3の両辺を 2 乗し、その平方根を展開する ことで部分的に証明されます。${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

2 番目の条件式 3により、項は1 に等しくなり、したがって混合積の項はゼロになるはずです。これは、 p ₁、p ₂、p ₃の少なくとも 1 つが負の場合に可能です。 ${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$

数字をp ₁ < p ₂ < p ₃の昇順に並べると、間隔で変化します（図4）。

カスナー計量式 2 は、平坦で均質だが異方性の空間に対応し、その空間ではすべての体積が時間とともに増加し、2 つの軸yとzに沿った直線距離は増加し、軸xに沿った距離は減少します。瞬間t = 0 は解の特異点を引き起こします。t = 0 での計量の特異点は、どのような参照フレーム変換でも回避できません。特異点では、4 次元曲率テンソルの不変量は無限大になります。例外は、p ₁ = р ₂ = 0、р ₃ = 1 の場合です。これらの値は平坦な時空に対応します。変換t sh z = ζ、t ch z = τ は、カスナー計量 (式 2 ) をガリレイ計量に変換します。

BKLは、数p ₁、p ₂、p ₃を単一の独立した（実数）パラメータu（リフシッツ・ハラトニコフパラメータ^[35]）で次のように パラメータ化する。

カスナー指数のパラメータ化は、指数に関する 2 つの制約式 3について考えるまで、不可解に思えます。両方の制約は、指数の全体的なスケールを固定し、それらの比率のみが変化できるようにします。これらの比率の 1 つを新しいパラメータとして選択するのは自然であり、これは 6 つの異なる方法で行うことができます。たとえば、u = u ₃₂ = p ₃ / p _{2を選択すると、6 つの可能な比率すべてをそれを使って表現するのは簡単です。最初に}p ₃ = up ₂を消去し、次に線形制約を使用してp ₁ = 1 − p ₂ − up ₂ = 1 − (1 + u ) p _{2 を}消去すると、2 次制約はp ₂の2 次方程式に簡略化されます。

根は p ₂ = 0（自明）およびp ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² )であり、そこからp ₁およびp _3は後退代入によって得られる。このようなパラメータu _ab = p _a / p _bを6つ定義することができ、( c , b , a )が(1, 2, 3)の巡回順列であるときp _c ≤ p _b ≤ p _aとなる。^[36]

上記のように順序付けられたp ₁、p ₂、p ₃のすべての異なる値は、 uがu ≥ 1の範囲で実行されることで得られます。u < 1の値は、次のようにこの範囲にもたらされます。

一般化された解では、式2に対応する形式は、漸近計量（特異点t = 0に近い計量）にのみ適用され、それぞれtの累乗による級数展開の主要な項に適用されます。同期参照フレームでは、空間距離要素を含む 式1の形式で表されます。

どこ

3次元 ベクトル l、m、n は、式 8 のべき乗法則 によって、空間距離が時間とともに変化する方向を定義します。これらのベクトルは、前述のように式 3で関連付けられている数p _l、p _m、p _nと同様に、空間座標の関数です。べき乗p _l、p _m、p _{n は}昇順に並べられておらず、式 5の昇順に並べられた数には記号p ₁、p ₂、p _{3が使用されています。}式 7のメトリックの行列式は、

ここでv = l [ mn ]である。以下の量を導入すると便利である^[注5]

式 7の空間計量は異方性です。これは、式 8のtの累乗が同じ値を持つことができないためです。t = 0 で特異点に近づくと、各空間要素の線形距離は 2 つの方向で減少し、3 番目の方向で増加します。要素の体積はtに比例して減少します。

カスナー計量は、 a、b、cのtへの依存性を事前に定義せずに、式7のそれぞれの計量テンソル_γαβを代入することによってアインシュタイン方程式に導入される：^[注2]

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

ここで、記号の上の点は時間に関する微分を表す。アインシュタイン方程式（式11）は次の形式をとる。

そのすべての項は、大きな量 1/ t （ t → 0 ）に対して2次の項である。アインシュタイン方程式（式12）では、このような次数の項は時間微分された項にのみ現れる。P _αβの成分に2次以上の項が含まれていない場合、

ここで添え字l、m、nは方向l、m、nのテンソル成分を表す。^{[12]これらの式を}式14と組み合わせると、式3を満たすべき乗を持つ式8が得られる。

しかし、3つのべき乗p _l、p _m、p _nのうち1つの負のべき乗が存在すると、 P _αβからt ⁻²より大きい次数の項が出現する。負のべき乗がp _l ( p _l = p ₁ < 0)の場合、P _αβには座標関数λが含まれ、式12は次のようになる。

ここで、2番目の項はt ^{−2( p _m + p _n − p _l )}の順序であり、p _m + p _n − p _l = 1 + 2 | p _l | > 1です。 ^[注6]これらの項を削除して計量式7を復元するには、座標関数に条件λ = 0を課す必要があります。

残りの 3 つのアインシュタイン方程式(式 13)には、計量テンソルの1 次時間導関数のみが含まれています。これらは、式 7の座標関数に必要な条件として課さなければならない 3 つの時間に依存しない関係を与えます。これは、条件 λ = 0 と合わせて 4 つの条件になります。これらの条件は、10 の異なる座標関数 (ベクトルl、m、nのそれぞれの 3 つの要素と、 tの累乗の 1 つの関数(条件式 3によって制限される関数p _l、p _m、p _nのいずれか 1 つ)) をバインドします。物理的に任意の関数の数を計算するときは、ここで使用する同期システムによって、3 つの空間座標の時間に依存しない任意の変換が可能になることを考慮する必要があります。したがって、最終的な解には全体で 10 − 4 − 3 = 3 の物理的に任意の関数が含まれ、これは真空での一般解に必要な数より 1 つ少ないです。

この時点で達成される一般性の程度は、物質を導入することによって低下することはない。物質は計量方程式7に書き込まれ、その密度の初期分布と速度の3つの成分を記述するために必要な4つの新しい座標関数を提供する。これにより、事前に与えられた重力場における物質の運動の法則、すなわち流体力学方程式 のみから物質の進化を決定することが可能になる。

ここで、u ⁱは4次元の速度、εとσはエネルギー密度と物質のエントロピーである（ ^[37]と^[38]を参照; ^[39]詳細は^[40]を参照）。超相対論 的状態方程式 p = ε/3の場合、エントロピーσ ~ ε ^{1/4である。}式17と式18の主な項は時間微分を含む項である。式17と式18の 空間成分から、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

その結果

ここで 'const' は時間に依存しない量である。さらに、恒等式u _i u ⁱ = 1 から次の式が得られる（ u _αのすべての共変成分は同じ順序である ため）。

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

ここでu _{n は}tの最も高い（正の）べき乗に関連するn方向の速度成分である（p _n = p ₃と仮定）。上記の関係から、

または

上記の式は、式の右側にある 物質の応力-エネルギー-運動量テンソルの成分を確認するために使用できます。

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

は、確かに、左辺の主要な項よりも1/ tだけ低い次数である。方程式において、物質の存在は、それらを構成する座標関数に課せられた関係の変化のみをもたらす。^[12]${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$

ε が式 21 の法則によって無限大になるという事実は、式 7 の解において、(0, 0, 1) を除くすべてのべき乗p ₁、p ₂、p ₃の値で物理的な特異点を扱っていることを確認します。これらの最後の値では、特異点は非物理的であり、参照フレームの変更によって除去できます。

（0, 0, 1）のべき乗に対応する架空の特異点は、タイムライン座標が2次元の「焦点面」を横切る結果として生じる。 ^[12]で指摘されているように、同期参照フレームは常に、この避けられないタイムラインの交差がまさにそのような面（3次元のコースティック面ではなく）で発生するように選択することができる。したがって、このような全空間の同時架空の特異点を持つ解は、一般解に必要な任意の関数の完全なセットとともに存在しなければならない。t = 0の点の近くでは、 tの整数乗による通常の展開が可能になる。このケースの分析については、^{[41]を参照のこと。}

一般解は定義により完全に安定しています。そうでなければ、宇宙は存在しません。いかなる摂動も、ある瞬間の初期条件の変化に相当します。一般解は任意の初期条件を許容するため、摂動はその特性を変えることができません。このような角度から見ると、解式7の座標関数に課せられた 4 つの条件は異なるタイプです。方程式= 0 から生じる 3 つの条件は「自然」です。これらはアインシュタイン方程式の構造の結果です。ただし、1 つの導関数の損失を引き起こす追加の条件 λ = 0 はまったく異なるタイプです。摂動によって引き起こされる不安定性により、この条件が破られる可能性があります。このような摂動の作用により、モデルは別の、より一般的なモードに移行する必要があります。摂動は小さいとは見なされません。新しいモードへの移行は、非常に小さな摂動の範囲を超えます。 ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$

BKLによって行われた摂動作用下のモデルの挙動の解析は、特異点に近づく際の複雑な振動モードを描写している。 ^{[2] [42] [43] [44]}彼らは、一般的なケースの広い枠組みの中でこのモードの詳細をすべて与えることはできなかった。しかし、BKLは、広範囲にわたる解析的研究を可能にする特定のモデルにおけるソリューションの最も重要な特性と特徴を説明した。

これらのモデルは、特定のタイプの同次空間計量に基づいています。追加の対称性のない空間の同次性を仮定すると、計量の選択に大きな自由度が残ります。ビアンキによれば、すべての可能な同次（ただし異方性）空間は、いくつかのビアンキ型（タイプIからIX）に分類されます。^[45]（一般化された同次解も参照）BKLはビアンキタイプVIIIとIXの空間のみを調査します。

計量が式 7の形をとる場合、各タイプの同次空間に対して、参照ベクトルl、m、nと空間座標の間に何らかの関数関係が存在する。この関係の具体的な形は重要ではない。重要な事実は、タイプ VIII および IX 空間では、量 λ、μ、ν式 10は定数であるが、すべての「混合」積l rot m、l rot n、m rot lなどはゼロであるということ。タイプ IX 空間では、量 λ、μ、ν は同じ符号を持ち、λ = μ = ν = 1 と書くことができる (3 つの定数の同時符号変更は何も変更しない)。タイプ VIII 空間では、2 つの定数は 3 番目の定数の符号と反対の符号を持ち、たとえば、λ = − 1、μ = ν = 1 と書くことができる。^{[注 7]}

したがって、「カスナーモード」に対する摂動の影響の研究は、アインシュタイン方程式の λ を含む項の影響に関する研究に限定されます。タイプ VIII および IX 空間は、このような研究に最も適したモデルです。これらのビアンキタイプの 3 つの量 λ、μ、ν はすべてゼロと異なるため、l 、 m 、 nのどの方向が負のべき乗法則時間依存性を持つかに関係なく、条件 λ = 0 は成立しません。

タイプVIIIとタイプIXの空間モデルのアインシュタイン方程式は^{[46] [注2]}

（残りの要素、、、、、はいずれもゼロです） 。これらの方程式には時間の関数のみが含まれています。これは、すべての同次空間で満たされる必要がある条件です。ここで、式 22と式 23 は正確であり、その妥当性はt = 0での特異点にどれだけ近いかに依存しません。 ^{[注 8]}${\displaystyle R_{l}^{0}}$${\displaystyle R_{m}^{0}}$${\displaystyle R_{n}^{0}}$${\displaystyle R_{l}^{m}}$${\displaystyle R_{l}^{n}}$${\displaystyle R_{m}^{n}}$

式22と式23の時間微分は、а、b、сをそれらの対数α、β、γに置き換える と、より単純な形になります。

変数tをτに代入すると、

すると（下付き文字はτによる微分を表す）：

式26を足し合わせて、式27に従って左辺に和(α+β+γ) _{ττを代入すると、}式26のシステムの第1積分である第1導関数のみを含む式が得られます。

この式は、式 26の初期状態に課せられる拘束条件の役割を果たします。カスナーモード式 8 は、右辺のすべての項を無視した場合の式 26の解です。しかし、そのような状況は ( t → 0 で) いつまでも続くわけではありません。なぜなら、それらの項の中には常に増加する項があるからです。したがって、負のべき乗が関数a ( t ) ( p _l = p ₁ ) にある場合、カスナーモードの摂動は項 λ ² a ^{4によって生じ、残りの項は}tの減少とともに減少します。増加する項だけが式 26の右辺に残っていれば、次のシステムが得られます。

（式16と比較してください。以下ではλ ² = 1に置き換えられています）。これらの式の解は、式8で表されている初期状態からの計量進化を記述する必要があります。与えられたべきのセット（p _l < 0）で、p _l = р ₁、p _m = р ₂、p _n = р ₃とすると、

それから

ここでΛは定数である。式29の初期条件は次のように再定義される。

式29は簡単に積分でき、式32の条件を満たす解は

ここで、b ₀とc _{0 は}さらに 2 つの定数です。

関数式33のt → 0における漸近式は式30であることが容易に分かる。これらの関数と関数t (τ)のτ → −∞における漸近式は^[注9]である。

${\displaystyle a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.}$

a、b、c をtの関数として表すと、

どこ

それから

上記は、摂動がカスナーモードを別のカスナーモードに変更するように作用し、この過程でtの負のべき乗が方向lから方向mに反転することを示しています。つまり、以前はp _l < 0 だったのが、今はp' _m < 0になります。この変化の間、関数a ( t ) は最大値を通過し、b ( t ) は最小値を通過します。以前は減少していたb は増加します。 a は増加から減少に変わり、減少していたc ( t ) はさらに減少します。以前は増加していた摂動自体 (式 29のλ ² a ^{4α ) は、今は減少し始め、消えていきます。さらに進化すると、同様に、}式 26の ( λ ²ではなく) μ ²の項による摂動の増加、次にカスナーモードの変更などが発生します。

式5のパラメータ化を利用して、べき乗置換規則式35を書くと便利です。

2 つの正の力のうち大きい方が正のままです。

BKL は、この方向間の負のべき乗の反転をカスナー時代と呼んでいます。特異点に近づく際の計量進化の特性を理解する鍵は、まさにこのカスナー時代の交代プロセスであり、式 37 の規則に従ってp _l、p _m、p _nのべき乗が反転します。

負のパワーp ₁を方向lとmの間で反転させる連続的な交代(カスナー エポック)式 37 は、初期uの全体の部分を枯渇させることによって、 u < 1の瞬間まで続きます。 u < 1の値は、式 6に従ってu > 1に変換されます。この瞬間、負のパワーはp _lまたはp _mであり、p _{n は}2 つの正の数の小さい方になります ( p _n = p ₂ )。 次のカスナー エポック シリーズでは、負のパワーが方向nとlの間、またはnとm の間で反転します。 uの任意の (無理数の) 初期値では、この交代プロセスは無制限に続きます。^{[注 10]}

アインシュタイン方程式の正確な解では、累乗p _l、p _m、p _{n は}本来の正確な意味を失います。この状況により、これらの数値の決定 (およびそれらとともにパラメーターuの決定) に多少の「あいまいさ」が生じ、これは小さいながらも、 uの明確な値 (たとえば、有理数)の分析を無意味にします。したがって、 uの任意の無理数に関するこれらの法則だけが特別な意味を持ちます。

2 つの軸に沿った空間距離のスケールが振動し、3 番目の軸に沿った距離が単調に減少するより大きな周期は時代と呼ばれます。体積は ~ tに近い法則で減少します。1 つの時代から次の時代に移行すると、距離が単調に減少する方向が1 つの軸から別の軸に反転します。これらの移行の順序は、ランダム プロセスの漸近特性を獲得します。同じランダム順序は、連続する時代の長さの交代にも特徴的です (時代の長さとは、BKL では時代に含まれる Kasner 時代の数であり、時間間隔ではありません)。

各時代（s番目の時代）には、パラメータuの一連の値が対応しており、最大値から始まり、値−1、−2、...を経て最小値<1 に達する。${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$${\displaystyle u_{\min }^{(s)}}$

つまり、k ^{( s )} = [ ] であり、括弧は値の整数部分を意味します。数値k ^{( s )は}時代の長さであり、その時代に含まれるカスナー時代の数で測定されます。次の時代については ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

これらの規則によって構成される無限の数列uには、無限に小さい（ただしゼロになることはない）値x ^{( s )}と、それに応じて無限に大きい長さk ^{( s )}が存在します。

時代系列はt = 0 に近づくにつれて密度が高くなります。ただし、この進化の時間経過を記述するための自然変数は世界時間tではなく、その対数 ln tであり、これによって特異点に到達するプロセス全体が -∞ まで拡張されます。

式33によれば、カスナー期間の遷移中に最大値を通過する 関数a、b、cのうちの1つは、その最大値のピークにおいて、

ここで、 a _maxはb ₀およびc ₀に比べて大きいと仮定します。式38 の u は、遷移前のカスナー時代のパラメータの値です。ここから、各時代の連続する最大値のピークが徐々に低下していることがわかります。実際、次のカスナー時代では、このパラメータの値はu' = u − 1 になり、Λ は式 36に従って Λ' = Λ(1 − 2| p ₁ ( u )|) に置き換えられます。したがって、2 つの連続する最大値の比は

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};}$

そして最後に

上記は真空中のアインシュタイン方程式の解である。純粋なカスナーモードに関しては、物質はこの解の質的特性を変えず、場に対するその反応を無視してそれに書き込むことができる。しかし、アインシュタイン方程式の厳密な解として理解される議論中のモデルに対してこれを行うと、結果として得られる物質進化の図は一般的な特徴を持たず、現在のモデルに差し迫った高い対称性に特有のものとなる。数学的には、この特異性は、ここで議論されている均質空間幾何学では、リッチテンソル成分が常にゼロであり、したがってアインシュタイン方程式は物質の移動を許さないという事実に関係している（非ゼロの応力エネルギー運動量テンソル成分を与える）。言い換えれば、同期フレームも物質に対して共動している必要がある。式 19にu _α = 0、u ^{0 = 1 を代入すると、 ε ~ (} abc ) ^−4/3 ~ t ^−4/3となる。 ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$${\displaystyle T_{\alpha }^{0}}$

この困難は、モデルに限界（t → 0）計量の主要項のみを含め、密度と速度の任意の初期分布を持つ物質を書き込むことで回避できます。すると、物質の進化の過程は、その一般的な運動法則、式17と式18によって決定され、式21が得られます。各カスナーエポックでは、密度は次の法則によって増加します。

ここで、p ₃は、上記のように、数p ₁、p ₂、p ₃のうちの最大のものです。物質密度は、特異点に向かうすべての進化を通じて単調に増加します。

非常に大きなu値はカスナー乗に対応する

これらは値 (0, 0, 1) に近い。ゼロに近い 2 つの値は互いにも近いため、3 種類の「摂動」のうち 2 つの変化 (式26の右辺の λ、μ、ν の項) も非常に類似しています。このような長い時代の初めに、2 つの Kasner 時代間の遷移の瞬間にこれらの項の絶対値が非常に近い場合 (または初期条件を割り当てることで人工的にそのようにした場合)、時代全体の長さの大部分の間、これらの項は近いままになります。この場合 (BKL ではこれを小さな振動の場合と呼びます)、1 種類の摂動の作用に基づく分析は不正確になります。2 種類の摂動の同時効果を考慮する必要があります。

長い時代を考えてみましょう。その間、関数a、b、cのうち 2 つ (これらをaとbとする) は小さな振動を起こし、3 つ目の関数 ( c ) は単調に減少します。後者の関数は急速に小さくなります。aとbと比較してc を無視できる領域での解を考えます。まず、 λ = μ = ν = 1 を代入して、タイプ IX 空間モデルに対して計算を行います。^[43]

関数cを無視すると、最初の2つの式（式26）は

そして式28は3番目の式として使うことができ、次の形をとる。

式44の解は次の式で表される。

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

ここで、α ₀、ξ ₀は正の定数であり、τ _{0 は}変数τの時代の上限である。さらに新しい変数（τの代わりに）を導入すると便利である。

それから

式45と式46は変数χ = α − βを導入することで変換されます。

τ が τ _{0から −∞ に減少することは、ξ が ξ 0}から 0 に減少することに対応する。ここで考慮されている、 aとb が近い（つまり、χ が小さい）長い周期は、ξ _{0が非常に大きい場合に得られる。実際、ξ が大きい場合、1/ξ による最初の近似で式}49の解は次のようになる。

ここでAは定数である。乗数によりχは小さな量となるため、式49ではsh 2χ ≈ 2χと置き換えることができる。^{[注 11]}${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$

式50から次の式が得られる 。

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

式48と式51からαとβを決定し^、上記の近似に従ってeαとeβを級数展開すると、最終的に次式が得られる。[^注12 ^]

変数ξと時間tの関係は、定義dt = abc d τの積分によって得られ、

定数c ₀ （ ξ = ξ _{0における}сの値）は、 c ₀ α ₀ · となる。 ${\displaystyle \ll }$

ここで、ξ 1 という領域について考えてみましょう。ここで、式 49の解における主要な項は次のとおりです。 ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

ここでkは-1< k <1の範囲の定数である。この条件は式49の最後の項が小さいことを保証する（sh 2χにはξ ^{2 k}とξ ^{−2 kが}含まれる）。次にα、β、tを決定した後、次式を得る。

これはまた、関数c ( t )に負のt乗が存在するカスナーモードである。^{[注 13]}

これらの結果は、上で説明したものと質的に類似した変化を示しています。 ξ 値が大きく減少する長い期間にわたって、2 つの関数aとb は、大きさが近いまま振動します。同時に、関数aとb は両方ともゆっくりと ( ) 減少します。振動の周期は、変数 ξ によって一定です: Δξ = 2π (または、同じで、対数時間によって一定周期になります: Δ ln t = 2π Α ² )。3 番目の関数cは、 c = c ₀ t / t ₀に近い法則によって単調に減少します。 ${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$

この変化はξ≈1まで続き、式52と式53は適用できなくなります。その時間はtがt ₀から値t ₁に変化することに対応し、ξ ₀と次の式 で表されます。

この間のξとtの関係は、次の形で表すことができます。

その後、式55からわかるように、減少関数cは増加し始め、関数aとbは減少し始めます。このカスナー時代は、式22のc ² / a ² b ^2項が約t ²になり、次の一連の振動が始まる まで続きます。

議論中の長周期における密度変化の法則は、式52を式20に代入することによって得られる。

_{ξ が ξ 0}から ξ ≈1 に変化すると、密度は倍増します。 ${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$

関数c ( t ) はc ~ tに近い法則で変化するが、計量式 52 は(0, 0, 1) のべき乗を持つカスナー計量には対応していないことを強調しておく必要がある。後者は、式26 – 27で 許容される、タウブ^[47]によって発見された正確な解に対応しており、

ここで、p、 δ ₁、 δ ₂は定数です。漸近領域 τ → −∞ では、ここからa = b = const、c = const が得られます。t を代入すると、е ^рτ = tになります。この測定基準では、 t = 0での特異点は非物理的です。

ここで、式26' -' 28にλ = −1、μ = ν = 1を代入して、タイプVIIIモデルの類似の研究を説明しよう。^[44]

長期にわたって単調減少関数がaである場合、前述の分析では何も変わりません。式26と28の右辺のa ^{2 を無視すると、同じ式}49と50 (表記法は異なります)に戻ります。ただし、単調減少関数がbまたはcである場合は、何らかの変化が生じます。これをcとします。

以前と同様に、同じ記号で式49が得られるので、関数a (ξ)とb (ξ)の以前の式は式52となるが、式50は次のように置き換えられる。

ξの主要項は、

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

となることによって

時間の関数としてのcの値は再びc = c ₀ t / t ₀であるが、ξの時間依存性は変化する。長い時代の長さはξ ₀によって次のように 決まる。

一方、ξ _{0 の}値は、1 つの時代における関数aとbの振動数を決定します(ξ ₀ /2π に等しい)。 時代の長さを対数時間で表すと (つまり、比率t ₀ / t ₁が与えられている場合)、タイプ VIII の振動数は、一般的に、タイプ IX よりも少なくなります。 振動周期は、Δ ln t = πξ/2 になります。タイプ IX とは対照的に、周期は長い時代を通じて一定ではなく、ξ とともにゆっくりと減少します。

長い時代は「規則的な」進化の過程に反するため、複数の時代にわたる時間間隔の進化を研究することは困難である。しかし、そのような「異常な」ケースは、任意の初期条件を持つ開始点から十分に離れた距離で、漸近的に小さな時間tにおける特異点へのモデルの自発的な進化に現れることが示される。長い時代であっても、カスナー時代間の遷移中の両方の振動関数は非常に異なるままであり、遷移は 1 つの摂動の影響下でのみ発生する。このセクションのすべての結果は、タイプ VIII および IX のモデルに等しく関連している。^[48]

各カスナー時代において、abc = Λ t、すなわちα + β + γ = ln Λ + ln tです。ある時代（パラメータuの値が与えられた場合）から次の時代に移る際、定数 Λ に 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + u + u ^{2 ) < 1 が掛けられます。このようにして、 Λ の系統的な減少が起こります。しかし、時代中の ln Λ の全体的な変化の平均値（時代の長さ}kに関して）は有限であることが不可欠です。実際には、平均値の発散は、 k の増加とともにこの変化が急速に増加することのみに起因する可能性があります。パラメータuの値が大きい場合、 ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ uです。kが大きい場合、最大値u ^(max) = k + x ≈ kとなる。したがって、ある時代におけるln Λの全体的な変化は、次の式の合計で与えられる。

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

uの大きな値に対応する項のみを記す。kが増加すると、この合計は ln kとして増加する。しかし、式 76によれば、長い長さkの時代が出現する確率は1/ k ₂として減少する。したがって、上記の合計の平均値は有限である。したがって、多数の時代にわたる量 ln Λ の系統的変化はこの数に比例する。しかし、式 85から、 t → 0では数s は単に ln |ln t |として増加することがわかる。したがって、任意の小さなtの漸近極限では、項 ln Λ は ln tと比較して確かに無視できる。この近似^{[注 14]では、}

ここでΩは「対数時間」を表す。

そして時代の変遷の過程は、一連の短い時間の閃光とみなすことができる。振動スケール関数の最大値の大きさも、系統的に変化する。u ≫ 1 に対する式 39から、次のようになる。上で ln Λ の量について行ったのと同じように、1 つの時代における最大値の高さの平均減少は有限であり、多数の時代にわたる総減少はt → 0 とともに ln Ω だけ増加すると推論できる。同時に、最小値の低下、および同様に振動の振幅の増加は、Ω に比例して進行する (式 77 )。採用された近似に対応して、最大値の低下は振幅の増加と比較して無視されるため、_すべての振動関数の最大値に対してαmax = 0、βmax ₌ 0、γmax ₌ 0となり、量α、β、γは、各瞬間に関係式63によって互いに関連付けられた負の値のみを通過します。 ${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$

このような瞬間的な時代の変化を考慮すると、遷移期間は時代の長さに比べて小さいものとして無視されます。この条件は実際に満たされています。^{[注 15]} α、β、γ の最大値のゼロへの置き換えには、各関数の振動の振幅に比べて量 ln (| p _{1 |Λ) が小さいことが必要です。前述のように、時代間の遷移中に、|} p ₁ | 値は非常に小さくなることがありますが、その大きさと発生確率は、それぞれの瞬間の振動振幅とは関係ありません。したがって、原理的には、上記の条件 (ゼロの最大値) に違反するほど小さな | p _{1 | 値に達する可能性があります。このような}αの_最大値の急激な低下は、ルール式 37によるカスナー時代間の遷移が不正確になるさまざまな特別な状況につながる可能性があります (上記の状況を含む)。これらの「危険な」状況は、以下の統計分析に使用される法則を破る可能性があります。ただし、前述のように、このような偏差の確率は漸近的にゼロに収束します。この問題については以下で説明します。

パラメータuが値を通る kカスナーエポックを含む時代を考える

そして、αとβをこの期間の振動関数とする（図4）。^{[注 16]}

パラメータu _nを持つカスナーエポックの初期モーメントはΩ _nである。各初期モーメントにおいて、α または β のどちらかの値はゼロであり、もう一方の値は最小値を持つ。 連続する最小値、つまりモーメント Ω _{nにおける値 α または β は、}

（最小値αとβを区別しない）。それぞれのΩ _n単位でそれらの最小値を測定する値δ _nは0から1の間を移動します。関数γはこの期間中単調に減少します。式63によれば、モーメントΩ _nでのその値は

_{瞬間 Ω n}に始まり瞬間 Ω _{n +1}に終わる期間に、関数 α または β の一方は −δ _n Ω _nからゼロまで増加し、もう一方は 0 から −δ _{n +1} Ω _{n +1}までそれぞれ線形法則に従って減少します。

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$そして${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

結果として、再帰関係が生まれる

対数エポック長については

ここで、簡単に言えば、f ( u ) = 1 + u + u ^{2 である。n}エポックの長さの合計は、次の式で得られる。

式 68から、|α _n+1 | > |α _n |、つまり、係数 δ _nが小さい場合でも、関数 α と β の振動振幅が時代全体にわたって増加することがわかります。時代の初めの極小値が深い場合、次の極小値は浅くなりません。言い換えると、カスナー時代間の遷移の瞬間の残差 |α — β| は大きいままです。この主張は時代の長さkに依存しません。なぜなら、時代間の遷移は、長い時代についても、 式 37 の共通規則によって決定されるためです。

特定の時代における関数 α または β の最後の振動振幅は、最初の振動の振幅と、|α _{k −1} | = |α ₀ | ( k + x ) / (1 + x ) という関係で結びついています。 kが数単位ほど小さい場合でも、kと比較してx は無視できるため、α および β の振動振幅の増加は時代の長さに比例します。関数a = e ^αおよびb = e ^βの場合、これは、ある時代の初めの振動の振幅がA ₀であった場合、この時代の終わりには振幅が になることを意味します。 ${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$

カスナー時代の長さ（対数時間）も、与えられた時代の中で増加します。式69からΔ _{n +1} > Δ _nと簡単に計算できます。^[注17]時代全体の長さは

（1/ xの項は、 x が小さいときに長さが大きくなる最後のk番目の時代から生じます。図 2 を参照）。ある時代のk番目の時代が終了する瞬間Ω _{n は}、次の時代が始まる瞬間 Ω' ₀と同じ時間です。

新しい時代の最初のカスナー時代では、関数 γ は、前の時代に到達した最小値 γ _k = − Ω _k (1 − δ _k ) から最初に上昇します。この値は、新しい一連の振動の開始振幅 δ' ₀ Ω' ₀の役割を果たします。次の式は簡単に得られます。

_{δ' 0} Ω' ₀ > δ ₀ Ω ₀であることは明らかです。kがそれほど大きくない場合でも、振幅の増加は非常に顕著です。関数c = e ^{γ は}振幅から振動し始めます。上記の上限振動が大幅に低下する「危険な」ケースに関する問題は、今のところ脇に置いておきます。 ${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$

式40によれば、最初の（k − 1）エポックにおける物質密度の増加は、次の式で与えられる。

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

ある時代の最後のkエポックでは、 u = x < 1で最大のパワーはp ₂ ( x ) （p ₃ ( x ) ではない）である。したがって、全時代にわたる密度の増加は、

したがって、 k値がそれほど大きくない場合でも、次の時代 (長さk ' ) では、開始振幅A ₀ ':の増加などにより、密度はより速く増加します。これらの式は、物質密度の急激な増加を示しています。 ${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$

時代の長さk ^{( s )}のシーケンスは、そこに含まれるカスナー時代の数で測定され、漸近的にランダムプロセスの特性を獲得します。同じことは、ある時代から次の時代に移行する際の振動関数のペアの交換のシーケンスにも当てはまります (これは、数k ^{( s )}が偶数か奇数かによって異なります)。この確率性の源は、式41 – 42の規則です。この規則によれば、ある時代から次の時代への移行は、 u値の無限数シーケンスで決定されます。言い換えると、この規則は、無限シーケンス全体が特定の初期値で始まる場合、時代の長さk ⁽⁰⁾、k ^{(1) 、... は、}連分数展開 の数値であることを示しています。${\displaystyle u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}}$

この展開は、式Tx = {1/ x }、つまりx _{s +1} = {1/ x _s } による区間 [0, 1] のそれ自体へのマッピング変換に対応します。この変換は、区間 [0, 1] のいわゆる展開変換、つまり| f′ ( x )| > 1となる変換x → f ( x ) に属します。このような変換は指数不安定性という特性を持ちます。つまり、最初に 2 つの近い点を取ると、それらの相互距離は変換の反復で指数的に増加します。指数不安定性によって強い確率特性が出現することはよく知られています。

このようなシーケンスの確率的記述に切り替えるには、明確な初期値x ^{(0)ではなく、特定の}確率分布法則w ₀ ( x )に従って 0 から 1 の区間に分布する値x ^{(0) = x を考慮する必要があります。この場合、各時代を終了する}x ^(s)の値も、特定の法則w _s (x)に従う分布になります。w _s (x)dx を、 s番目の時代が指定された区間dx内の値で終了する確率とします。 ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x}$

s番目の時代を終わらせる値x ^(s) = xは、初期値 (この時代の場合) から生じます。ここで、k = 1、2、...。 のこれらの値は、前の時代の値x ^{( s –1)} = 1/( k + x ) に対応します。これを考慮すると、確率w _s (x)の分布を分布w _{s –1} ( x ) で表す次の再帰関係を書くことができます。 ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x+k}$${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

${\displaystyle w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert }$

または

分布w _s ( x ) がs の増加とともに定常（sに依存しない）極限分布w ( x ) に近づく場合、後者は式 73cから関数w _{s −1} ( x ) とw _s ( x ) のインデックスを落とすことによって得られる式を満たすはずです。この式には解があります。

（1に正規化され、 xの1次まで取られる）。^{[注 18]}

s番目の時代が長さk を持つためには、前の時代が 1/( k + 1) から 1/ kの間の間隔内の数xで終了する必要があります。したがって、時代が長さkになる確率は(定常極限では) に等しくなります。

kの値が大きい場合

宇宙論モデルの統計的特性と変換x _{s +1} = {1/ x _s } のエルゴード特性を関連付ける際に、重要な点について言及する必要があります。この規則に従って構成された無限の数列xでは、任意に大きな長さ k に対応する任意に小さい (ただし、ゼロになることはない) xの値が観測されます。このようなケースでは、(必ずしもそうとは限りませんが) 特定の状況が発生し、規則式 37に従って互いに入れ替わるカスナー時代のシーケンスなどの時代の概念が意味を失います (モデルの振動進化モードは依然として存続しますが)。このような「異常な」状況は、たとえば、式の右側に次の式を保持する必要性として現れます。 26項は、カスナー時代の「通常の」交換の場合のように、関数a、b、c のうちの 1 つ(たとえば、a ^{4 ) だけでなく、関数のうちの 2 つ (たとえば、} a ⁴、b ⁴、a ² b ² )と同時に交換されます。

「異常な」振動の連続から抜け出すと、一連の規則的な時代が復元されます。 変換式42の規則的な反復に完全に基づくモデルの挙動の統計分析は、重要な定理によって裏付けられています。異常なケースの出現確率は、反復回数s → ∞ (つまり、時間t → 0) として漸近的にゼロに近づきます。これは、このセクションの最後で証明されています。 この主張の妥当性は、主に、各時代、特に 1 つの時代から次の時代への移行時に、振動振幅の非常に急速な増加率によるものです。

しかし、宇宙論モデルが「定常」統計体制（与えられた「初期瞬間」から t → 0 で始まる）に緩和するプロセスは、連続する時代におけるモデルの物理的特性の変化の具体的な法則を適切に考慮したこの体制自体の特性ほど興味深いものではありません。

定常分布が開始する速度についての考え方は、次の例から得られる。初期値x ^{(0)が、ある特定の数のまわりに幅 δ} x ⁽⁰⁾の狭い区間に分布しているとしよう。再帰関係式 73cから（または展開式 73aから直接）、分布の幅w _s ( x ) （他の特定の数のまわりに）は、次の式に等しいと 結論づけるのは簡単である。

（この式は、δ x ^(s) ≪ 1という量を定義する場合にのみ有効です）。

この分布から計算される平均値は、対数的に発散します。非常に大きいが有限の数Nで打ち切られた数列の場合、 となります。この場合の平均の有用性は、その不安定性のために非常に限られています。W ( k )の減少が遅いため、 kの変動は平均よりも速く発散します。この数列のより適切な特性は、そこからランダムに選択された数が長さ K の時代 (K が大きい) に属する確率です。この確率はln K / ln Nです。 の場合、この確率は小さくなります。この点で、特定の数列からランダムに選択された数は、高い確率で長い時代に属すると言えます。 ${\displaystyle {\bar {k}}}$${\displaystyle {\bar {k}}\sim \ln N}$${\displaystyle 1\ll K\ll N}$

k ^{( s )}とx ^{( s )}に同時に依存する式を平均すると便利です。これらの量は両方とも同じ量x ^{( s –1) (前の時代を終了させる) から派生するため、式}k ^{( s )} + x ^{( s )} = 1/ x ^{( s –1)}に従って、それらの統計分布は独立していると見なすことはできません。両方の量の結合分布W _s ( k , x ) dx は、分布w _{s –1} ( x ) dxから、後者でx → 1/( x + k ) を代入することで取得できます。言い換えると、関数W _s ( k , x ) は、式 73cの右側の合計記号の下の式で与えられます。定常極限では、式 74からw を取ると、次の式が得られます。

この分布をkについて合計すると式74に戻り、dxについて積分すると式75になる。

時代間の遷移を定義する回帰式は、ある時代 ( s = 0) を初期として定義し、連続する時代 (特定の時代のカスナー時代ではありません!) を番号付けするインデックスsで書き直されます。 Ω ^{( s )}と ε ^{( s )}は、それぞれs番目の時代における初期モーメントと初期物質密度です。 δ ^{( s )} Ω ^{( s ) は}、特定の時代に振動する関数 α、β、γ のペアの初期振動振幅です。k ^{( s ) は}s番目の時代の長さであり、x ^{( s )は、} k ^{( s +1)} = [1/ x ^{( s )} ]に従って次の時代の長さ (カスナー時代の数) を決定します。式 71 – 73によると、

（ξ ^{( s )は}式77で導入され、後ほど使用されます）。

量 δ ^{( s )}は、安定した定常統計分布P (δ) と安定した（相対変動が小さい）平均値を持つ。それらの決定にあたり、Evgeny Lifshitz の兄弟であるIlya Lifshitzとの共著でKL ^[48]は、（しかるべき留保付きで）ランダム量 δ ^{( s )}とランダム量k ^{( s )}、x ^{( s )}が統計的に独立であるという仮定に基づく近似法を使用した。関数P (δ) については、関係式 78によって相互接続された量 δ ^{( s +1)}と δ ^{( s )}が同じ分布を持つという事実を表現する積分方程式が設定され、この方程式は数値的に解かれた。後の研究で Khalatnikov ら^[49]は、分布P (δ) が実際には解析的方法によって正確に見つけられることを示した（図 5 を参照）。

定常極限における統計的特性については、変換Tx = {1/ x } を負の添え字まで無制限に続けることで、いわゆる自然な拡張を導入することが合理的です。言い換えると、これは、等式 Tx = {1/ x } で接続された数 ( x ₀、x ₁、x ₂、...) の片側無限シーケンスから、すべての–∞ < s < ∞ に対して同じ等式で接続された数の「二重無限」シーケンスX = (...、x ₋₁、x ₀、x ₁、x ₂、...)への移行です。もちろん、このような拡張は_、言葉の文字通りの意味では一意ではありません ( x s –1 は x s によって一意に決定されないため) 。_ただし、_拡張されたシーケンスのすべての統計的特性は、その全長にわたって均一です。つまり、任意のシフトに対して不変です (そして、x _{0 は}「初期」条件の意味を失います)。数列Xは、 k _s = [1/ x _{s –1} ]という規則で構成された整数数列K = (..., k ₋₁ , k ₀ , k ₁ , k _{2 , ...)と同等である。逆に、Xのあらゆる数は、Kの整数によって無限}連分数として決定される。

（1ずつシフトしたインデックスの表記法を導入することの便利さは、以下で明らかになります）。簡潔な表記では、連続分数は分母を（角括弧で）列挙するだけで表されます。その場合、の定義は次のように書くことができます 。${\displaystyle x_{s+1}^{+}}$${\displaystyle x_{s}^{+}}$

逆数は、分母の逆順（指数が減少する方向）の連分数によって定義される。

再帰関係式78は、一時的に表記η _s = (1 − δ _s )/δ _sを導入することで変形される。すると、式78は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}}$

反復により無限連続分数が得られる

${\displaystyle \eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}}$

したがって、最終的に ${\displaystyle \eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}}$

_このδsの表現には、 （ ^[48]の3つではなく）2つの乱数とのみが含まれており、それぞれの値は区間[0, 1]にあると想定されています。 ${\displaystyle x_{s}^{+}}$${\displaystyle x_{s}^{-}}$

定義式79cから、 となる。したがって、 X列全体を1ステップ右にシフトすることは、量と量の同時変換を意味し 、${\displaystyle 1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right]}$${\displaystyle x_{s}^{+}}$${\displaystyle x_{s}^{-}}$

これは単位正方形における1 対 1 のマッピングです。したがって、1 つの量の 1 対 1 ではない変換Tx = {1/ x } ではなく、2 つの量の 1 対 1 の変換が得られます。

およびは、定常分布P ( x ⁺ , x− )に従う。式79eは1対1の変換なので、分布が定常となる条件は、単純に関数方程式で表される ^。${\displaystyle x_{s}^{+}}$${\displaystyle x_{s}^{-}}$

ここで、J は変換の ヤコビアンです。

シーケンスXを 1 ステップシフトすると、単位正方形の 次の変換Tが生成されます。

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}}$

（、、式79e参照）。密度P ( x、y )は、この変換の不変測度を定義する。P ( x、y )はxとyの対称関数であると仮定するのが自然である。これは、測度が変換S ( x、y ) = ( y、x )に関して不変であり、したがって積STに関しても不変であり、 ST ( x、y ) = ( x ″、y″ ) および${\displaystyle x\equiv x_{0}^{+}}$${\displaystyle y\equiv x_{0}^{-}}$

${\displaystyle x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}}$

明らかにSTは第一積分H = 1/ x + yを持つ。直線H = const ≡ c上では、変換は次の形になる。

${\displaystyle {\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}}$

したがって、 STの不変測度密度は、次の形式でなければならない。

${\displaystyle f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy}$

対称性P ( x , y )= P ( y , x )を考慮すると、これはf ( c )= c ⁻²となり、したがって（正規化後）

（ x ⁺またはx ^–上で積分すると関数w ( x )式 74が得られる）。この変換を 1 対 1 のマッピングに簡約することは、Chernoff と Barrow ^{[50]によってすでに行われており、彼らは}式 79gの形の式を他の変数について得た。彼らの論文には Khalatnikov ら^[49]で検討されている問題への応用は含まれていない。

式79gの正しさは直接計算によっても検証できる。変換式79eのヤコビアンは

${\displaystyle J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}}$

（計算においては、 ということに注意する必要がある）。 ${\displaystyle \left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+}}$

式 79dによれば、δ _{s はランダム量}x ⁺とx ⁻で表されるため、それらの結合分布を知ることで、定数 δ で変数の 1 つについてP ( x ⁺ , x ⁻ )を積分することによって統計分布P (δ) を計算することができます。関数式79g は変数x ⁺とx ⁻に関して対称であるため、P (δ) = P (1 − δ) となり、つまり関数P (δ) は点 δ = 1/2 に関して対称です。

${\displaystyle P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}}$

この積分を評価すると（0 ≤ δ ≤ 1/2の場合、前述の対称性を利用して）、最終的に

関数P (δ)の対称性の結果として、平均値= 1/2 がすでに存在します。したがって、関数 α、β、γ の振動の初期振幅の平均値は (すべての時代において) Ω/2 に比例して増加します。 ${\displaystyle {\bar {\delta }}}$

大きな時間間隔Ωとそこに含まれる時代の数sとの間の統計的関係は、式77を繰り返し適用することによって求められる。

しかし、この式を直接平均化しても意味がありません。関数W ( k )式 76の緩やかな減少により、量 exp ξ ^{( s )}の平均値は上記の意味で不安定です。つまり、平均化領域が増加すると、変動は平均値自体よりも急速に増加します。この不安定性は対数を取ることで解消されます。つまり、「二重対数」時間間隔です。

^{は、安定した統計分布を持つ量 ξ ( p )}の合計によって表される。τ の平均値は である。計算するには、式 77 を次のように書き直すことができる ことに注意する。${\displaystyle {\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }}}$${\displaystyle {\bar {\xi }}}$

定常分布 の場合、関数P (δ)の対称性によりとなる。したがって ${\displaystyle {\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}}}$${\displaystyle {\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}}}$

${\displaystyle {\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37}$

（式74よりw（x ） ）。したがって

これは、連続するs時代を含む平均二重対数時間間隔を決定します。

sが大きい場合、式81の和の項の数は大きくなり、エルゴード理論の一般定理によれば、τ _sの値は密度の ガウスの法則に従って分布します。${\displaystyle {\overline {\tau _{s}}}}$

分散D _τの計算は、との知識だけでなく相関関係の知識も必要なので、より複雑です。計算は、式 81 の合計の項を並べ替えることで簡略化できます。式 81a を使用すると、合計は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$${\displaystyle {\overline {\xi ^{2}}}}$${\displaystyle {\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}}}$

${\displaystyle \sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}}$

最後の2つの項はsの増加に伴って増加しない。これらの項は、大きなsに対する制限法則が支配的であるため省略することができる。

（δ _pの式79dが考慮される）。同じ精度（すなわち、 sとともに増加しない項まで）で、等式

は有効である。実際、式79eのおかげで

${\displaystyle x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}}$

この恒等式をp について足し合わせると式82cが得られる。最後に再び同じ精度でx _pについて足し合わせ記号の下で変更し、τ _sを次のように 表す。${\displaystyle x_{p}^{+}}$

大きなsの極限におけるこの和の分散は

系列Xの統計的同質性により、相関は差| p − p ′|のみに依存することが考慮される。平均値、平均二乗 ${\displaystyle {\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}}}$${\displaystyle {\bar {\eta }}={\bar {\xi }}}$

${\displaystyle {\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40}$

p = 1、2、3（数値的に計算）の相関値も考慮すると、最終結果D τ s _{= (} 3.5 ± 0.1) sが得られます。 ${\displaystyle {\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}}$

sが増加すると、相対的な変動はs ^−1/2としてゼロに近づきます。言い換えると、統計的関係式82 はs が大きい場合にほぼ確実になります。これにより、関係を逆転させる、つまり、二重対数時間の所定の間隔 τ で交換される時代s _τの平均数の依存関係として表すことが可能です。 ${\displaystyle D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}}}$

s _τの正確な値の平均値の統計分布もガウス分布であり、分散は

${\displaystyle D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau }$

それぞれの統計分布は、ランダム変数が与えられたτでs _τとなる同じガウス分布によって与えられます。

この観点から見ると、統計的動作の原因は、入れ替わる時代の無限のシーケンスに重ね合わされた間隔 τ の開始点の選択における恣意性にあります。

物質密度に関しては、式79は式 80を考慮して次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]}$

そして、s時代における総エネルギー変化については、

pによる和の項は、大きなべき乗を持つ指数を含むため、この式に主に寄与する。この項だけを残して式 87を平均すると、その右辺に式 82と一致する式が得られる。和のその他の項（また、そのべき乗が η _sである項）は、相対順序 1/ sの補正のみをもたらす。したがって、 ${\displaystyle s{\bar {\xi }}}$

_{τ s}とs の関係がほぼ確実なので、式 88 は次のように書ける 。

${\displaystyle {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,}$

これは、与えられた二重対数時間間隔 τ または与えられた時代数sで平均された密度増加の二重対数値を決定します。

これらの安定した統計的関係は、二重対数時間間隔と密度増加に特に存在します。他の特性、たとえば ln (ε ^{( s )} /ε ⁽⁰⁾ ) または Ω ^(s) / Ω ⁽⁰⁾ = exp τ _{s の}場合、相対的な変動は平均範囲の増加とともに指数関数的に増加するため、平均値という用語の安定した意味は無効になります。

統計的関係式88の起源は、個々のカスナー時代における密度の変化を支配する初期の法則からすでにたどることができる。式21によれば、進化全体を通して、

${\displaystyle \ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),}$

1 − p ₃ ( t ) は、0 から 1 までの範囲の値をとりながら、時代ごとに変化します。ln Ω = ln ln (1/ t ) の項は単調に増加します。一方、ln2(1 − p _{3 ) の項は、} p _{3の値が 1 に非常に近い場合 (つまり、|} p ₁ | が非常に小さい場合)にのみ、大きな値 (ln Ω に匹敵する) をとることができます。これらは、式 77～式 79 の反復関係によって表現される進化の通常の過程を乱す「危険な」ケースです。

漸近的限界領域では、このようなケースは実際には発生しないことを示す必要があります。モデルの自発的な進化は、明確な初期条件が任意の方法で指定された特定の瞬間に始まります。したがって、「漸近的」とは、選択された初期瞬間から十分に離れた領域を意味します。

危険なケースとは、パラメータu = x（したがって| p ₁ | ≈ x）の値が時代の終わりに極端に小さくなるケースである。そのようなケースを選択するための基準は、不等式である。

ここで、|α ^{( s ) |は、} s期に振動する関数の初期最小値の深さです（最終振幅を選択する方が適切ですが、選択基準が強化されるだけです）。

最初の時代におけるx ⁽⁰⁾の値は、初期条件によって決まります。危険なのは、区間 δ x ⁽⁰⁾ ~ exp ( − |α ⁽⁰⁾ | ) 内の値と、次の時代に危険なケースを引き起こす可能性のある区間内の値です。x ^{( s )}が危険な区間 δ x ^{( s )} ~ exp ( − | α ^{( s )} | に入るためには、初期値x ⁽⁰⁾が幅 δ x ⁽⁰⁾ ~ δ x ^{( s )} / k ^{(1)^2} ... k ^{( s )^2}の区間に入っている必要があります。^{[51]したがって、} x ⁽⁰⁾のすべての可能な値の単位区間から、この区間の λ 部分に危険なケースが出現します。

（内部和は 1 から ∞ までのすべての値k ⁽¹⁾、k ⁽²⁾、 ... 、k ^{( s )}にわたって取られます）。この時代が λ 1 の値に収束することは簡単に示せます。その大きさの順序は式 90の最初の項で決まります。これは、時代k (1) 、k ^{( 2) 、 ... の長さに関係なく、 | α ( s )} | = (s + 1) | α ⁽⁰⁾ |を代入した時代の強いメジャー化によって示せます（実際、 | α ^{( s )} | ははるかに速く増加します。最も不利なケースk ⁽¹⁾ = k ⁽²⁾ = ... = 1 の場合でも、 | α ^{( s ) | の値は}q > 1 でq ^s | α ⁽⁰⁾ | とともに増加します）。 ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}}$

得られる

${\displaystyle \lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).}$

x ⁽⁰⁾の初期値が危険領域 λ の外側にある場合、危険なケースは発生しません。この領域内にある場合、危険なケースが発生しますが、完了すると、モデルは新しい初期値で「通常の」進化を再開します。この初期値は、まれに (確率 λ で) 危険な間隔に入ることがあります。危険なケースが繰り返される場合、確率 λ ²、 λ ³、 ... で発生し、漸近的にゼロに収束します。

上記のモデルでは、特異点付近の計量進化が、均質空間計量の例で研究されています。この進化の特性から、このようなタイプの特異点の一般解の解析的構成は、カスナー時代、摂動によって引き起こされる時代間の遷移プロセス、2 つの摂動が同時に作用する長い時代など、基本的な進化コンポーネントごとに別々に行う必要があることは明らかです。カスナー時代 (つまり、摂動が小さいとき) では、計量は条件 λ = 0 なしで 式 7で与えられます。

BKLはさらに、小さな振動を伴う長い時代における物質分布に依存しないモデル（均質または非均質）を開発した。この解の時間依存性は、均質モデルの特定のケースと非常によく似ていることが判明した。均質モデルは、分布に依存しないモデルに含まれる任意の関数を特別に選択することで得ることができる。^[52]

しかし、同期参照フレームとは少し異なる座標系で一般解を構築すると便利です。同期フレームと同様にg _{0α = 0ですが、} g _{00 = 1の代わりに}g ₀₀ = − g ₃₃になります。空間計量テンソルγ _αβ = − g _αβを再度定義すると、

特殊空間座標はx ³ = zと書かれ、時間座標はx ^{0 = ξ と書かれる（固有時間}tとは異なる）。 ξ は同次モデルで定義された同じ変数に対応することが示される。 ξ とzによる微分は、それぞれドットとプライムで示される。 ラテンインデックスa、b、c は値 1、 2 を取り、空間座標x ¹、x ^{2に対応し、これらは}x、yとも書かれる。したがって、計量は

要求される解は不等式を満たす必要がある

(これらの条件は、関数a ²、b ²、c ^{2 の}うちの 1 つが他の 2 つに比べて小さいことを指定します。これは同次モデルの場合でも同様です)。

不等式94は、成分γ _{a 3}が小さいこと、つまり、シフトdx ^aとdzの比率がどのようなものであっても、積dx ^a dzの項は空間長さ要素dl ²の2乗で省略できることを意味する。したがって、解への最初の近似は、γ _{a 3} = 0である計量式92である。^[注20]

計量式95と条件式93を使ってリッチテンソル成分、、を計算すると、座標x ^aによる導関数を含むすべての項が、ξとzによる導関数を含む項に比べて小さい（それらの比は〜γ ₃₃ / γ _ab）ことが簡単にわかります。言い換えれば、主な近似の式を得るためには、式95のγ ₃₃とγ _abを、 x ^aに依存しないかのように微分する必要があります。 ${\displaystyle R_{0}^{0}}$${\displaystyle R_{3}^{0}}$${\displaystyle R_{3}^{3}}$${\displaystyle R_{a}^{b}}$

次の式が得られる: ^{[注 21]}

指数の上げ下げはγ _abの助けを借りてここで行われます。量とλは収縮であり、それによって ${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle \varkappa _{a}^{a}}$${\displaystyle \lambda _{a}^{a}}$

リッチテンソルの成分、に関しては、この計算により、それらは常にゼロになります。次の近似では (つまり、小さな γ _{a 3}とx、yによる導関数を考慮して)、既知の γ ₃₃と γ _abによって量 γ _{a 3 を}決定します。 ${\displaystyle R_{a}^{0}}$${\displaystyle R_{a}^{3}}$

式97を縮約すると、となり、したがって 、${\displaystyle G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0}$

G変数に応じて異なるケースが考えられます。上記のケースでは、g ⁰⁰ = γ ³³ γ ^abおよび です。N > 0 (量Nは時間的)の場合、興味深い時間特異点が生じます。式101にf ₁ = 1/2 (ξ + z ) sin y、f ₂ = 1/2 (ξ − z ) sin y を代入すると、 Gは次のよう になります。${\displaystyle \gg }$${\displaystyle N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}}$

この選択は結論の一般性を損なうものではない。一般性は（最初の近似では）残りの変数の許容される変換のみで可能であることが示される。N < 0（量Nは空間的）では、よく知られているアインシュタイン-ローゼン計量[ ^{53]を一般化する}G = zを代用することができる。N = 0では、ξ + zのみ、またはξ − zのみに依存するロビンソン-ボンディ波計量^[54]に到達する（^{[55]を参照）。}式102の係数sin yは、同次モデルとの便利な比較のために置かれている。式102を考慮すると、式97-式99は次のようになる。

主な方程式はγab成分を定義する_式103です。次に、関数ψは式104と式105の単純な積分によって求められます。

変数 ξ は 0 から ∞ までの値をとります。式 103の解は、 2 つの境界 ξ 1 と1で考えられます。ξ値が大きい場合、1 / √ ξ分解の形をとる解を探すことができます。 ${\displaystyle \gg }$${\displaystyle \ll }$

これにより

（式107は条件102が真であることを必要とする）。式103を式106に代入すると、一次式で次の式が得られる。

ここで、量a ^acは行列a _acの逆行列を構成する。式108の解は次のようになる 。

where l_a, m_a, ρ, are arbitrary functions of coordinates x, y bound by condition eq. 110 derived from eq. 107.

To find higher terms of this decomposition, it is convenient to write the matrix of required quantities γ_ab in the form

where the symbol ~ means matrix transposition. Matrix H is symmetric and its trace is zero. Presentation eq. 111 ensures symmetry of γ_ab and fulfillment of condition eq. 102. If exp H is substituted with 1, one obtains from eq. 111 γ_ab = ξa_ab with a_ab from eq. 109. In other words, the first term of γ_ab decomposition corresponds to H = 0; higher terms are obtained by powers decomposition of matrix H whose components are considered small.

The independent components of matrix H are written as σ and φ so that

Substituting eq. 111 in eq. 103 and leaving only terms linear by H, one derives for σ and φ

${\displaystyle {\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,}$

If one tries to find a solution to these equations as Fourier series by the z coordinate, then for the series coefficients, as functions of ξ, one obtains Bessel equations. The major asymptotic terms of the solution at large ξ are^{[note 22]}

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.}$

Coefficients A and B are arbitrary complex functions of coordinates x, y and satisfy the necessary conditions for real σ and φ; the base frequency ω is an arbitrary real function of x, y. Now from eq. 104–eq. 105 it is easy to obtain the first term of the function ψ:

(this term vanishes if ρ = 0; in this case the major term is the one linear for ξ from the decomposition: ψ = ξq (x, y) where q is a positive function^[56]).

Therefore, at large ξ values, the components of the metric tensor γ_ab oscillate upon decreasing ξ on the background of a slow decrease caused by the decreasing ξ factor in eq. 111. The component γ₃₃ = e^ψ decreases quickly by a law close to exp (ρ²ξ²); this makes it possible for condition eq. 93.^{[note 23]}

Next BKL consider the case ξ ${\displaystyle \ll }$ 1. The first approximation to a solution of eq. 103 is found by the assumption (confirmed by the result) that in these equations terms with derivatives by coordinates can be left out:

This equation together with the condition eq. 102 gives

where λ_a, μ_a, s₁, s₂ are arbitrary functions of all 3 coordinates x, y, z, which are related with other conditions

Equations eq. 104–eq. 105 give now

The derivatives ${\displaystyle {\lambda _{a}^{b}}^{\prime }}$, calculated by eq. 118, contain terms ~ ξ^{4s₁ − 2} and ~ ξ^{4s₂ − 2} while terms left in eq. 117 are ~ ξ⁻². Therefore, application of eq. 103 instead of eq. 117 is permitted on conditions s₁ > 0, s₂ > 0; hence 1 − ${\displaystyle s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}$ > 0.

Thus, at small ξ oscillations of functions γ_ab cease while function γ₃₃ begins to increase at decreasing ξ. This is a Kasner mode and when γ₃₃ is compared to γ_ab, the above approximation is not applicable.

In order to check the compatibility of this analysis, BKL studied the equations ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ = 0, ${\displaystyle R_{\alpha }^{3}}$ = 0, and, calculating from them the components γ_a3, confirmed that the inequality eq. 94 takes place. This study^[52] showed that in both asymptotic regions the components γ_a3 were ~ γ₃₃. Therefore, correctness of inequality eq. 93 immediately implies correctness of inequality eq. 94.

This solution contains, as it should for the general case of a field in vacuum, four arbitrary functions of the three space coordinates x, y, z. In the region ξ ${\displaystyle \ll }$ 1 these functions are, e.g., λ₁, λ₂, μ₁, s₁. In the region ξ ${\displaystyle \gg }$ 1 the four functions are defined by the Fourier series by coordinate z from eq. 115 with coefficients that are functions of x, y; although Fourier series decomposition (or integral?) characterizes a special class of functions, this class is large enough to encompass any finite subset of the set of all possible initial conditions.

The solution contains also a number of other arbitrary functions of the coordinates x, y. Such two-dimensional arbitrary functions appear, generally speaking, because the relationships between three-dimensional functions in the solutions of the Einstein equations are differential (and not algebraic), leaving aside the deeper problem about the geometric meaning of these functions. BKL did not calculate the number of independent two-dimensional functions because in this case it is hard to make unambiguous conclusions since the three-dimensional functions are defined by a set of two-dimensional functions (cf.^[52] for more details).^{[note 24]}

Finally, BKL go on to show that the general solution contains the particular solution obtained above for homogeneous models.

Substituting the basis vectors for Bianchi Type IX homogeneous space in eq. 7 the space-time metric of this model takes the form

When c² ${\displaystyle \ll }$ a², b², one can ignore c² everywhere except in the term c² dz². To move from the synchronous frame used in eq. 121 to a frame with conditions eq. 91, the transformation dt = c dξ/2 and substitution z → z/2 are done. Assuming also that χ ≡ ln (a/b) ${\displaystyle \ll }$ 1, one obtains from eq. 121 in the first approximation:

Similarly, with the basis vectors of Bianchi Type VIII homogeneous space, one obtains

According to the analysis of homogeneous spaces above, in both cases ab = ξ (simplifying ${\displaystyle a_{0}^{2}}$ = ξ₀) and χ is from eq. 51; function c (ξ) is given by formulae eq. 53 and eq. 61, respectively, for models of Types IX and VIII.

Identical metric for Type VIII is obtained from eq. 112, eq. 115, eq. 116 choosing two-dimensional vectors l_a and m_a in the form

and substituting

To obtain the metric for Type IX, one should substitute

(for calculation of c (ξ) the approximation in eq. 116 is not sufficient and the term in ψ linear by ξ is calculated^[56])

This analysis was done for empty space. Including matter does not make the solution less general and does not change its qualitative characteristics.^[56][52]

A limitation of great importance for the general solution is that all 3-dimensional functions contained in the metrics eq. 122 and eq. 123 should have a single and common characteristic change interval. Only this allows to approximate in the Einstein equations all metric spatial component derivatives with simple products of these components by a characteristic wave numbers which results in ordinary differential equations of the type obtained for the Type IX homogeneous model. This is the reason for the coincidence between homogeneous and general solutions.

It follows that both Type IX model and its generalisation contain an oscillatory mode with a single spatial scale of an arbitrary magnitude which is not selected among others by any physical conditions. However, it is known that in non-linear systems with infinite degrees of freedom such mode is unstable and partially dissipates to smaller oscillations. In the general case of small perturbations with an arbitrary spectrum, there will always be some whose amplitudes will increase feeding upon the total process energy. As a result, a complicated picture arises of multi-scale movements with certain energy distribution and energy exchange between oscillations of different scales. It doesn't occur only in the case when the development of small-scale oscillations is impossible because of physical conditions. For the latter, some natural physical length must exist which determines the minimal scale at which energy exits from a system with dynamical degrees of freedom (which, for example, occurs in a liquid with a certain viscosity). However, there is no innate physical scale for a gravitational field in vacuum, and, therefore, there is no impediment for the development of oscillations of arbitrarily small scales.^[57]

BKL describe singularities in the cosmologic solution of Einstein equations that have a complicated oscillatory character. Although these singularities have been studied primarily on spatially homogeneous models, there are convincing reasons to assume that singularities in the general solution of Einstein equations have the same characteristics; this circumstance makes the BKL model important for cosmology.

A basis for such statement is the fact that the oscillatory mode in the approach to singularity is caused by the single perturbation that also causes instability in the generalized Kasner solution. A confirmation of the generality of the model is the analytic construction for long era with small oscillations. Although this latter behavior is not a necessary element of metric evolution close to the singularity, it has all principal qualitative properties: metric oscillation in two spatial dimensions and monotonous change in the third dimension with a certain perturbation of this mode at the end of some time interval. However, the transitions between Kasner epochs in the general case of non-homogeneous spatial metric have not been elucidated in details.

The problem connected with the possible limitations upon space geometry caused by the singularity was left aside for further study. It is clear from the outset, however, that the original BKL model is applicable to both finite or infinite space; this is evidenced by the existence of oscillatory singularity models for both closed and open spacetimes.

The oscillatory mode of the approach to singularity gives a new aspect to the term 'finiteness of time'. Between any finite moment of the world time t and the moment t = 0 there is an infinite number of oscillations. In this sense, the process acquires an infinite character. Instead of time t, a more adequate variable for its description is ln t by which the process is extended to ${\displaystyle -\infty }$.

BKL consider metric evolution in the direction of decreasing time. The Einstein equations are symmetric in respect to the time sign so that a metric evolution in the direction of increasing time is equally possible. However, these two cases are fundamentally different because past and future are not equivalent in the physical sense. Future singularity can be physically meaningful only if it is possible at arbitrary initial conditions existing in a previous moment. Matter distribution and fields in some moment in the evolution of Universe do not necessarily correspond to the specific conditions required for the existence of a given special solution to the Einstein equations.

The choice of solutions corresponding to the real world is related to profound physical requirements which is impossible to find using only the existing relativity theory and which can be found as a result of future synthesis of physical theories. Thus, it may turn out that this choice singles out some special (e.g., isotropic) type of singularity. Nevertheless, it is more natural to assume that because of its general character, the oscillatory mode should be the main characteristic of the initial evolutionary stages.

In this respect, of considerable interest is the property of the "Mixmaster" model shown by Misner,^[58] related to propagation of light signals. In the isotropic model, a "light horizon" exists, meaning that for each moment of time, there is some longest distance, at which exchange of light signals and, thus, a causal connection, is impossible: the signal cannot reach such distances for the time since the singularity t = 0.

Signal propagation is determined by the equation ds = 0. In the isotropic model near the singularity t = 0 the interval element is ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-2td{\bar {l}}^{2}}$, where ${\displaystyle d{\bar {l}}^{2}}$ is a time-independent spatial differential form.^[59] Substituting ${\displaystyle t=\eta ^{2}/2}$ yields

The "distance" ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}}$ reached by the signal is

Since η, like t, runs through values starting from 0, up to the "moment" η signals can propagate only at the distance ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}\leq \eta }$ which fixes the farthest distance to the horizon.

The existence of a light horizon in the isotropic model poses a problem in the understanding of the origin of the presently observed isotropy in the relic radiation. According to the isotropic model, the observed isotropy means isotropic properties of radiation that comes to the observer from such regions of space that can not be causally connected with each other. The situation in the oscillatory evolution model near the singularity can be different.

For example, in the homogeneous model for Type IX space, a signal is propagated in a direction in which for a long era, scales change by a law close to ~ t. The square of the distance element in this direction is dl² = t²${\displaystyle {\bar {l}}^{2}}$, and the respective element of the four-dimensional interval is ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-t^{2}{\bar {l}}^{2}}$. The substitution ${\displaystyle t=e^{\eta }}$ puts this in the form

and for the signal propagation one has equation of the type eq. 128 again. The important difference is that the variable η runs now through values starting from ${\displaystyle -\infty }$ (if metric eq. 129 is valid for all t starting from t = 0).

Therefore, for each given "moment" η are found intermediate intervals Δη sufficient for the signal to cover each finite distance.

In this way, during a long era a light horizon is opened in a given space direction. Although the duration of each long era is still finite, during the course of the world evolution eras change an infinite number of times in different space directions. This circumstance makes one expect that in this model a causal connection between events in the whole space is possible. Because of this property, Misner named this model "Mixmaster universe" by a brand name of a dough-blending machine.

As time passes and one goes away from the singularity, the effect of matter on metric evolution, which was insignificant at the early stages of evolution, gradually increases and eventually becomes dominant. It can be expected that this effect will lead to a gradual "isotropisation" of space as a result of which its characteristics come closer to the Friedman model which adequately describes the present state of the Universe.

Finally, BKL pose the problem about the feasibility of considering a "singular state" of a world with infinitely dense matter on the basis of the existing relativity theory. The physical application of the Einstein equations in their present form in these conditions can be made clear only in the process of a future synthesis of physical theories and in this sense the problem can not be solved at present.

It is important that the gravitational theory itself does not lose its logical cohesion (i.e., does not lead to internal controversies) at whatever matter densities. In other words, this theory is not limited by the conditions that it imposes, which could make logically inadmissible and controversial its application at very large densities; limitations could, in principle, appear only as a result of factors that are "external" to the gravitational theory. This circumstance makes the study of singularities in cosmological models formally acceptable and necessary in the frame of existing theory.