計量テンソル（一般相対性理論）

${\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$ 一般相対性理論における時空の計量テンソルを行列として表したもの

一般相対性理論において、計量テンソル（この文脈ではしばしば単に計量と略される）は、研究の根本的な対象である。計量は時空の幾何学的構造と因果構造のすべてを捉え、時間、距離、体積、曲率、角度、未来と過去の分離といった概念を定義するために用いられる。

一般相対性理論では、計量テンソルは古典的な重力理論における重力ポテンシャルの役割を果たしますが、関連する方程式の物理的内容は全く異なります。 ^{[ 1 ]}グートフロイントとレンは、「一般相対性理論では、重力ポテンシャルは計量テンソルによって表される」と述べています。^{[ 2 ]}

この記事では、ほとんどが正の値（− + + +）である計量符号を使用します。符号規約を参照してください。重力定数${\displaystyle G}$明示的に記述します。この記事では、アインシュタインの総和規約を採用しており、同じ添え字が繰り返される場合は自動的に総和されます。

数学的には、時空は4次元の微分可能多様体で表されます。${\displaystyle M}$そして計量テンソルは、共変な2次対称テンソルとして与えられます。${\displaystyle M}$慣例的に で表される${\displaystyle g}$さらに、計量は符号(− + + +)を持つ非退化でなければならない。多様体${\displaystyle M}$このような計量を備えたものは、ローレンツ多様体の一種である。

具体的には、計量テンソルは、各接空間上の対称双線形形式である。${\displaystyle M}$点ごとに滑らかに（または微分可能に）変化する。2 つの接線ベクトルが与えられた場合${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$ある時点で${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$指標は以下で評価できます${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$実数で表すと： $${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$これは、通常のユークリッド空間のドット積 の一般化です。ドット積が正定値であるユークリッド空間とは異なり、この計量は不定値であり、各接空間にミンコフスキー空間の構造を与えます。

物理学者は通常、局所座標（つまり、ある局所的な領域で定義された座標）で作業します。${\displaystyle M}$) ローカル座標で${\displaystyle x^{\mu }}$（どこ${\displaystyle \mu }$は0から3までのインデックスです。メトリックは次の形式で記述できます。 $${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$ 要因$\displaystyle dx^{\mu }}$はスカラー座標場の1形式勾配である${\displaystyle x^{\mu }}$したがって、この計量は座標の1形式勾配のテンソル積の線形結合である。係数$\displaystyle g_{\mu \nu }}$は 16 個の実数値関数の集合です (テンソルは${\displaystyle g}$は、時空多様体のすべての点で定義されるテンソル場です。計量が対称であるためには、$${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$ 10個の独立した係数を与える。

ローカル座標が指定されている場合、または文脈から理解できる場合は、メトリックは、エントリを持つ4 × 4対称行列として記述できます。$\displaystyle g_{\mu \nu }}$非退化性$\displaystyle g_{\mu \nu }}$これは、この行列が非特異（つまり、行列式がゼロでない）であることを意味し、一方、ローレンツ符号は${\displaystyle g}$これは、行列が負の固有値を 1 つと正の固有値を 3 つ持つことを意味します。物理学者はしばしばこの行列または座標を参照します。$\displaystyle g_{\mu \nu }}$それ自体をメトリックとする（ただし、抽象インデックス表記を参照）。

数量$\displaystyle dx^{\mu }}$微小座標変位4ベクトルの成分とみなされる（上記の同じ表記の1形式と混同しないように）、計量は微小線要素の不変二乗を決定する。これはしばしば区間と呼ばれる。区間はしばしば次のように表記される。 $${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

間隔$ds²$時空の因果構造に関する情報を提供する。$ds^2}<0$区間は時間的であり、絶対値の平方根は$ds²$は増分的な固有時間です。時間のような間隔のみが、質量のある物体によって物理的に通過できます。$ds²=0$、その間隔は光のようなものであり、光速で移動する（質量のない）物体のみが通過できます。$ds²>0$区間は空間的であり、平方根は$ds²$増分的な固有長として機能します。 空間的な間隔は、互いの光円錐の外側にある事象を結びつけるため、横断することはできません。事象は、互いの光円錐の内側にある場合にのみ、因果関係を持つことができます。

メトリックの構成要素は、ローカル座標系の選択に依存します。座標変換の下では、${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$メトリックコンポーネントは次のように変換されます $${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

メトリックテンソルはインデックス操作において重要な役割を果たします。インデックス表記では、係数は$\displaystyle g_{\mu \nu }}$計量テンソルの${\displaystyle \mathbf {g} }$他のテンソルの共変成分と反変成分の間にリンクを提供する。テンソルの反変インデックスを共変計量テンソル係数のインデックスと縮約すると、インデックスが低下する。 $${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$ 同様に、反変計量係数は指数を上昇させる $${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$インデックスを上げ下げする この性質を計量テンソルの成分自体に適用すると、次の性質が得られます。 $${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$ 対角メトリック（係数が${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$（つまり、基底ベクトルは互いに直交している）これは、計量​​テンソルの与えられた共変係数が、対応する反変係数の逆数であることを意味する。${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$など

計量gは(符号を除いて)自然な体積形式を誘導し、これを使用して多様体の領域を積分することができます。局所座標が与えられた場合${\displaystyle x^{\mu }}$多様体の場合、体積形式は次のように書ける。 $${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$ どこ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$これは、与えられた座標系における計量テンソルの成分行列の行列式である。

指標${\displaystyle g}$時空の曲率を完全に決定します。リーマン幾何学の基本定理によれば、任意の半リーマン多様体上に、計量と整合し、かつねじれのない一意の接続∇が存在します。この接続はレヴィ・チヴィタ接続と呼ばれます。この接続のクリストッフェル記号は、局所座標における計量の偏微分で表されます。${\displaystyle x^{\mu }}$式により $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$ （ここで、コンマは偏微分を表す。）

時空の曲率は、レヴィ・チヴィタ接続∇を用いて定義される リーマン曲率テンソルによって与えられる。局所座標系では、このテンソルは次のように表される。$${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

曲率は計量のみで表現できる。${\displaystyle g}$およびその派生物。

一般相対性理論の核心的な考え方の一つは、計量（およびそれに伴う時空の幾何学）は時空の物質とエネルギーの含有量によって決定されるというものである。アインシュタインの場の方程式： $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$ リッチ曲率テンソル$${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$ そしてスカラー曲率$${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$ 計量（および関連する曲率テンソル）を応力エネルギーテンソルに関連付ける${\displaystyle T_{\mu \nu }}$このテンソル方程式は、計量成分に関する複雑な非線形偏微分方程式の集合です。アインシュタインの場の方程式の厳密解を見つけるのは非常に困難です。

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