ディリクレ畳み込み

数学において、ディリクレ畳み込み（または除数畳み込み）は、算術関数に対して定義される二項演算であり、数論において重要な概念である。これは、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによって開発された。

もし${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$は 2 つの算術関数であり、それらのディリクレ畳み込みは${\displaystyle f*g}$は、次のように定義される新しい算術関数です。

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b),}$

ここで、和はすべての正の約数にわたって計算される。${\displaystyle d}$の${\displaystyle n}$または同等に、すべての異なるペアについて${\displaystyle (a,b)}$積が${\displaystyle n}$。

この積は、リーマンゼータ関数などのディリクレ級数の研究において自然に現れる。これは、2つのディリクレ級数の係数を用いた乗算を表す。

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

算術関数の集合は可換環を形成し、ディリクレ環。加算は点ごとの、乗算はディリクレ畳み込みによって行われる。乗法単位元は単位関数${\displaystyle \varepsilon }$定義される${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$もし${\displaystyle n=1}$そして${\displaystyle 0}$それ以外の場合。この環の単位（可逆要素）は算術関数である。${\displaystyle f}$と${\displaystyle f(1)\neq 0}$非単位元は加算に関して閉じているので、この環は局所的である。

具体的には、ディリクレ畳み込みは結合法則を満たす。^{[ 1 ]}

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

加法に対する分配法則

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$、

可換、

${\displaystyle f*g=g*f}$、

そしてアイデンティティ要素を持ち、

${\displaystyle f*\varepsilon }$=${\displaystyle \varepsilon *f=f}$。

さらに、各関数について${\displaystyle f}$持っている${\displaystyle f(1)\neq 0}$別の算術関数が存在する${\displaystyle f^{-1}}$満足${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$ディリクレ逆行列と呼ばれる${\displaystyle f}$。

2 つの乗法関数のディリクレ畳み込みは再び乗法関数であり、常にゼロでないすべての乗法関数は、乗法関数であるディリクレ逆関数を持ちます。言い換えれば、乗法関数はディリクレ環の可逆元群の部分群を形成します。ただし、2 つの乗法関数の和は乗法関数ではないことに注意してください (なぜなら${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$したがって、乗法関数のサブセットはディリクレ環の部分環ではありません。乗法関数に関する記事では、重要な乗法関数間のいくつかの畳み込み関係が列挙されています。

算術関数におけるもう一つの演算は、要素ごとの乗算です。 ${\displaystyle fg}$定義される${\displaystyle (fg)(n)=f(n)g(n)}$完全乗法関数が与えられた場合${\displaystyle h}$、ポイントごとの乗算${\displaystyle h}$ディリクレ畳み込みに分布する：${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$[ ^{2 ]} 2つの完全乗法関数の畳み込みは乗法関数ですが、必ずしも完全乗法関数ではありません^。

これらの式では、以下の算術関数を使用します。

• ${\displaystyle \varepsilon }$乗法単位元は、${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$それ以外の場合は 0 (${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$)
• ${\displaystyle 1}$値は1の定数関数です。 ${\displaystyle 1(n)=1}$すべての人々のために${\displaystyle n}$覚えておいてください${\displaystyle 1}$は同一性ではない。（一部の著者はこれを次のように表記する）${\displaystyle \zeta }$なぜなら、関連するディリクレ級数はリーマンゼータ関数だからである。）
• ${\displaystyle 1_{C}}$のために${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$は設定指示関数です。 ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$もし${\displaystyle n\in C}$それ以外の場合は0。
• ${\displaystyle {\text{Id}}}$値nの恒等関数です。 ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$。
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$これはk乗関数です。 ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$。

以下の関係が成り立つ。

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$定数関数の ディリクレ逆関数${\displaystyle 1}$これはメビウス関数である（証明を参照）。したがって：
• ${\displaystyle g=f*1}$ かつその場合に限り ${\displaystyle f=g*\mu }$、メビウスの反転公式。
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$、約数の k 乗和関数σ _k。
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$、約数の和関数σ = σ ₁。
• ${\displaystyle \tau =1*1}$約数の数関数τ ( n ) = σ ₀。
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$、 σ _k、σ、τの式のメビウス反転による。
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$オイラーのトーシェント関数の下で証明された。
• ${\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }$メビウスの反転によって。
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$ 、1 を両側で畳み込むことによって${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$。
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$ ここでλはリウヴィル関数である。
• ${\displaystyle {\text{Id}}*\phi =P}$、 どこ${\displaystyle P}$これはピライの算術関数であり、gcd-sum関数としても知られています。
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ ここで、Sq = {1, 4, 9, ...} は正方形の集合です。
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$、 ジョルダンのトーシェント関数。
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$、 どこ${\displaystyle \Lambda }$はフォン・マンゴルトの関数です。
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}$どこ${\displaystyle \omega (n)}$nの異なる素因数を数える素数オメガ関数です。
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$素数のべき乗の特性関数。
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$どこ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$これは素数の特性関数です。

この最後の恒等式は、素数計数関数が総和関数によって与えられることを示している。

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

どこ${\displaystyle M(x)}$はメルテンス関数であり、${\displaystyle \omega }$これは、上記の異なる素因数計数関数です。この展開は、除数和恒等式のページに示されているディリクレ畳み込みの和の恒等式から導かれます（これらの和の標準的なトリックです）。^{[ 3 ]}

fが算術関数である場合、ディリクレ級数生成関数は次のように定義される。

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

級数が収束するような複素引数s（もしあれば）について。ディリクレ級数の乗算は、次の意味でディリクレ畳み込みと互換性があります。

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

左辺の両級数が収束するすべてのsに対して、少なくとも一方の級数は絶対収束する（左辺の両級数が単純に収束しても、右辺が収束するとは限らないことに注意！）。これは、ディリクレ級数をフーリエ変換と考えると、畳み込み定理に似ている。

畳み込みにおける除数をユニタリ除数、バイユニタリ除数、または無限除数に制限すると、ディリクレ畳み込みと多くの特徴を共有する類似の可換演算が定義されます（メビウス反転の存在、乗法性の持続、トーシェントの定義、関連する素数上のオイラー型の積公式など）。

ディリクレ畳み込みは、半順序集合の 連結代数に対する畳み込み乗算の特殊な場合であり、この場合は整除性によって順序付けられた正の整数の半順序集合である。

ディリクレ双曲線法は、畳み込みの総和を、その関数とその総和関数を用いて計算する。

• 算術関数
• 除数和の恒等式
• メビウス反転公式

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• 「ディリクレ畳み込み」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]