素数定理

数学において、素数定理（PNT ）は、正の整数における素数の漸近分布を記述する。素数は大きくなるにつれて少なくなるという直感的な考えを、その発生率を正確に定量化することで定式化する。この定理は、ベルンハルト・リーマン（特にリーマンゼータ関数）によって導入されたアイデアを用いて、1896年にジャック・アダマール^[1]とシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン^[2]によって独立に証明された。

最初に見つかった分布はπ ( N ) ~ ⁠いいえ/ログ( N )⁠、ここでπ ( N )は素数計算関数（ N以下の素数の個数）で、 log( N )はNの自然対数です。つまり、 Nが十分に大きい場合、 N以下のランダムな整数が素数である確率は1 / log( N )に非常に近くなります。その結果、最大で2 n桁のランダムな整数（ nが十分に大きい場合）が素数である確率は、最大でn桁のランダムな整数の約半分になります。たとえば、最大で 1000 桁の正の整数のうち、約 2300 個に 1 個が素数です（ log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6）が、最大で 2000 桁の正の整数のうち、約 4600 個に 1 個が素数です（ log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605.2）。言い換えれば、最初のN個の整数のうち連続する素数間の平均差はおよそlog( N )となる。 ^[3]

π ( x )を素数関数と定義し、任意の実数 xに対して、 x以下の素数の個数を求める。例えば、π (10) = 4となるのは、10 以下の素数が 4 つ (2、3、5、7) あるためである。素数定理によれば、x / log xはπ ( x ) (ここで log は自然対数)の良い近似値であり、 x が無制限に増加するときの2 つの関数π ( x )とx / log xの商の極限は 1 である。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

これは素数の分布の漸近法則として知られている。漸近記法を用いると、この結果は次のように言い換えられる。

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

この表記法 (および定理) は、x が無限に増加したときの 2 つの関数の差の極限については何も述べていません。代わりに、定理は、 x / log xがπ ( x )に近似し、 x が無限に増加するにつれてこの近似の相対誤差が0 に近づくことを述べています。

素数定理は、n番目の素数p _nが以下を満たす という命題と同等である。

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

漸近的記法は、この近似値の相対誤差がnが無限に増加するにつれて0に近づくことを意味している。例えば、2 × 10 ¹⁷番目の素数は8 512 677 386 048 191 063、^[4]および（2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷）を四捨五入すると7 967 418 752 291 744 388、相対誤差は約6.4%です。

一方、次の漸近関係は論理的に同値である: ^{[5] : 80–82}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,{\text{ and}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}}$

以下に概説するように、素数定理は以下と同等である。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

ここでϑとψはそれぞれ第1および第2チェビシェフ関数であり、

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^{[5] : 92–94}

ここで はメルテンス関数です。 ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

アントン・フェルケルとユリ・ベガの表に基づいて、アドリアン・マリー・ルジャンドルは1797年か1798年に、π ( a ) は関数a / ( A log a + B )で近似されると予想しました。ここで、AとB は不特定の定数です。彼は数論に関する著書の第2版 (1808年) で、 A = 1およびB = −1.08366というより正確な予想を立てました。カール・フリードリヒ・ガウスは、1849年の彼自身の記憶によれば、「1792年か1793年」に15歳か16歳のときに同じ問題を考察しました。^[6] 1838年にペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは、（わずかに異なる形式の級数で）独自の近似関数である対数積分li( x )を考案し、それをガウスに伝えました。ルジャンドルの公式とディリクレの公式は両方とも、上で述べたπ ( x )とx / log( x )の同じ推測された漸近的同値性を意味しますが、商ではなく差を考慮するとディリクレの近似の方がかなり優れていることが判明しました。

1848年と1850年の2つの論文で、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフは素数分布の漸近法則を証明しようとした。彼の研究は、 1737年のレオンハルト・オイラーの研究と同様に、引数「s」の実数値に対するゼータ関数ζ ( s )の使用で有名である。チェビシェフの論文はリーマンの有名な1859年の回顧録よりも前のものであり、彼は漸近法則のやや弱い形式、すなわちx が無限大に向かうにつれてπ ( x ) / ( x / log( x ))の極限 が存在するならば、それは必ず1に等しいことを証明することに成功した。^{[7]彼は、十分に大きいすべての}xに対して、この比が0.92129と1.10555で上と下に有界であることを無条件に証明することができた。^{[8] [9]}チェビシェフの論文は素数定理を証明しなかったが、π ( x )に対する彼の推定値は、任意の整数n≥2に対してnと2nの間に素数が存在するというベルトランの公理を証明するのに十分強力であった。

素数の分布に関する重要な論文は、リーマンの 1859 年の回想録「与えられた絶対値より小さい素数の個数について」であり、この主題について彼が書いた唯一の論文である。リーマンはこの主題に新しい考えを導入したが、それは主に、素数の分布が複素変数の解析的に拡張されたリーマンゼータ関数の零点と密接に関係しているというものであった。特に、この論文では、複素解析の方法を実関数π ( x )の研究に適用するというアイデアが生まれた。リーマンのアイデアを拡張して、ジャック・アダマール^[1]とシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン^[2]によって素数の分布の漸近法則の 2 つの証明が独立に発見され、同じ年 (1896 年) に発表された。どちらの証明も複素解析の手法を用いており、リーマンゼータ関数 ζ ( s )は、 t >0の条件でs =1+ itの形をとる変数sのすべての複素数値に対してゼロでないことを証明することが主なステップとなっている。^[10]

20世紀には、アダマールとドゥ・ラ・ヴァレー・プーサンの定理は素数定理としても知られるようになった。この定理には、アトレ・セルバーグ^[11]とポール・エルデシュ^{[12] （1949年）の「初等的な」証明を含め、いくつかの異なる証明が見つかっている。アダマールとドゥ・ラ・ヴァレー・プーサンの最初の証明は長くて複雑である。後の証明では}タウバー定理の使用によりさまざまな簡略化が導入されたが、理解するのは困難なままであった。1980年にアメリカの数学者ドナルド・J・ニューマン^[13]によって短い証明が発見された。^[14]ニューマンの証明は、複素解析の コーシーの積分定理を使用するという意味で非初等的であるが、おそらく定理の最も単純な証明として知られている。

これは、テレンス・タオの講義で言及された証明の概要です。 ^[15] PNTのほとんどの証明と同様に、この証明は、直感的ではないが、より振る舞いの良い素数カウント関数の観点から問題を再定式化することから始まります。アイデアは、重み付きの素数（または素数の累乗の集合などの関連する集合）をカウントして、より滑らかな漸近挙動を持つ関数に到達することです。最も一般的なこのような一般化されたカウント関数は、次のように定義される チェビシェフ関数 ψ ( x )です。

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{\overset {p^{k}\leq x,}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\;.}$

これは次のように書かれることもある

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

ここでΛ ( n )はフォン・マンゴルト関数であり、

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

PNTが以下の主張と同等であることを確認するのは、現在では比較的簡単です。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

実際、これは簡単な推定から導かれる。

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log x=\pi (x)\log x}$

そして（大文字のO記法を用いると）任意のε > 0に対して、

${\displaystyle \psi (x)\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}\log p\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

次のステップは、ψ ( x )の有用な表現を見つけることです。ζ ( s )をリーマンゼータ関数とします。 ζ ( s ) は、フォンマンゴルト関数 Λ ( n )、つまりψ ( x )と次の関係で 関連していることが示されます。

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

この方程式とゼータ関数の関連する性質をメリン変換とペロンの公式を用いて精緻に解析すると、非整数xに対して方程式

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}$

が成り立ち、ここで和はゼータ関数のすべての零点（自明および非自明）にわたっています。この印象的な公式は、数論のいわゆる明示的公式の1つであり、項x （ ψ ( x )の正しい漸近順序であると主張されている）が右辺に現れ、その後に（おそらく）より低次の漸近項が続くことから、証明したい結果をすでに示唆しています。

証明の次のステップは、ゼータ関数の零点を調べることです。自明な零点 -2、-4、-6、-8、... は別々に扱うことができます。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

これはx が大きい場合には消えます。非自明な零点、すなわち臨界帯0 ≤ Re( s ) ≤ 1上の零点は、 Re( ρ ) = 1の場合には主項xと同程度の漸近的順序になる可能性があるため、すべての零点の実部が厳密に 1 未満であることを示す必要があります。

これを実行するために、 ζ ( s ) が半平面Re( s ) > 0において有理型であり、 s = 1における単純な極を除いて解析的であり、積の公式が存在することを 前提とする。

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Re( s )>1の場合。この積の公式は整数の一意な素因数分解の存在から導かれ、この領域ではζ ( s )が決してゼロにならないことを示しているので、その対数はそこで定義され、

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

s = x + iyと書く と、

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)\;.}$

では、そのアイデンティティを観察してみましょう

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

となることによって

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

すべてのx > 1に対して。ここでζ (1 + iy ) = 0と仮定します。ζ ( s ) はs = 1で単純な極を持つため、y はゼロではありません。 x > 1と仮定し、x が上から 1 に向かうとします。 はs = 1で単純な極を持ち、ζ ( x + 2 iy )は解析的のままであるため、前の不等式の左辺は 0 に向かうことになり、矛盾が生じます。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

最後に、PNT は経験的に正しいと結論付けることができます。厳密に証明を完了するには、ψ ( x )の明示的な式におけるゼータ零点の合計が絶対収束せず、条件付きで「主値」の意味でのみ収束するという事実のために、克服すべき重大な技術的問題がまだ残っています。この問題を回避する方法はいくつかありますが、その多くは、かなり繊細な複素解析的推定を必要とします。エドワーズの本^[16]に詳細が記載されています。別の方法は、池原のタウバー定理を使用することですが、この定理自体は証明するのが非常に困難です。DJ ニューマンは、池原の定理の完全な強さは素数定理には必要ではなく、証明がはるかに簡単な特別なケースで済むことを観察しました。

DJ Newman は素数定理 (PNT) の簡単な証明を示しています。この証明は複素解析に依存しているため「初歩的」ではありませんが、この分野の初歩的なコースで扱う基本的な手法 (コーシーの積分公式、コーシーの積分定理、複素積分の推定値) のみを使用しています。この証明の簡単な概要を以下に示します。詳細については ^{[14] を}参照してください。

証明では、関数 の代わりに、の級数からいくつかの項を削除することで得られるチェビシェフ関数 を使用することを除いて、前 のセクションと同じ準備を使用します。 Tao の講義に基づく前の証明での議論と同様に、任意の 0 < ɛ < 1 に対して、 ϑ   ( x ) ≤ π ( x )log x、およびϑ   ( x ) ≥ (1 - ɛ )( π ( x ) + O( x ^{1- ɛ} ))log xが示されることができます。したがって、PNT は と同等です。同様に、関数 の代わりにを使用します。これは、 の級数からいくつかの項を削除することで得られます。関数 と は、上で正則な関数によって異なります。前のセクションで示したように、 は 直線 上に零点を持たず、上に特異点はありません。 ${\textstyle \psi }$${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$${\textstyle \psi }$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$${\displaystyle \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}}$${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$${\displaystyle \Phi (s)}$${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$${\displaystyle \Re s=1}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \Re s=1}$${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$${\displaystyle \Re s=1}$

ニューマンの証明に必要なもう 1 つの情報、そして彼の単純な方法による推定の鍵となる情報は、 が 有界であるということです。これは、チェビシェフによる独創的で簡単な方法を使用して証明されます。 ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

部分積分は、と がどのように関連しているかを示します。 の場合、 ${\displaystyle \vartheta (x)}$${\displaystyle \Phi (s)}$${\displaystyle \Re s>1}$

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

ニューマンの方法は積分を示すことによってPNTを証明する。

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

は収束するので、被積分関数は のときにゼロになります。これは PNT です。一般に、不定積分の収束は、被積分関数が振動する可能性があるため、無限大でゼロになることを意味しませんが、 は増加するため、この場合は簡単に示せます。 ${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \vartheta }$

の収束を示すため に 、${\displaystyle I}$${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$そしてどこで${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}$

それから

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

これは直線上の正則関数に等しい。 ${\displaystyle \Re z=0}$

積分、つまり PNT の収束は、 を示すことによって証明されます。これは と書くことができるため、タウバー定理として分類されるため、極限の順序の変更を伴います。${\displaystyle I}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$${\textstyle \lim _{T\to \infty }\lim _{z\to 0}g_{T}(z)=\lim _{z\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$

差はコーシーの積分公式 を用いて表され、積分関数を推定することで が大きい場合に が小さいことが示されます。 が の領域で正則となる ような と を固定し、 が この領域の境界とします。 0 は領域の内部にあるため、コーシーの積分公式は次のようになります。 ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle |z|\leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

ここで はニューマンによって導入された因子であり、が完全でであるため積分は変化しません。 ${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(0)=1}$

積分を推定するには、等高線を と の 2 つの部分に分割します。 次にです。、およびは 有界であるため、 の絶対値の上限を とします。この上限を の推定値と合わせると 、絶対値での最初の積分は となります。2番目の積分における上の被積分関数は完全 であるため、コーシーの積分定理により、積分を変えずに等高線を左半平面の 半径 の半円に変更できます 。また、最初の積分と同じ議論により、2 番目の積分の絶対値は となります。最後に とすると、 および は等高線上で0 となるため、3 番目の積分は0 になります。2 つの推定値と極限を組み合わせると、次のようになります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=C_{+}+C_{-}}$${\displaystyle C_{+}=C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$${\displaystyle C_{-}\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)dtdz-\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)dtdz+\int _{C_{-}}g(z)F(z){\frac {dz}{2\pi iz}}}$${\displaystyle H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2\pi i}$${\displaystyle \vartheta (x)/x}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle |F|\leq 2\exp(T\Re z)|\Re z|/R}$${\displaystyle |z|=R}$${\displaystyle \leq B/R}$${\displaystyle C_{-}}$${\displaystyle C_{-}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \leq B/R}$${\displaystyle T\to \infty }$${\displaystyle e^{zT}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

これは任意の に対して成り立つので、PNT が続きます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$

ディリクレは、1838年にガウスに郵送した論文「数列理論における無限大の級数の使用について」の再版に添えられた手書きのメモの中で、 π ( x )のさらに良い近似値は、次のように定義される オフセット対数積分関数Li( x )によって与えられると予想した (積分ではなく級数を用いる若干異なる形式)。

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

実際、この積分は、 tの周りの素数の「密度」が1 / log tであるべきであるという概念を強く示唆している。この関数は、漸近展開によって対数と関連している。

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

したがって、素数定理はπ ( x ) ~ Li( x )とも表記できる。実際、1899年の別の論文^[17]で、ドゥ・ラ・ヴァレー・プーサンは次のように証明した。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

正の定数aに対して、O (...)は大きなO表記である。これは次のように改良された。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$ここで。^[18]${\displaystyle A=0.2098}$

2016 年に、Trudgian はとの差の明示的な上限を証明しました。 ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

のために。^[19]${\displaystyle x\geq 229}$

リーマンゼータ関数とπ ( x )の関係は、リーマン予想が数論においてかなり重要である理由の1つです。もしそれが証明されれば、素数定理に含まれる誤差を今日よりもはるかに正確に推定できるようになります。より具体的には、ヘルゲ・フォン・コッホは1901年に^[20]、リーマン予想が正しい場合、上記の関係の誤差項は次のように改善できることを 示しました。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

（この最後の推定値は実際にはリーマン予想と同等である）。ビッグO表記に含まれる定数は1976年にローウェル・シェーンフェルド^[21]によってリーマン予想を仮定して推定された。

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

すべてのx ≥ 2657に対して。彼はまた、チェビシェフ素数関数 ψに対しても同様の境界を導出した。

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

すべてのx ≥ 73.2について。この後者の境界は、平均べき乗則（整数上のランダム関数とみなした場合） と分散を表すことが示されており、 ⁠1/ ふ ⁠ ノイズとトゥイーディー複合ポアソン分布にも対応します。（トゥイーディー分布は、中心極限定理の一般化の収束の焦点として機能するスケール不変分布の族を表します。^[22]）下限は、リーマン予想を仮定してJEリトルウッドによっても導出されています： ^{[23] [24] [25]}

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

対数積分 li( x ) は、xの値が「小さい」場合、π ( x )よりも大きくなります。これは、（ある意味で）素数ではなく素数の累乗を数えているためです。素数pの累乗p ⁿは、⁠1/ ん ⁠は素数です。これは、li( x )が通常π ( x )よりおよそ大きく、特にπ ( x )より常に大きいことを示唆しています。しかし、1914 年にリトルウッドは、符号が無限に頻繁に変わることを証明しました。^[23] π ( x ) がli( x )を超える最初のx の値は、おそらくx ~ 10${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$³¹⁶ ; 詳細については、 Skewes数に関する記事を参照してください。 （一方、オフセット対数積分 Li( x )は、 x = 2の場合には既にπ ( x )よりも小さくなります。実際、Li(2) = 0 であるのに対し、 π (2) = 1。）

20世紀前半、一部の数学者（特にGHハーディ）は、証明に必要な数の種類（整数、実数、複素数）に応じて数学には証明方法の階層が存在すると信じており、素数定理（PNT）は複素解析を必要とするため「深い」定理であると信じていました。^{[9]この信念は}、ウィーナーのタウバー定理に基づくPNTの証明によって多少揺らぎましたが、ウィーナーの証明は最終的には直線上のリーマンゼータ関数の特性に依存しており、複素解析を使用する必要があります。 ${\displaystyle {\text{re}}(s)=1}$

1948年3月、アトル・セルバーグは「初等的な」手段によって漸近公式を確立した。

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

どこ

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

素数pに対して。^[11]その年の7月までに、セルバーグとポール・エルデシュ^[12]はそれぞれ PNT の初等的証明を得ており、両者ともセルバーグの漸近公式を出発点としていた。^{[9] [26]}これらの証明は、PNT がその意味で「深い」という概念を事実上払拭し、技術的に「初等的な」方法がこれまで信じられていたよりも強力であることを示した。エルデシュとセルバーグの優先権紛争を含む PNT の初等的証明の歴史については、ドリアン・ゴールドフェルドの記事を参照のこと。^[9]

エルデシュとセルバーグの結果の重要性については議論がある。数論における初等証明の概念について厳密かつ広く受け入れられている定義は存在しないため、彼らの証明がどのような意味で「初等」であるかは明確ではない。複素解析は使用していないが、実際には PNT の標準的な証明よりもはるかに技術的である。「初等」証明の 1 つの可能な定義は、「1 階のペアノ算術で実行できる証明」である。2 階の方法では証明できるが1階の方法では証明できない数論的ステートメント (たとえば、パリス-ハリントンの定理)があるが、そのような定理は今のところまれである。エルデシュとセルバーグの証明は確かにペアノ算術で形式化でき、1994 年に Charalambos Cornaros と Costas Dimitracopoulos は、彼らの証明が PA の非常に弱いフラグメント、つまりI Δ ₀ + expで形式化できることを証明した。^[27]しかし、これはPNTの標準的な証明がPAで形式化できるかどうかという問題には対処していない。

素数定理のより最近の「初等的な」証明は、フロリアン・リヒターによるエルゴード理論を用いている。 ^[28] 素数定理は、リウヴィル関数の値のチェザロ和がゼロになるという同等の形式でそこから得られる。リウヴィル関数は、整数 の重複する素因数の数である。次に、ベルゲルソンとリヒター（2022）は、エルゴード定理からこの形式の素数定理を得て、それを証明した。 ${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$

をコンパクトな計量空間、の連続自己写像、 が一意にエルゴード となる-不変ボレル確率測度とします。すると、任意の に対して、${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f\in C(X)}$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$このエルゴード定理は、ピライ・セルバーグ定理やエルデシュ・デランジュ定理 など、素数定理に関連する結果の「ソフト」証明を与えるためにも使用できます。

2005年、アビガドらはイザベル定理証明器を用いて、PNTのエルデシュ-セルバーグ証明のコンピュータ検証版を考案した。^[29]これはPNTの最初の機械検証証明であった。アビガドが解析的証明ではなくエルデシュ-セルバーグ証明を形式化することを選択したのは、当時のイザベルのライブラリは極限、微分、超越関数の概念を実装できたものの、積分理論についてはほとんど触れられていなかったためである。^{[29] : 19}

2009年、ジョン・ハリソンはHOL Lightを使用して複素解析を用いた証明を形式化しました。^[30]コーシー積分公式を含む必要な解析的機械を開発することにより、ハリソンは「より複雑な「初歩的な」エルデシュ-セルバーグの議論の代わりに、直接的で現代的でエレガントな証明」を形式化することができました。

π _{d , a} ( x )を等差数列 a、a + d、a + 2 d、a + 3 d、 ...においてxより小さい素数の個数を表すものとする。ディリクレとルジャンドルは、aとdが互いに素であれば、

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

ここでφ はオイラーのトーシェント関数である。言い換えれば、素数はd を法とする剰余類[ a ]に均等に分布 し、 gcd( a , d ) = 1となる 。これは等差数列に関するディリクレの定理（各クラスに素数が無限にあるとだけ述べている）よりも強力であり、ニューマンが素数定理の証明に使用したのと同様の方法で証明できる。^[31]

シーゲル・ワルフィスの定理は、剰余類における素数の分布について優れた推定値を与えます。

ベネットら^{[32]は、明示的な定数}AとBを 持つ次の推定値を証明した（定理1.3）：dを 整数とし、aをdと互いに素な整数とする。すると、正の定数AとBが存在し、 ${\displaystyle \geq 3}$

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

どこ

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

そして

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

特に

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

経験的に、3に合同な素数はより多く、この「素数競争」では常に先行している。最初の逆転はx = 26861で起こる。^{[33] : 1–2 しかし、リトルウッドは1914年に[33] : 2}に、関数の符号の変化は無限にあること を示した。

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

そのため、競争のリードは無限に何度も入れ替わる。π _4,3 ( x ) がほとんどの場合リードしている現象は、チェビシェフのバイアスと呼ばれる。素数競争は他のモジュラスにも一般化され、多くの研究の対象となっている。Pál Turánは、aとbがcと互いに素である場合に、 π _{c , a} ( x )とπ _{c , b} ( x )が常に入れ替わるかどうかを尋ねた。^[34] GranvilleとMartinは徹底的な説明と調査を行っている。^[33]

もう一つの例は、素数の最後の桁の分布です。2と5を除いて、すべての素数は1、3、7、または9で終わります。ディリクレの定理によれば、漸近的に、すべての素数の25%がこれら4つの数字のいずれかで終わります。しかし、経験的証拠は、与えられた限界に対して、1または9で終わる素数よりも3または7で終わる素数の方がわずかに多い傾向があることを示しています（チェビシェフの偏りの生成）。^{[35]このことから、1と9は10を法とする}平方剰余であり、3と7は10を法とする平方非剰余であることがわかります。

素数定理は漸近的な結果である。これは極限の定義の直接的な結果としてπ ( x )の無効な境界を与える。すなわち、すべてのε > 0に対して、すべてのx > Sに対して、

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

しかし、π ( x )のより良い境界は知られており、例えばピエール・デュサールの

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

最初の不等式はx ≥ 599すべてに当てはまり、2番目の不等式はx ≥ 355991に当てはまります。^[36]

ドゥ・ラ・ヴァレー・プーサンによる証明は、次の境界を示唆している：すべてのε > 0に対して、すべてのx > Sに対して、

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

ε = 3の値はx ≥ 55に対して弱いが有用な境界を与える：^[37]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

ピエール・デュサートの論文では、より大きなxに対して有効なこのタイプの不等式のより強いバージョンが存在します。2010年後半にデュサートは以下を証明しました: ^[38]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

最初のものは下限の ε > 0条件を廃止することに注意してください。

素数定理の結果として、n番目の素数p _nの漸近表現が得られます。

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^[39]

より良い近似はチェザロ（1894）によるものである：^[40]

${\displaystyle p_{n}=nB_{2}(\log n),{\text{ where}}}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+11}{2x^{2}}}+o\left({\frac {1}{x^{2}}}\right).}$

再び考慮すると2 × 10 ¹⁷番目の素数8 512 677 386 048 191 063、末尾の誤差項がゼロであると仮定すると、推定値は8 512 681 315 554 715 386 ; 最初の 5 桁は一致しており、相対誤差は約 0.46 ppmです。

Cipolla (1902) ^{[41] [42]}は、これらが任意の次数で切り捨てられる無限級数の主要項であることを示し、

${\displaystyle B_{k}(x)=x+\log x-1-\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}{\frac {P_{i}(\log x)}{ix^{i}}}+O\left({\frac {(\log x)^{k+1}}{x^{k+1}}}\right),}$

ここで各P _{i は}次数多項式です。 ( P ₁ ( y ) = y − 2、P ₂ ( y ) = y ² − 6 y + 11、P ₃ ( y ) = y ³ − ⁠21/2⁠年² + 42年+ ⁠131/2⁠など。 ^[42] )

ロッサーの定理^[37]によれば、

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Dusart (1999) ^[43]はCesàro/Cipolla近似の形を使いながら最低次の定数項を変えてより厳しい境界を発見した。B k ( x ; C )_は上記と同じ関数だが、最低次の定数項がパラメータCに置き換えられている。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{0}(\log n;1)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{0}(\log n;0.9484)&&{\text{for }}n\geq 39017,{\text{ where}}\\B_{0}(x;C)\;&=\;x+\log x-C.\\p_{n}\;&>\;nB_{1}(\log n;2.25)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{1}(\log n;1.8)&&{\text{for }}n\geq 27076,{\text{ where}}\\B_{1}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-C}{x}}.\end{aligned}}}$

_{パラメータを}緩めることで、上限をより小さなnに拡張することができます。例えば、すべてのn≥20に対してpn < _nB1（logn ; 0.5）となります。^[44]

Axler (2019) ^[44]はこれを高次のレベルに拡張し、次のことを示した。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{2}(\log n;11.321)\quad {\text{for }}n\geq 2,{\text{ and }}\\p_{n}\;&<\;nB_{2}(\log n;10.667)\quad {\text{for }}n\geq 46\,254\,381,{\text{ where}}\\B_{2}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+C}{2x^{2}}}.\end{aligned}}}$

また、パラメータを緩めることによってnの上限を下げることができます。たとえば、n ≥ 3468の場合、 p _n < n B ₂ (log n ; 0)となります。

この表は、π ( x )の正確な値を2 つの近似値x / log xおよびli( x )と比較しています。近似値の差の列は最も近い整数に丸められていますが、「% 誤差」の列は丸められていない近似値に基づいて計算されています。最後の列x / π ( x )は、 xより下の 平均素数ギャップです。

π（10 ²⁴）の値はもともとリーマン予想を仮定して計算されたが、^[45]その後無条件に検証された。^[46]

素数定理の類似物として、有限体上の既約多項式の「分布」を記述するものがあり、その形式は古典的な素数定理の場合と驚くほど似ています。

正確に言うと、ある固定されたqに対してq個の元を持つ有限体F = GF( q )とし、次数がnに等しいF上の単項既約多項式の個数をN _nとする。つまり、次数が小さい多項式の積として表すことができない、 Fから係数を選んだ多項式を見ていることになる。この設定では、これらの多項式は素数の役割を果たしている。なぜなら、他のすべての単項多項式はそれらの積で構成されているからである。すると、次のことが証明できる。

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

x = q ⁿと置き換えると、右辺は

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

これにより、類推がより明確になります。n次の単項多項式はちょうどq ⁿ個存在するため（既約なものも含む）、これは次のように言い換えることができます。n次の単項多項式がランダムに選択された場合、それが既約である確率は約 ⁠1/ん⁠ .

リーマン予想の類似物を証明することもできる。

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

これらの命題の証明は古典的な場合よりもはるかに単純である。それは短い組み合わせ論的議論であり、^[47]次のように要約される。Fのn次拡大のすべての要素は、次数dがnを割り切る既約多項式の根である。これらの根を2つの異なる方法で数えると、次のことが証明される。

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

ここで、和はnのすべての約数 dについてである。メビウス反転は次式を得る。

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

ここで、μ ( k )はメビウス関数です。(この式はガウスにも知られていました。) 主な項はd = nのときに発生し、残りの項を制限することは難しくありません。「リーマン予想」のステートメントは、nの最大の真約数が⁠より大きくならないという事実に依存しています。ん/2⁠ .

• 定理の一般化に関する情報については、抽象解析数論を参照してください。
• 代数体における素イデアルへの一般化のためのランダウ素イデアル定理。
• リーマン予想

• Granville, Andrew (1995). 「Harald Cramér と素数の分布」(PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 : 12– 28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847 . doi :10.1080/03461238.1995.10413946.
• Hardy, GH ; Littlewood, JE (1916). 「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」. Acta Mathematica . 41 : 119–196 . doi : 10.1007/BF02422942 . S2CID  53405990.
• ハーディ、GH ;ライト、EM (2008) [第1版 1938]、数論入門、 DRヒースブラウンとJHシルバーマンによる改訂、アンドリュー・ワイルズによる序文付き（第6版）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-921985-8
• ナルキエヴィチ、ヴワディスワフ（2000）、素数論の発展：ユークリッドからハーディとリトルウッドまで、シュプリンガー数学モノグラフ、シュプリンガー出版社、doi：10.1007/978-3-662-13157-2、ISBN 978-3-540-66289-1、ISSN  1439-7382

• 「素数の分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• アントン・フェルケルによる素数表。
• 素数定理を視覚化した短いビデオ。
• MathWorldの素数公式と素数定理。
• 素数はいくつあるか? 2012-10-15 にWayback Machineでアーカイブ、The Gaps between Primes は Chris Caldwell、テネシー大学マーティン校で執筆。
• Tomás Oliveira e Silva による素数関数の表
• エベル、マヌエル、ポールソン、LC素数定理 (Isabelle/HOL での形式的証明の開発、形式的証明のアーカイブ)
• 素数定理: 「基本的な」証明 − Atle Selberg と Paul Erdős による素数定理の基本的な証明の解説 (www.dimostriamogoldbach.it/en/)