部分ごとの合計

数学において、部分和は数列の積の和を他の和に変換し、特定の種類の和の計算や（特に）推定を簡素化することが多い。これは1826年にこれを導入したニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで、アーベルの補題またはアーベル変換とも呼ばれる。 ^[1]

と が2つのシーケンスであると仮定します。 ${\displaystyle \{f_{k}\}}$${\displaystyle \{g_{k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).}$

前進差分演算子 を使用すると、より簡潔に次のように表すことができます。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}$

部分和は部分積分に類似しています。

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

またはアベルの和の公式：

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

別の言い方としては

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

これはセミマルチンゲールの部分積分公式に類似しています。

アプリケーションではほとんどの場合、シーケンスの収束を扱いますが、ステートメントは純粋に代数的であり、任意のフィールドで機能します。また、1 つのシーケンスがベクトル空間にあり、もう 1 つが関連するスカラー フィールドにある 場合にも機能します。

式は、これらのわずかに異なる形式のいずれかで与えられることがある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

これは、より一般的な規則の 特別なケース（）を表す。${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

どちらも最初の公式を繰り返し適用することで得られる。補助量はニュートン級数である。

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

そして

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

特定の（）結果は恒等式である ${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

ここで、は二項係数です。 ${\textstyle {n \choose k}}$

2 つの与えられた数列およびについて、次の級数の和を調べます。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$$

と定義すると、すべての ${\textstyle \displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$$${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$$

ついに${\textstyle \displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

このプロセスはアーベル変換と呼ばれ、 の収束のいくつかの基準を証明するために使用できます。 ${\displaystyle S_{N}}$

部分積分の公式は です。 ${\textstyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

境界条件のほかに、最初の積分に 2 つの乗算された関数が含まれていることがわかります。1 つは最終積分で積分され (になります)、もう 1 つは微分されます (になります)。 ${\displaystyle g'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

アーベル変換のプロセスも同様で、2 つの初期シーケンスの 1 つが加算され (になります)、もう 1 つが差分化されます (になります)。 ${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

• これはクロネッカーの補題を証明するために使用され、クロネッカーの補題は分散制約の下での大数の強法則のバージョンを証明するために使用されます。
• これは、最初の立方数の合計が最初の正の整数の合計の2乗に等しいというニコマコスの定理を証明するために使用できます。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• 部分和は、アーベルの定理やディリクレ検定を証明するためによく使用されます。
• この手法は、アーベルのテストを証明するためにも使用できます。が収束する級数であり、有界単調なシーケンスである場合、 は収束します。${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

アベルのテストの証明。部分和は となります 。 ここでa はの極限です。が収束するので、 はとは独立に、たとえば によって有界になります。 がゼロになるので、最初の 2 つの項もゼロになります。 3 番目の項はのコーシー条件によってゼロになります。 残りの和は の単調性によって有界になり 、 としてもゼロになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{n}-a}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle N\to \infty }$

上記と同じ証明を用いると、

1. 部分和は とは独立に有界な数列を形成する。${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$（合計は無限大に近づくにつれてゼロに近づく）${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

その後収束します。 ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

どちらの場合も、級数の合計は次の式を満たします。$${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$$

部分和（SBP）差分演算子は、通常、中心差分内部スキームと、対応する部分積分定式の動作を模倣する特定の境界ステンシルで構成されます。^{[3] [4]}境界条件は通常、同時近似項（SAT）手法によって課されます。^[5] SBP-SATの組み合わせは、境界処理のための強力なフレームワークです。この方法は、長時間シミュレーションに対する実証済みの安定性と高精度のために好まれています。

• 収束級数
• 発散シリーズ
• 部品ごとの統合
• チェザロ総括
• アーベルの定理
• アーベル和の公式

• アベル、ニールス・ヘンリック（1826年）。 「Untersuhungen uber die Reihe usw」。J. レーヌ・アンジェウ数学。 1 : 311–339。${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$