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乗法数論は、素数、因数分解、約数を扱う解析数論の一分野です。通常、様々な状況におけるこれらの対象を数えるための近似公式の開発に重点が置かれています。素数定理はこの分野における重要な成果です。乗法数論の数学主題分類は11Nxxです。
乗法数論は、主に算術関数の漸近推定を扱います。歴史的にこの分野は素数定理が中心であり、最初は定理の証明が試みられ、その後は誤差項の改良が行われました。除数関数d(n)の平均次数を推定するディリクレ除数問題や、 2 乗数の和として表される数の平均次数を推定するガウスの円問題も古典的な問題であり、ここでも誤差推定の改善が焦点となっています。
整数を法とする剰余類における素数の分布は、活発な研究分野である。等差数列における素数に関するディリクレの定理は、互いに素な剰余類には無限個の素数が存在することを示し、等差数列の素数定理は、素数が剰余類に漸近的に均等に分布することを示している。ボンビエリ・ヴィノグラドフの定理は、素数の分布の均等性をより正確に測定する。また、等差数列における最小の素数の大きさにも大きな関心が寄せられており、リニックの定理はその推定値を与えている。
双子素数予想、すなわち、 p + 2 も素数となるような素数pが無限に存在するという予想は、活発な研究の対象となっている。陳の定理は、 p + 2 が素数であるか、または 2 つの素数の積となるような素数pが無限に存在することを示している。
これらの手法は主に解析的整数論に属するが、初等的な手法、特に篩法も非常に重要である。大篩法と指数和は、通常、乗法的整数論の一部とみなされる。
素数の分布は、リーマンゼータ関数とリーマン予想の挙動と密接に関係しており、これらのテーマは数論的観点と複素解析的観点の両方から研究されている。
解析的整数論の大部分は乗法問題を扱っており、そのためほとんどの教科書には乗法整数論に関する章が含まれています。以下は、乗法問題を特に扱っている有名な教科書の例です。