ディオファントス方程式

数学において、ディオファントス方程式は、整数係数を持つ2 つ以上の未知数を持つ多項式方程式であり、整数解のみが対象となります。線形ディオファントス方程式は、それぞれ次数が1である 2 つ以上の単項式の合計である定数に等しくなります。指数ディオファントス方程式は、未知数が指数に現れる方程式です。

ディオファントス問題では、未知数よりも方程式の数が少なく、すべての方程式を同時に解く整数を求めます。このような方程式系は代数曲線、代数面、またはより一般的には代数集合を定義するため、その研究はディオファントス幾何学と呼ばれる代数幾何学の一部です。

ディオファントスという言葉は、3世紀のヘレニズム時代の数学者、アレクサンドリアのディオファントスに由来しています。ディオファントスはそのような方程式を研究し、代数に記号を導入した最初の数学者の一人でした。ディオファントスが始めたディオファントス問題の数学的研究は、現在ではディオファントス解析と呼ばれています。

個々の方程式は一種のパズルを提示し、歴史を通じて考察されてきましたが、ディオファントス方程式の一般理論（線形方程式や二次方程式の場合を超えて）の定式化は、20 世紀の成果でした。

次のディオファントス方程式では、w、x、y、zは未知数であり、その他の文字には定数が与えられています。

最も単純な線形ディオファントス方程式は、 a、b、cが整数として与えられた ときの形をとります 。解は次の定理によって記述されます。 $${\displaystyle ax+by=c,}$$

このディオファントス方程式は、c がaとbの最大公約数の倍数である場合に限り、 ( xとyは整数)解を持ちます。さらに、( x, y )が解である場合、他の解は( x + kv, y − ku ) の形式を持ちます。ここで、kは任意の整数、uとv はそれぞれaとb をaとbの最大公約数で割った商です。

証明: d がこの最大公約数である場合、ベズーの恒等式はae + bf = dとなる整数eとfの存在を主張します。c がdの倍数である場合、ある整数hに対してc = dhとなり、( eh, fh )が解となります。 一方、すべての整数xとyのペアに対して、 aとbの最大公約数d はax +を で割り切ります。 したがって、方程式に解がある場合、c はdの倍数でなければなりません。a = udかつb = vdである場合、すべての解( x, y )に対して、 ( x + kv, y − ku )が別の解である ことを示します。最後に、2 つの解が与えられて、 uとvが互いに素である ため、ユークリッドの補題 により、 v がx ₂ − x ₁を割り切ることが示され、したがって、両方が となる 整数k が存在することが示されます。 したがって、 これで証明が完了します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,}$$$${\displaystyle u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.}$$$${\displaystyle x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.}$$$${\displaystyle x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,}$$

中国剰余定理は、重要なクラスの線形ディオファントス方程式系を説明します。を k個の互いに素で1 より大きい整数、をk 個の任意の整数、N をその積とします。中国剰余定理は、次の線形ディオファントス方程式系には0 ≤ x < Nとなる解が 1 つだけ存在し、他の解はxにNの倍数を加えることで得られることを主張します。 ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$${\displaystyle n_{1}\cdots n_{k}.}$${\displaystyle (x,x_{1},\dots ,x_{k})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$$

より一般的には、すべての線形ディオファントス方程式系は、フィールド上の線形方程式系を解くために簡約された行階段形式を使用するのと似た方法で、その行列のスミス正規形を計算することによって解くことができます 。行列表記法を使用すると、すべての線形ディオファントス方程式 系は、 Aがm × nの整数行列、Xがn × 1 の列の未知数行列、C がm × 1 の列の整数行列 であるように記述できます。$${\displaystyle AX=C,}$$

Aのスミス正規形の計算により、それぞれ次元がm × mとn × nの2 つのユニモジュラ行列(つまり、整数に対して逆行列で、行列式が ±1 である行列) UとV が与えられ、この行列は 、ある整数k以下 のiに対してb _{i,i が}ゼロでなく、他のすべての要素がゼロであるような行列になります。したがって、解くべきシステムは次のように書き直すことができます。 y _{i を}V ⁻¹ Xの要素、d _{i を}D = UCの要素と 呼ぶと、次のシステムが得られます。 $${\displaystyle B=[b_{i,j}]=UAV}$$$${\displaystyle B(V^{-1}X)=UC.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}}$$

このシステムは、次の意味で与えられたシステムと同等です。整数xの列行列は、 By = Dとなる整数yの列行列に対してx = Vy である場合に限り、与えられたシステムの解です。

したがって、 i ≤ kの場合にb _{i,i が}d _{i を}割り切り、i > kの場合にd _i = 0となる場合にのみ、この系は解を持つことになります。この条件が満たされる場合、与えられた系の解は、 h _{k +1}、…、h _{n が}任意の整数である とき、次のようになります。 $${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$$

エルミート正規形は、線形ディオファントス方程式の解法にも使用できます。ただし、エルミート正規形は直接解を提供しません。エルミート正規形から解を得るには、いくつかの線形方程式を連続的に解く必要があります。それにもかかわらず、リチャード・ジッペルは、スミス正規形は「線形ディオファントス方程式を解くために実際に必要なものよりもいくらか多くなっています。方程式を対角形式に縮小する代わりに、エルミート正規形と呼ばれる三角形にするだけで済みます。エルミート正規形は、スミス正規形よりも計算がかなり簡単です。」と書いています。^[6]

整数線形計画法は、不等式も含む線形システムの整数解（ある意味で最適解）を見つけることです。したがって、線形ディオファントス方程式系はこの文脈では基本であり、整数計画法の教科書には通常、線形ディオファントス方程式系が取り上げられています。^[7]

同次ディオファントス方程式は、同次多項式によって定義されるディオファントス方程式である。このような方程式の典型は、フェルマーの最終定理の方程式である。

${\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

n個の不定元における同次多項式はn − 1次元の射影空間における超曲面を定義するので、同次ディオファントス方程式を解くことは射影超曲面の 有理点を見つけることと同じです。

同次ディオファントス方程式を解くことは、3 つの不定数値という最も単純な非自明なケースでも、一般的に非常に難しい問題です (不定数値が 2 つの場合、問題は有理数が別の有理数のd乗であるかどうかをテストすることと同等です)。この問題の難しさの証拠はフェルマーの最終定理 ( d > 2の場合、上記の方程式の整数解は存在しない) であり、解決されるまでに 3 世紀以上の数学者の努力が必要でした。

3 以上の次数の場合、最もよく知られている結果は、解が存在しないことを主張する定理 (フェルマーの最終定理など) か、解の数が有限であることを主張する定理 (ファルティングの定理など) です。

3次方程式については、実際に遭遇するほとんどすべての方程式に有効な一般的な解法があるが、すべての3次方程式に有効なアルゴリズムは知られていない。^[8]

2 次同次ディオファントス方程式は解くのが簡単です。標準的な解法は 2 つのステップで進みます。まず 1 つの解を見つけるか、解が存在しないことを証明する必要があります。解が見つかったら、すべての解が演繹されます。

解が存在しないことを証明するには、方程式をpを法として簡約すればよい。例えば、ディオファントス方程式は

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

には、自明な解(0, 0, 0)以外の解はありません。実際、x、 y、z を最大公約数で割ると、それらが互いに素であると想定できます。4 を法とする平方は、0 および 1 と合同です。したがって、等式の左辺は 0、1、または 2 と合同で、右辺は 0 または 3 と合同です。したがって、x、 y、z がすべて偶数で互いに素でない場合にのみ等式が得られます。したがって、唯一の解は自明な解(0, 0, 0)です。これは、原点を中心とする 半径 の円上には有理点が存在しないことを示しています。${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

より一般的には、ハッセ原理により、 2 次同次ディオファントス方程式に整数解があるかどうかを判定し、存在する場合は解を計算することができます。

非自明な整数解がわかっている場合は、他のすべての解を次の方法で生成できます。

させて

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

は同次ディオファントス方程式で、 は整数係数の二次形式（つまり、次数 2 の同次多項式）である。自明な解は、すべてがゼロとなる解である。 がこの方程式の非自明な整数解である場合、 はQによって定義される超曲面の有理点の同次座標である。逆に、 が この超曲面の有理点の同次座標で、が整数である場合、 はディオファントス方程式の整数解である。さらに、与えられた有理点を定義する整数解はすべて、次の形式のシーケンスである。 ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

ここでkは任意の整数、dは最大公約数である。${\displaystyle p_{i}.}$

したがって、ディオファントス方程式を解くことは、対応する射影超曲面の有理点を見つけることに完全に帰着します。 ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ここで、方程式の整数解をとります。Q は2 次多項式なので、Aを通る直線は、他の 1 点で超曲面と交差します。その直線が有理数である場合 (つまり、直線が有理数パラメータによって定義されている場合) に限り、その点は有理数です。これにより、Aを通る直線によって超曲面をパラメータ化することができ、有理数点は有理数直線から得られる点、つまりパラメータの有理数値に対応する点です。 ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

より正確には、次のように進めることができます。

指数を並べ替えることで、一般性を失うことなく、次のように仮定することができる。次に、次のように定義される アフィン超曲面を考えることで、アフィンの場合に移ることができる。${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

合理的な点がある

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).}$

この有理点が特異点、つまりRにおけるすべての偏微分がゼロである場合、 Rを通るすべての直線は超曲面に含まれ、円錐が存在します。変数変換

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

有理点は変更せず、qをn − 1個の変数を持つ同次多項式に変換します。この場合、この方法を変数の少ない方程式に適用することで問題を解決できます。

多項式q が線形多項式（非有理係数を持つ可能性あり）の積である場合、2 つの超平面が定義されます。これらの超平面の交差は有理平面であり、有理特異点を含みます。したがって、このケースは前の場合の特別な例です。

一般的なケースでは、Rを通る直線のパラメトリック方程式を考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

これをqに代入すると、 x ₁の 2 次多項式が得られます。これは、 x ₁ = r ₁の場合には 0 です。したがって、 x ₁ – r ₁で割り切れます。商はx _{1について線形であり、} x ₁を、整数係数を持つ2 つの 2 次以下の多項式の商として表すことができます。 ${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.}$

これを式に代入すると、 i = 1, …, n − 1に対して、 ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},}$

ここで、は整数係数を持つ最大 2 次多項式です。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

次に、同次ケースに戻る。i = 1, …, nについて、

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

の均質化であるこれらの整数係数の2次多項式は、 Qによって定義される射影超曲面のパラメータ化を形成します。 ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Qによって定義される射影超曲面の点が有理数であるためには、それが の有理値から得られる必要がある。 は同次多項式であるため、すべてのt _iに同じ有理数を掛けても点は変化しない。したがって、 は互いに素な整数であると仮定できる。したがって、ディオファントス方程式の整数解は、 i = 1, ..., nに対して、 ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

ここでkは整数、互いに素な整数、dはn個の整数の最大公約数である。${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

t _iが互いに素であるということは、 d = 1を意味すると期待できます。残念ながら、次のセクションで示すように、そうではありません。

方程式

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

は、おそらく研究された最初の2次同次ディオファントス方程式です。その解はピタゴラス数列です。これは単位円の同次方程式でもあります。このセクションでは、上記の方法を使用して、ピタゴラス数列を生成するためのユークリッドの公式を取得する方法を示します。

ユークリッドの公式を正確に求めるには、単位円の 点(−1, 0)に対応する解(−1, 0, 1)から始めます。この点を通る線は、その傾きによってパラメータ化できます。

${\displaystyle y=t(x+1).}$

これを円の方程式に当てはめると

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

一つは

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

x + 1で割ると、

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

これはxで簡単に解けます。

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

それは次の通りである

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

上で述べたように均質化すると、すべての解は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

ここで、kは任意の整数、sとtは互いに素な整数、d は3 つの分子の最大公約数です。実際、sとtが両方とも奇数の場合はd = 2、一方が奇数でもう一方が偶数の場合はd = 1 です。

プリミティブトリプルは、 k = 1かつs > t > 0となる解です。

この解の記述はユークリッドの公式と若干異なる。ユークリッドの公式はx 、 y、zがすべて正であるような解のみを考慮しており、 xとyの交換によって異なる2つの3つ組を区別していないためである。

ディオファントス分析で尋ねられる質問には次のようなものがあります。

1. 解決策はあるでしょうか?
2. 検査によって簡単に見つかる解決策以外に何か解決策はあるでしょうか?
3. 解は有限個あるのでしょうか、それとも無限個あるのでしょうか?
4. すべての解決策は理論上で見つかるのでしょうか?
5. 実際にソリューションの完全なリストを計算することはできますか?

これらの伝統的な問題は何世紀にもわたって未解決のまま放置されることが多く、数学者はそれらをパズルとして扱うのではなく、徐々にその深さを理解するようになりました（場合によっては）。

与えられた情報は、父親の年齢が息子の年齢の2倍より1小さく、父親の年齢を構成する数字AB が息子の年齢（つまりBA）では逆になっていることです。これにより、方程式10 A + B = 2(10 B + A ) − 1となり、したがって19 B − 8 A = 1となります。調べてみると、結果はA = 7、B = 3となり、したがってAB は73歳、BA は37歳になります。 AとB が10未満の正の整数である他の解は存在しないことは簡単に示せます。

娯楽数学の分野でよく知られている多くのパズルは、ディオファントス方程式につながります。例としては、大砲の弾の問題、アルキメデスの牛の問題、猿とココナッツの問題などがあります。

1637年、ピエール・ド・フェルマーは『算術』の余白に「立方体を2つの立方体に、または4乗を2つの4乗に、あるいは一般に2乗より大きいべき乗を2つの同程度のべき乗に分けることは不可能である」と走り書きした。より現代的な言葉で言えば、「方程式a ⁿ + b ⁿ = c ^{n は}、2より大きいnに対しては解を持たない」となる。続いてフェルマーは「私はこの命題の真に素晴らしい証明を発見したが、この余白には収まりきらない」と記した。しかし、この証明は数世紀にわたって数学者たちの手に負えず、フェルマーの発言はフェルマーの最終定理として有名になった。この定理は1995年になって初めてイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによって証明された。

1657 年、フェルマーはディオファントス方程式61 x ² + 1 = y ² ( 1000 年以上前にブラーマグプタが解いていた) を解こうとしました。この方程式は最終的に 18 世紀初頭にオイラーによって解かれ、オイラーは他のディオファントス方程式も数多く解きました。この方程式の正の整数での最小解はx = 226153980、y = 1766319049です (チャクラヴァラ法を参照)。

1900年、デイヴィッド・ヒルベルトは、すべてのディオファントス方程式が解けるかどうかを彼の10番目の基本問題として提唱した。1970年、ユーリ・マティヤセビッチは、ジュリア・ロビンソン、マーティン・デイビス、ヒラリー・パトナムの研究を基に、すべてのディオファントス方程式を解く一般的なアルゴリズムは存在しないことを証明し、この問題を否定的に解決した。

ディオファントス幾何学は、代数幾何学の技法を応用したもので、幾何学的な意味も持つ方程式を扱います。ディオファントス幾何学の中心的な考え方は、有理点、つまり多項式方程式または多項式方程式系の解、つまりKが代数的に閉じていない場合の所定の体 Kのベクトルという考え方です。

ディオファントス方程式を解く、あるいは解が存在しないことを証明する最も古い一般的な方法は、ピエール・ド・フェルマーによって提唱された無限降下法です。もう 1 つの一般的な方法は、すべての素数を法とするモジュラー演算を使用して解を求めるハッセの原理です。多くの改良が加えられたにもかかわらず、これらの方法ではほとんどのディオファントス方程式を解くことができません。

ディオファントス方程式を解くことの難しさは、 1900年にデイヴィッド・ヒルベルトによって設定されたヒルベルトの第10問題によって説明される。これは、整数係数を持つ多項式ディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを判断するアルゴリズムを見つけることである。マティヤセビッチの定理は、そのようなアルゴリズムは存在し得ないことを意味している。

20 世紀には、代数幾何学を使用する新しいアプローチが深く研究されました。実際、ディオファントス方程式は超曲面の方程式として考えることができ、方程式の解は整数座標を持つ超曲面の点です。

このアプローチは、最終的に、 1637 年頃に証明なしに述べられたフェルマーの最終定理を、 1994 年にアンドリュー ワイルズが証明することにつながった。これは、ディオファントス方程式を解くことの難しさを示すもう 1 つの例である。

無限ディオファントス方程式の例は次のようになります。 これは 「与えられた整数n を平方和、平方の 2 倍、平方の 3 倍などの和として表す方法は、何通りあるか」と表現できます。各nに対してこれを行う方法の数は、整数列を形成します。無限ディオファントス方程式は、シータ関数と無限次元格子に関連しています。この方程式は、任意の正のnに対して常に解を持ちます。^[9]これを次の方程式と比較してください。 これは、正のn に対して常に解を持つとは限りません。 $${\displaystyle n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,}$$$${\displaystyle n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,}$$

ディオファントス方程式に、指数として現れる追加の変数が 1 つ以上ある場合、それは指数ディオファントス方程式です。例を次に示します。

• ラマヌジャン・ナゲル方程式、2 ⁿ − 7 = x ²
• フェルマー・カタラン予想とビール予想の等式、指数に不等式制約のあるa ^m + b ⁿ = c ^k
• エルデシュ・モーザー方程式、1 ^k + 2 ^k + ⋯ + ( m – 1) ^k = m ^k

このような方程式の一般理論は存在せず、カタラン予想やフェルマーの最終定理などの特定のケースが取り組まれてきました。しかし、大部分はシュテルマーの定理などのアドホックな方法や試行錯誤によって解決されています。

• Kuṭṭaka、 2つの未知数を持つ線形ディオファントス方程式を解くためのAryabhataのアルゴリズム

• モーデル、LJ (1969)。ディオファントス方程式。純粋および応用数学。第30巻。アカデミックプレス。ISBN 0-12-506250-8.ZBL 0188.34503  .
• シュミット、ヴォルフガング M. (1991)。ディオファントス近似とディオファントス方程式。数学講義ノート。第 1467 巻。ベルリン: Springer - Verlag。ISBN 3-540-54058-X.ZBL0754.11020  。​
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986).指数ディオファントス方程式. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . ISBN 0-521-26826-5.ZBL0606.10011  。​
• スマート、ナイジェル P. (1998)。ディオファントス方程式のアルゴリズムによる解決。ロンドン数学協会学生テキスト。第 41 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-64156-X.ZBL0907.11001  。​
• スティルウェル、ジョン（2004）。数学とその歴史（第2版）。Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1。

• イザベル・バッハマコワ（1966年）。 「ディオファンテとフェルマー」。Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications。19 (4): 289–306。土井：10.3406/rhs.1966.2507。JSTOR  23905707。
• Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations . Moscow: Nauka 1972 [ロシア語]. ドイツ語訳: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. 英語訳: Diophantus and Diophantine Equations . Abe Shenitzer による翻訳、Hardy Grant の編集協力、Joseph Silverman による改訂。The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova、Izabella G.「ディオファントスからポアンカレまでの代数曲線の算術」Historia Mathematica 8 (1981)、393–416。
• Bashmakova、Izabella G.、Slavutin、EIディオファントスからフェルマーまでのディオファンティン分析の歴史。モスクワ: ナウカ 1984 [ロシア語]。
• Bashmakova, Izabella G. 「ディオファントス方程式と代数の進化」、アメリカ数学会翻訳147 (2)、1990 年、85 ～ 100 ページ。A. Shenitzer と H. Grant による翻訳。
• ディクソン、レナード・ユージン(2005) [1920]。数論の歴史。第2巻：ディオファントス解析。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-44233-4. MR  0245500. Zbl  1214.11002.
• Bogdan Grechuk (2024).多項式ディオファントス方程式: 体系的アプローチ、Springer。
• ラシェド、ロシュディ。クリスチャン・ハウゼル（2013）。Les "Arithmétiques" de Diophante。土井：10.1515/9783110336481。ISBN 978-3-11-033593-4。
• Rashed、Roshdi、Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abō Kāmil à Fermat、ベルリン、ニューヨーク : Walter de Gruyter。

• ディオファントス方程式。Wolfram ResearchのMathWorldより。
• 「ディオファントス方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Dario Alpern のオンライン計算機。2009 年 3 月 18 日閲覧