補助機能

数学において、補助関数は超越数論における重要な構成である。補助関数は、この数学の分野のほとんどの証明に登場し、多くの引数に対してゼロの値を取ったり、ある時点で高次のゼロを持つなど、特定の望ましい特性を持つ関数である。^[1]

補助関数は厳密に定義された種類の関数ではなく、明示的に構築されるか、少なくとも存在が示され、想定された仮説に矛盾するか、または問題の結果を証明する関数です。証明の過程で関数を作成して結果を証明することは、超越理論に固有の手法ではありませんが、「補助関数」という用語は通常、この分野で作成された関数を指します。

上述の命名規則により、補助関数は超越理論の最も初期の結果を見るだけでその起源まで遡ることができる。これらの最初の結果の 1 つは、超越数が存在するというリウヴィルの証明であり、彼はいわゆるリウヴィル数が超越数であることを示した。^[2] 彼は、これらの数が満たす超越基準を発見することでこれを行った。この基準を導くために、彼は一般的な代数数α から始めて、この数が必然的に満たすいくつかの特性を見つけた。この基準を証明する過程で彼が使用した補助関数は、単にα の最小多項式、つまりf (α) = 0となるような整数係数を持つ既約多項式fであった。この関数は、代数数 α が有理数p / qによってどの程度正確に推定できるかを推定するために使用できる。具体的には、α の次数dが少なくとも 2 である場合、彼は次のことを示した。

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}},}$

また、平均値定理を用いると、αに依存する定数、例えばc (α)が存在し、

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

これらの結果を組み合わせると、代数的数が満たさなければならない特性が得られます。したがって、この基準を満たさない数はすべて超越数である必要があります。

リウヴィルの著作における補助関数は非常に単純で、単に与えられた代数数で消える多項式です。この種の特性は、通常、補助関数が満たすものです。補助関数は、特定の点で消えるか非常に小さくなりますが、これは通常、補助関数が消えないか、結果を導き出すのに小さすぎることはないという仮定と組み合わされます。

もう一つの単純な初期の例は、フーリエによるeの無理数の証明である^{[3] 。ただし、使用されている表記法によってこの事実は通常は隠されている。フーリエの証明では}指数関数のべき級数を使用している。

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}.}$

このべき級数を、たとえばN + 1 項の後で切り捨てると、ある意味で関数e ^exに「近い」、次数N の有理係数を持つ多項式が得られます。特に、剰余によって定義される補助関数を見ると、次のようになります。

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

すると、この関数（指数多項式）は、 xに対して0 に近い小さな値を取るはずです。eが有理数の場合、 上記の式でx = 1 とすると、 R (1) も有理数であることがわかります。しかし、フーリエは、すべての可能な分母を消去することで、 R ( 1) が有理数ではあり得ないことを証明しました。したがって、 e は有理数ではありません。

エルミートはフーリエの研究を拡張し、関数e ^exを多項式ではなく有理関数、つまり2つの多項式の商で近似しました。特に、彼は多項式A ( x ) とB ( x ) を選択し、補助関数Rが次のように定義されるようにしました 。

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

エルミートは、 x  = 0 の周りで好きなだけ小さくすることができた。しかし、 e ^{r が}有理数であれば、R ( r ) は特定の分母を持つ有理数でなければならないが、エルミートはR ( r ) をそのような分母を持つには小さすぎる値にすることができ、矛盾が生じる。

e が実際に超越関数であることを証明するために、エルミートは関数e ^exだけでなく、関数e ^kxも整数k  = 1,..., mに対して近似することで研究をさらに進めました。ここで、彼はe が次数mの代数関数であると仮定しました。e kx^を整数係数で同じ分母を持つ有理関数、たとえばA _k ( x ) /  B ( x ) で近似することにより、補助関数R _k ( x ) を次のように 定義できます。

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

エルミートは、eが整数係数a ₀  +  a ₁ e  + ... +  a _m e ^m = 0の多項式を満たすと仮定して矛盾を指摘した。この式をB (1) で乗じると、次の式が成り立つことに気づいた。

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

右辺は整数なので、補助関数を推定し、0 < | R | < 1 であることを証明することで、必要な矛盾を導き出しました。

上で概説した補助関数はすべて明示的に計算して扱うことができます。20世紀にアクセル・トゥーとカール・ルートヴィヒ・ジーゲルが発見した画期的な発見は、これらの関数は必ずしも明示的に知る必要はなく、存在し、特定の特性を持つことがわかれば十分だということでした。鳩の巣原理を使用して、トゥー、そして後にジーゲルは、たとえば、多くの異なる点でゼロの値を取るか、より小さな点の集合で高次のゼロを取る補助関数の存在を証明しました。さらに、彼らは、関数をあまり大きくせずにそのような関数を構築できることを証明しました。^[4] 彼らの補助関数は、当時は明示的な関数ではありませんでしたが、特定の特性を持つ特定の関数が存在することを知って、その特性を使用して 19 世紀の超越証明を簡素化し、いくつかの新しい結果をもたらしました。^[5]

この方法は、アレクサンダー・ゲルフォンとテオドール・シュナイダーを含む他の多くの数学者によって採用され、彼らは独立してゲルフォン・シュナイダーの定理を証明するためにこの方法を使用しました。^[6] アラン・ベイカーも1960年代に対数の線型形式に関する研究でこの方法を使用し、最終的にはベイカーの定理を証明しました。^[7] 1960年代のこの方法の使用例のもう1つを以下に概説します。

β を方程式ax ³ + bx ³ = cのb/aの 3 乗根に等しくし、 m はm + 1 > 2 n /3 ≥ m ≥ 3を満たす整数であると仮定します。ここで、 nは正の整数です。

そしてそこには

${\displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

そのような

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).}$

補助多項式定理は、

${\displaystyle \max_{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}.}$

1960年代にセルジュ・ラングは、この非明示的な補助関数形式を使って結果を証明した。この定理は、エルミート・リンデマン定理とゲルフォン・シュナイダー定理の両方を意味する。^[8] この定理は、数体 Kと、高々ρ位の有理型関数f ₁ ,..., f _Nを扱っており、そのうち少なくとも2つは代数的に独立であり、これらの関数のいずれかを微分すると、結果はすべての関数の多項式になる。これらの仮定の下で、定理は、m個の異なる複素数ω ₁ ,...,ω _mがあり、 iとjのすべての組み合わせに対してf i (ω j )がKに含まれる場合、mは次のように_制限 さ_れる、と述べている 。 

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ].}$

結果を証明するために、ラングはf ₁、...、f _Nから 2 つの代数的に独立した関数、たとえばfとgを取り、 fとgの多項式Fである補助関数を作成しました。 fとg は明示的にはわかっていないため、この補助関数を明示的に述べることはできませんでした。しかし、ラングはシーゲルの補題を使用して、 m 個の複素数 ω ₁、...、ω _mで高次まで消えるようにF を作成する方法を示しました。この高次で消えるため、 Fの高次導関数はω _iの 1 つの小さなサイズの値を取ることが示されます。ここでの「サイズ」は、数の代数的特性を指します。最大モジュラス原理を使用して、ラングはFの導関数の絶対値を推定する別の方法も発見し、数のサイズとその絶対値を比較する標準的な結果を使用して、 mに関する主張された境界が保持されない限り、これらの推定値は矛盾することを示しました。

既存の補助関数を用いて数多くの成功を収めた後、1990年代にMichel Laurentは補間行列式の考え方を導入した。^[9] これらは交代行列式、つまり次の形式の行列の行列式である。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left(\varphi _{i}(\zeta _{j})\right)_{1\leq i,j\leq N}}$

ここで、 φ _{i は点 ζ j}の集合で補間される関数の集合である。行列式は行列の要素における単なる多項式なので、これらの補助関数は解析的な手段で研究するしかない。この方法の問題点は、行列を扱う前に基底を選択する必要があったことである。Jean-Benoît Bost による開発により、この問題はArakelov 理論^[10]の使用によって解消され、この分野の研究が進められている。以下の例は、このアプローチの概要を示している。

この方法のより簡単な応用の1つは、エルミート・リンデマン定理の実数版の証明である。すなわち、αが非ゼロの実数代数的数であれば、e ^αは超越数である。まず、kを何らかの自然数とし、nをkの大きな倍数とする。考慮される補間行列式は、 n ⁴ × n ⁴行列 の行列式Δである。

${\displaystyle \left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right).}$

この行列の行は 1 ≤ i ₁  ≤  n ⁴ / kおよび 1 ≤  i ₂  ≤  kでインデックス付けされ 、列は 1 ≤  j ₁  ≤  n ³および 1 ≤  j ₂  ≤  nでインデックス付けされます。したがって、行列内の関数はxおよびe ^xの単項式とその導関数であり、 k点 0,α,2α,...,( k  − 1)αで補間されます。 e ^{αが代数的であると仮定すると、} Q上のm次数体Q (α, e ^α )を形成し、次にΔに適切な分母と、体Q (α, e ^α )の埋め込みによるそのすべての像をCに乗算できます。代数的な理由から、この積は必然的に整数であり、ロンスキアンに関連する議論を使用すると、それがゼロでないことが示され、その絶対値は整数 Ω ≥ 1 になります。

行列の平均値定理のバージョンを使用すると、Ωの解析的な境界も得ることができ、実際、ビッグO記法を使用すると、

${\displaystyle \Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).}$

m の数はQ (α, e ^α )体の次数によって決まりますが、k は補間する点の数なので、自由に増やすことができます。そして、k  > 2( m  + 1)/3 になると、Ω → 0 となり、最終的に確立された条件 Ω ≥ 1 に矛盾します。したがって、e ^{α は}結局代数的ではありません。^[11]

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