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普遍代数（一般代数とも呼ばれる）は、特定の種類の代数構造ではなく、代数構造全般を研究する数学の分野である。例えば、群論や環論のように群や環を研究対象とするのではなく、普遍代数では、考えられる様々な種類の代数構造とその関係性を研究対象とする。
普遍代数では、代数（または代数構造）とは、集合AAに対する演算の集合のこと。
Aに対するn項演算は、 Aのn個の要素を受け取り、 Aの 1 つの要素を返す関数です。したがって、0 項演算 (またはヌル項演算) は、単にAの要素または定数として表すことができ、多くの場合、 aのような文字で表されます。1 項演算 (または単項演算) は、単にAからAへの関数であり、多くの場合、~ xのように引数の前に置かれた記号で表されます。2 項演算 (または二項演算) は、多くの場合、 x ∗ yのように引数の間に置かれた記号 (中置記法とも呼ばれる)で表されます。より高次の項数または指定されていない項数の演算は、通常、関数記号で表され、引数は括弧で囲まれ、コンマで区切られます。たとえば、f ( x , y , z ) またはf ( x 1 ,..., x n ) などです。代数について語る一つの方法は、それを特定のタイプの代数Ωと呼ぶことである。ここでΩは、代数の演算のアリティを表す自然数の順序付き列である。しかし、一部の研究者は、次のような無限演算も許容している。 ここで、Jは無限インデックス集合であり、これは完全束の代数理論における演算である。
演算が指定された後、代数は公理によってさらに定義されます。普遍代数では、公理はしばしば恒等式または等式法則の形をとります。 例として、二項演算の結合法則があり、これはx ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ zという式で与えられます。この公理は、集合Aのすべての要素x、y、およびzに対して成り立つことを意図しています。
恒等式によって定義される代数構造の集合を多様体または等式クラスと呼ぶ。
研究対象を品種に限定すると、以下のものが除外されます。
等式クラスの研究は、モデル理論の特殊な分野と見なすことができ、通常は演算のみを持つ構造（つまり、型は関数を表す記号を持つことができるが、等式以外の関係を表す記号は持たない）を扱い、これらの構造について語るために使用される言語は等式のみを使用する。
より広い意味での代数構造すべてがこの範囲に含まれるわけではありません。例えば、順序群は順序関係を含むため、この範囲には含まれません。
体というクラスは等式クラスではありません。なぜなら、すべての体法則を等式として記述できる型（または「シグネチャ」）が存在しないからです（体内のすべての非ゼロ要素に対して要素の逆元が定義されているため、型に逆元を追加することはできません）。
この制約の利点の1つは、普遍代数で研究される構造が、有限積を持つ任意の圏で定義できることである。例えば、位相群は位相空間の圏における群に他ならない。
数学における一般的な代数体系のほとんどは多様体の例であるが、通常の定義には量化や不等式が含まれることが多いため、必ずしも明白な形で多様体であるとは言えない。
例として、群の定義を考えてみましょう。通常、群は単一の二項演算∗によって定義され、以下の公理を満たします。
（著者によっては、xとyがAに属する場合、 x ∗ yもAに属するという「閉包」公理を用いる場合もあるが、ここでは∗を二項演算と呼ぶことで既にそれが暗黙のうちに示されている。）
この群の定義は、普遍代数の観点からは必ずしも適切ではありません。なぜなら、単位元と反転の公理は、普遍的に「すべての …」要素に対して成り立つ等式法則のみで述べられているのではなく、「…が存在する」という存在量化子も含まれているからです。群の公理は、二項演算∗に加えて、零項演算eと単項演算~（~ xは通常x -1 と表記される）を指定することで、普遍量化等式として表現できます。公理は次のようになります。
要約すると、一般的な定義は以下のとおりです。
一方、普遍代数の定義には次のものがある。
重要な点は、追加の演算は情報を追加するものではなく、群の通常の定義から一意に導き出されるものであるということです。通常の定義では単位元eが一意に指定されていませんでしたが、簡単な演習で、単位元 e は一意であり、各要素の逆元も同様に一意であることが示されます。
普遍代数の観点は圏論によく適合する。例えば、圏論で群対象を定義する場合、問題の対象が集合ではない場合もあるため、量化法則（個々の要素を参照する）ではなく、等式法則（一般的な圏で意味を持つ）を用いる必要がある。さらに、逆写像と恒等写像は圏における射として指定される。例えば、位相群では、逆写像は要素ごとに存在するだけでなく、連続写像（射）を与える必要がある。また、恒等写像が閉じた包含写像（コファイブレーション）であることを要求する著者もいる。
ほとんどの代数構造は、普遍代数の例である。
型Ωは固定されていると仮定する。すると、普遍代数には準同型像、部分代数、積という3つの基本的な構成が存在する。
2 つの代数AとBの間の準同型写像は、集合Aから集合Bへの関数h : A → Bであり、Aのすべての演算f Aと、それに対応するBのすべての演算f B (次数がnであると仮定) に対して、h ( f A ( x 1 , ..., x n )) = f B ( h ( x 1 ), ..., h ( x n )) が成り立つものです。(関数がどの代数からのものか文脈から明らかな場合は、 fの添え字を省略することがあります。) 例えば、eが定数 (ゼロ項演算) の場合、h ( e A ) = e Bとなります。~ が単項演算の場合、h (~ x ) = ~ h ( x ) となります。∗ が二項演算の場合、h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ) となります。以下同様です。準同型写像でできることのいくつか、および特定の特殊な種類の準同型写像の定義は、「準同型写像」の項に記載されています。特に、代数の準同型像h ( A ) を取ることができます。
Aの部分代数とは、 Aのすべての演算に関して閉じているAの部分集合のことである。ある代数構造の集合の積とは、座標ごとに定義された演算を持つ集合の直積のことである。
普遍代数は、統一的なアプローチに加え、深遠な定理や重要な例、反例も提供します。新しいクラスの代数の研究を始めようとする人々にとって、有用な枠組みとなります。普遍代数を用いることで、特定のクラスの代数のために考案された手法を、普遍代数の観点から（可能であれば）再定式化し、他のクラスの代数に適用した場合の解釈を行うことで、他のクラスの代数にも適用できるようになります。また、概念的な明確化ももたらします。JDH スミスが述べているように、「特定の枠組みでは複雑で難解に見えるものが、適切な一般的な枠組みでは単純で明白になることがある」のです。
特に、普遍代数はモノイド、環、格子などの研究に応用できます。普遍代数が登場する以前は、多くの定理（特に同型定理）がこれらのクラスごとに個別に証明されていましたが、普遍代数を用いることで、あらゆる種類の代数系に対して一度で証明することが可能になりました。
1956年にHigginsが発表した論文は、特定の代数システムの枠組みを構築した。[ 1 ]彼の1963年の論文は、部分演算を持つ代数についての議論で注目に値する。 [ 2 ]その典型的な例として、圏と群圏が挙げられる。さらに一般化したものとして、高次元代数がある。これは、幾何学的条件の下で定義される領域を持つ部分演算を持つ代数理論の研究と定義できる。その代表的な例として、さまざまな形式の高次元圏と群圏が挙げられる。
普遍代数は、制約充足問題（CSP）のための自然言語を提供する。CSPとは、関係代数Aと、その代数上の存在文ϕが与えられたとき、 ϕがAで満たされるかどうかを判定する、重要な計算問題のクラスを指す。代数Aは固定されていることが多いため、CSP Aは、インスタンスが存在文ϕのみである問題を指す。
すべての計算問題は、ある代数Aに対して CSP Aとして定式化できることが証明されている。[ 3 ]
例えば、n彩色問題は、代数({0, 1, ..., n −1}, ≠)のCSPとして表現できます。つまり、 n個の要素と単一の関係、不等式を持つ代数です。
普遍代数は、圏論の手法を用いて研究されてきた。このアプローチでは、演算のリストとそれらの演算が従う方程式を記述する代わりに、ローヴェア理論またはより一般的には代数理論として知られる特殊な種類の圏を用いて代数構造を記述することができる。あるいは、モナドを用いて代数構造を記述することもできる。この2つのアプローチは密接に関連しており、それぞれに利点がある。[ 4 ] 特に、すべてのローヴェア理論は集合の圏上のモナドを与え、集合の圏上の任意の「有限」モナドはローヴェア理論から生じる。しかし、モナドは特定の1つの圏（例えば集合の圏）内の代数構造を記述するのに対し、代数理論は（有限積を持つ）大きなクラスの任意の圏内の構造を記述する。
圏論におけるより最近の発展はオペラド理論 である。オペラドは、普遍代数に似た演算の集合であるが、変数を含む式の間でのみ等式が許され、変数の重複や省略は許されないという制約がある。[ 5 ]したがって、環は、あるオペラドのいわゆる「代数」として記述できるが、群はそうではない。なぜなら、法則gg −1 = 1は、左辺で変数gを重複させ、右辺でそれを省略するからである。最初は厄介な制約のように思えるかもしれないが、オペラドにはいくつかの利点がある。たとえば、環とベクトル空間の概念をハイブリッド化して結合代数の概念を得ることができるが、群とベクトル空間の概念を同様にハイブリッド化することはできない。[ 6 ]
もう一つの発展は部分代数であり、演算子は部分関数になり得る。特定の部分関数は、「本質的に代数的理論」として知られるローヴェア理論の一般化によっても扱うことができる。[ 7 ]
1898年に出版されたアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの著書『普遍代数論』において、普遍代数という用語は今日とほぼ同じ意味で用いられていた。ホワイトヘッドは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとオーガスタス・ド・モーガンをこの分野の創始者とし、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターが用語自体を造語したとしている。[ 9 ]： v
当時、リー代数や双曲四元数などの構造は、代数構造を結合法則を満たす乗法クラスを超えて拡張する必要性に注目を集めた。アレクサンダー・マクファーレンはレビューの中で、「この研究の主なアイデアは、いくつかの方法を統一することでも、それらを包含するように通常の代数を一般化することでもなく、むしろそれらのさまざまな構造を比較研究することである」と書いている。[ 10 ]当時、ジョージ・ブールの論理代数は通常の数代数と強い対比をなしていたため、「普遍的」という用語は緊張した感情を鎮めるのに役立った。
ホワイトヘッドの初期の研究は、ハミルトンによる四元数、グラスマンの拡張理論、そしてブールの論理代数を統一しようとするものであった。ホワイトヘッドは著書の中で次のように述べている。
しかし、ホワイトヘッドは一般的な成果を上げていなかった。この分野の研究は、ギャレット・バーコフとオイスタイン・オレが普遍代数に関する論文を発表し始めた1930年代初頭までほとんど進展がなかった。1940年代と1950年代のメタ数学と圏論の発展により、特にアブラハム・ロビンソン、アルフレッド・タルスキ、アンジェイ・モストフスキ、そして彼らの弟子たちの研究によって、この分野はさらに発展した。 [ 11 ]
1935年から1950年までの期間、ほとんどの論文は、自由代数、合同および部分代数束、準同型定理を扱ったバーコフの論文で示唆された方向性に沿って書かれた。数理論理学の発展により代数への応用が可能になったものの、その進展は緩慢であった。 1940年代にアナトリー・マルツェフが発表した成果は、戦争のために注目されなかった。1950年にケンブリッジで開催された国際数学者会議におけるタルスキの講演は、モデル理論的側面が主にタルスキ自身、そして陳忠昌、レオン・ヘンキン、ビャルニ・ヨンソン、ロジャー・リンドンらによって発展した新たな時代の幕開けとなった。
1950年代後半、エドワード・マルチェフスキ[ 12 ]は自由代数の重要性を強調し、マルチェフスキ自身とヤン・ミチェルスキ、ヴワディスワフ・ナルキエヴィチ、ヴィトルト・ニトカ、J.プウォンカ、S.シフィエルチコフスキ、K.ウルバニクらが自由代数の代数理論に関する50以上の論文を発表するに至った。
概論的な教科書は、1960年代にベルンハルト・ノイマン（1962年）、ポール・コーン（1965年）、ジョージ・グレーツァー（1967年）、 リチャード・S・ピアース（1968年）によって出版された。1963年のウィリアム・ローヴェアの論文を皮切りに、圏論の手法が普遍代数学において重要になってきた。[ 13 ]
