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数学と論理学において、演算は有限個の引数を持つ場合、すなわち入力値の数が有限である場合に有限演算と呼ばれる。同様に、無限演算とは入力値の数が無限である演算のことである。
標準的な数学では、演算は定義上有限です。したがって、これらの用語は通常、無限論理の文脈でのみ使用されます。
有限な議論とは、有限個の公理[ 1 ]から出発して、有限個の記号命題に変換できる議論のことである。言い換えれば、それは（すべての仮定を含めて）十分な大きさの紙に書き込める証明である。
対照的に、無限論理は無限に長い命題や証明を許容する論理を研究する。このような論理では、例えば存在量化子は無限選言から派生したものとみなすことができる。
20世紀初頭の論理学者たちは、「数学の真の基礎とは何か？」といった基礎論の問題を解決しようと努めた。その目的は、意味論を用いない完全に構文的な言語を用いて、すべての数学を書き直すことであった。デイヴィッド・ヒルベルト（幾何学について）の言葉を借りれば、「対象を椅子、テーブル、ビールジョッキと呼ぼうが、点、線、平面と呼ぼうが、問題ではない」。
有限性を強調したのは、人間の数学的思考は有限個の原理に基づいており、すべての推論は基本的に一つの規則、すなわちモーダス・ポネンスに従うという考えからである。このプロジェクトは、有限個の記号（基本的に数字の1、2、3、…、アルファベットの文字、および「+」、「⇒」、「（」、「）」などの特殊記号）を固定し、それらの記号で表現された有限個の命題（これを「基礎」（公理）とする）と、人間が結論を出す方法をモデル化する推論規則を与えることであった。これらの記号の意味論的解釈に関わらず、残りの定理は、独創性に頼ることなく、明示された規則のみを使用して形式的に導出されるはずである（これにより、数学は科学というより記号を使ったゲームのように見える）。この公理と規則から数学のすべての定理を演繹できることを証明するというのが、このプロジェクトの目的であった。この目的は論理主義として知られている。