アフィン変換

ユークリッド幾何学において、アフィン変換またはアフィニティ（ラテン語のaffinis（接続された）に由来）は、直線と平行性を維持するが、必ずしもユークリッド距離と角度を維持するわけではない幾何学的変換です。

より一般的には、アフィン変換はアフィン空間の自己同型です(ユークリッド空間は特定のアフィン空間です)。つまり、アフィン空間をそれ自体にマッピングする関数であり、アフィン部分空間の次元(つまり、点を点に、線を線に、平面を平面に、など) と平行線分の長さの比の両方を保存します。その結果、平行アフィン部分空間のセットは、アフィン変換後も平行のままになります。アフィン変換は、直線上の点間の距離の比は保存しますが、線間の角度や点間の距離を必ずしも保存するわけではありません。

X がアフィン空間の点集合である場合、 X上のすべてのアフィン変換は、 X上の線型変換とXの平行移動の合成として表すことができます。純粋な線型変換とは異なり、アフィン変換はアフィン空間の原点を維持する必要がありません。したがって、すべての線型変換はアフィンですが、すべてのアフィン変換が線型であるとは限りません。

アフィン変換の例には、平行移動、拡大縮小、相似、相似、反射、回転、双曲回転、せん断マッピング、およびそれらの任意の組み合わせと順序による合成が含まれます。

アフィン空間を射影空間の無限遠における超平面の補集合として見ると、アフィン変換は、その射影空間の射影変換であり、その超平面の補集合に制限され、無限遠における超平面を不変のままにします。

アフィン変換の一般化は、同じ体k上の 2 つの (潜在的に異なる) アフィン空間間のアフィン写像^[1] (またはアフィン準同型写像、アフィン写像) です。( X , V , k )と( Z , W , k )を2 つのアフィン空間とし、XとZ を点集合、VとW をそれぞれ体k上の関連するベクトル空間とします。写像f : X → Zがアフィン写像であるとは、X内のすべてのx, yに対してm _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y )となるような線型写像m _f  : V → Wが存在する場合です。^[2]

X を体 k上のアフィン空間とし、Vをそれに関連するベクトル空間とする。アフィン変換は、 Xからそれ自身への一対一写像 fであり、これはアフィン写像である。つまり、 VからVへの線型写像g が次の式で適切に定義されていることを意味する。ここで、通常どおり、2 点の減算は2 点目から 1 点目への自由ベクトルを表し、「適切に定義されている」とは、次のことを意味する。 ${\displaystyle g(yx)=f(y)-f(x);}$${\displaystyle yx=y'-x'}$${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

Xの次元が2以上の場合、 Xの半アフィン変換 fはXからそれ自身への全単射であり、次を満たす: ^[3]

1. Xの任意のd次元アフィン部分空間 Sに対して、f ( S )もXのd次元アフィン部分空間です。
2. SとT がXの平行アフィン部分空間である場合、f ( S )と f ( T )は平行です。

これら 2 つの条件はアフィン変換によって満たされ、「 f は平行性を維持する」という表現が正確に意味するところを表現します。

これらの条件は独立ではなく、2番目の条件は最初の条件から導かれる。^[4]さらに、体kに少なくとも3つの要素がある場合、最初の条件は次のように簡略化される。fは共線写像であり、つまり線を線に写像する。^[5]

アフィン空間の定義により、V はXに作用するので、X × Vのすべてのペアに対して、 Xの点yが関連付けられます。この作用を で表すことができます 。ここでは、 はVの元を表す 2 つの互換可能な表記であるという規則を使用します 。 Xの点c を固定すると、関数m _c  : X → V をm _c ( x ) = cx →で定義できます。任意のcに対して、この関数は 1 対 1 であるため、は で与えられる逆関数m _c ⁻¹  : V → Xを持ちます。これらの関数を使用して、次を定義することで、 X を(点cに関して) ベクトル空間に変換できます。^[6]${\displaystyle (x,\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y}$${\displaystyle {\vec {v}}={\textbf {v}}}$${\displaystyle m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)}$

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ }}X内のすべての }}x,y{\text{ に対して、}$そして
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ 任意の }}r{\text{ }}k{\text{ 内、および }}x{\text{ }}X 内において。}$

このベクトル空間は原点cを持ち、形式的にはアフィン空間Xと区別する必要がありますが、通常は同じ記号で表し、原点を指定した後にベクトル空間であることを述べます。この識別により、点をベクトルとして見ることができ、その逆も可能です。

Vの任意の線形変換 λに対して、関数L ( c , λ ) : X → Xを次のように 定義できます。

${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$

このときL ( c , λ )は点cを固定したXのアフィン変換となる。^{[7]これは原点}cを持つベクトル空間として見たXの線型変換である。

σ をXの任意のアフィン変換とする。 X内の点c を選び、ベクトルT _wによるXの平行移動を考える。平行移動はアフィン変換であり、アフィン変換の合成はアフィン変換である。このcの選択に対して、 Vの唯一の線形変換λ が存在し、^[8]${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$

${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$

つまり、Xの任意のアフィン変換は、 Xの線形変換（ベクトル空間として見たもの）とXの変換の組み合わせです。

このアフィン変換の表現は、しばしばアフィン変換の定義としてとらえられる（原点の選択は暗黙的である）。^{[9] [10] [11]}

上で示したように、アフィン写像は2つの関数、すなわち平行移動と線形写像の合成である。通常のベクトル代数では、線形写像を表すために行列の乗算を使用し、平行移動を表すためにベクトルの加算を使用する。形式的には、有限次元の場合、線形写像が可逆行列による乗算として表され、平行移動がベクトルの加算として表される場合、ベクトルに作用するアフィン写像は次のように表すことができる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

拡張行列と拡張ベクトルを使用すると、単一の行列乗算を使用して変換と線形マップの両方を表すことができます。この手法では、すべてのベクトルの末尾に「1」を追加し、すべての行列の下部にゼロの行を追加し、右側に列（変換ベクトル）を追加し、右下隅に「1」を追加する必要があります。が行列の場合、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$

は次のものと同等である

${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

上記の拡張行列は、アフィン変換行列と呼ばれます。一般的なケースでは、最後の行ベクトルが に制限されていない場合、行列は射影変換行列になります（射影変換 を実行するためにも使用できるため）。 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]}$

この表現は、すべての可逆なアフィン変換の集合を、 との半直積として表します。これは、関数の合成操作による群であり、アフィン群と呼ばれます。 ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

通常の行列ベクトルの乗算では、常に原点が原点にマッピングされるため、原点が必ず他の点にマッピングされるような変換を表すことはできません。すべてのベクトルに追加の座標「1」を付加することで、マッピングする空間を、追加次元を持つ空間のサブセットと見なすことができます。その空間では、元の空間は、追加座標が 1 であるサブセットを占めます。したがって、元の空間の原点は にあります。高次元空間の線形変換 (具体的には、せん断変換) によって、元の空間内で変換を行うことができます。高次元空間の座標は、同次座標の例です。元の空間がユークリッド である場合、高次元空間は実射影空間です。 ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$

同次座標を使用する利点は、それぞれの行列を乗算することで、任意の数のアフィン変換を 1 つに組み合わせることができることです。この特性は、コンピューター グラフィックス、コンピューター ビジョン、ロボット工学で広く使用されています。

平面上で非退化三角形を定義する 3 つの点、または 3 次元空間で非退化四面体を定義する 4 つの点、または一般にn次元空間で非退化単体を定義するn + 1 個の点x ₁、...、x _{n +1があるとします。対応する目的の点}y ₁、...、y _{n +1}があるとします。これらの新しい点は、任意の数の次元を持つ空間に存在することができます。(さらに、新しい点は互いに異なる必要はなく、非退化単体を形成する必要もありません。)アフィン変換を実現する 一意の拡張行列M は、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

アフィン変換では次のものが保存されます。

1. 点間の共線性: 同じ線上にある 3 つ以上の点 (共線点と呼ばれる) は、変換後も共線性を保ちます。
2. 平行性: 2 つ以上の平行な線は、変換後も平行のままです。
3. 集合の凸性：凸集合は変換後も凸であり続ける。さらに、元の集合の端点は変換された集合の端点に写像される。^[12]
4. 平行線分の長さの比: 点と、およびで定義される別個の平行線分について、との比はとの比と同じです。${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{4}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. 重み付けされた点の集合の重心。

アフィン変換は逆変換なので、その行列表現に現れる正方行列も 逆変換である。したがって、逆変換の行列表現は ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}$

可逆なアフィン変換（アフィン空間からそれ自身への変換）はアフィン群を形成します。アフィン群は次数の一般線型群を部分群として持ち、それ自体は次数の一般線型群の部分群です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

相似変換は、スカラーと直交行列 の積である部分群 を形成します。たとえば、アフィン変換が平面 に作用し、の行列式が 1 または −1 の場合、変換は等面積写像です。このような変換は、等アフィン群と呼ばれる部分群を形成します。^[13]等アフィンかつ相似である変換は、ユークリッド距離でとられた平面の等長変換です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

これらの各グループには、方向保存または正のアフィン変換のサブグループがあります。つまり、 の行列式が正であるものです。最後のケースでは、これは 3D では剛体変換(適切な回転と純粋な平行移動) のグループです。${\displaystyle A}$

固定点がある場合は、それを原点としてとらえることができ、アフィン変換は線形変換になります。これにより、変換の分類と理解が容易になります。たとえば、変換を特定の軸に対する特定の角度の回転として記述すると、変換を平行移動と回転の組み合わせとして記述するよりも、変換の全体的な動作が明確になります。ただし、これはアプリケーションとコンテキストによって異なります。

2 つのアフィン空間間のアフィン写像は、ベクトル (つまり、空間の点間のベクトル) に線形に作用する点上の写像です。記号では、任意の点のペアに対して、次の線形変換を決定します。 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$

または

${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}$。

この定義は、次のように他のいくつかの方法で解釈できます。

原点が選択され、 がその像を表す場合、任意のベクトル に対して次のようになります。 ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))}$。

原点も選択すると、これはを送るアフィン変換として分解できる。すなわち、 ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle O\mapsto O'}$

${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))}$、

続いてベクトルによる変換が行われます。 ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$

結論としては、直感的には、変換と線形マップから構成されるということです。 ${\displaystyle f}$

同じ体上の2つのアフィン空間 とが与えられたとき、関数がアフィン写像となるのは、の任意 の重み付き点の族に対して、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1}$、

我々は^[14]

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}$。

つまり、重心を保存します。 ${\displaystyle f}$

数学用語としての「アフィン」という言葉は、オイラーの1748年の著書『無限解析入門』の中で曲線の接線に関連して定義されている。^[15] フェリックス・クラインは「アフィン変換」という用語をメビウスとガウスに帰している。^[10]

デジタル画像処理への応用において、アフィン変換はゴムシートに印刷し、シートの端を平面に平行に伸ばすのに似ています。この変換では、移動したピクセルの値を近似するために強度補間を必要とするピクセルを再配置します。画像処理アプリケーションでは、画像変換の標準として双三次補間が使用されています。アフィン変換は、次の例に示すように、画像を拡大縮小、回転、平行移動、ミラーリング、およびシアーを行います。^[16]

アフィン変換は、2 枚以上の画像を整列させる (登録する) 登録プロセスに適用できます。画像登録の例としては、複数の画像をつなぎ合わせて作成したパノラマ画像の生成が挙げられます。

アフィン変換では平行線が保持されます。ただし、次の例に示すように、伸縮変換とせん断変換では形状が歪んでしまいます。

これは画像のワーピングの例です。ただし、アフィン変換では曲面への投影や放射状の歪みは実現できません。

2 つの実次元におけるアフィン変換には次のものがあります。

• 純粋な翻訳、
• 特定の方向の線（必ずしも垂直ではない）に対する拡大縮小と、拡大縮小の方向だけではない平行移動の組み合わせ。「拡大縮小」を一般的な意味でとらえると、スケール係数がゼロ（投影）または負の場合も含まれます。後者には反射が含まれ、平行移動と組み合わせると、すべり反射が含まれます。
• 回転と相似性、平行移動を組み合わせたもの
• 相似性と平行移動を組み合わせたシアーマッピング、または
• 相似性と変換を組み合わせたスクイーズ マッピング。

ユークリッド平面の一般的なアフィン変換を視覚化するために、ラベルの付いた平行四辺形 ABCDとA′B′C′D′を取ります。どの点を選択しても、AからA′へ、および各頂点も同様に平面のアフィン変換Tが存在します。 ABCD の面積が 0 である退化したケースを除外すると、そのようなアフィン変換T は1 つだけ存在します。 ABCDに基づいて平行四辺形のグリッド全体を描くと、任意の点PのイメージT ( P ) は、 T ( A ) = A′、線分ABに適用されたTはA′B′、線分ACに適用されたTはA′C′、およびT がAに基づくベクトルのスカラー倍数であることに注意することで決定されます。 [ A、E、Fが同一直線上にある場合、長さ( AF )/長さ( AE )の比は、長さ( A ′ F ′)/長さ( A ′ E ′)に等しくなります。] 幾何学的に、 T はABCDに基づくグリッドをA′B′C′D′に基づくグリッドに変換します。

アフィン変換は長さや角度を考慮せず、面積を定数倍する。

A′B′C′D′の面積/ ABCDの面積。

特定のT は直接的(方向を尊重) または間接的(方向を逆に)のいずれかであり、これは符号付き領域への影響 (たとえば、ベクトルの外積によって定義される)によって決定されます。

およびにおけるおよびの関数は、まさに実数直線のアフィン変換です。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle m\neq 0}$

では、左に示す変換は次に示すマップを使用して実行されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$

元の三角形 (赤色) の 3 つの頂点を変換すると、新しい三角形 (青色) を形成する 3 つの新しい点が生成されます。この変換により、元の三角形が歪んだり移動したりします。

実際、すべての三角形はアフィン変換によって互いに関連しています。これはすべての平行四辺形にも当てはまりますが、すべての四辺形に当てはまるわけではありません。

• アナモルフォーシス– アフィン変換の芸術的応用
• アフィン幾何学
• 3D投影
• ホモグラフィ
• フラット（幾何学）
• ベント関数

• ベルガー、マルセル（1987）、幾何学I、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
• ブランナン、デイビッド A.; エスプラン、マシュー F.; グレイ、ジェレミー J. (1999)、『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6
• 野水 勝美;佐々木晋 (1994)、アフィン微分幾何学(新版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
• クライン、フェリックス（1948）[1939]、高度な観点からの初等数学：幾何学、ドーバー
• サミュエル、ピエール（1988）、射影幾何学、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-96752-4
• シャープ、RW (1997)。微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-94732-9。
• スナッパー、エルンスト; トロイヤー、ロバート J. (1989) [1971]、計量アフィン幾何学、ドーバー、ISBN 978-0-486-66108-7
• 万哲賢（1993）『有限体上の古典群の幾何学』 Chartwell-Bratt、ISBN 0-86238-326-9

• ウィキメディア・コモンズのアフィン変換に関連するメディア
• 「アフィン変換」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 幾何学的演算: アフィン変換、R. Fisher、S. Perkins、A. Walker、E. Wolfart。
• ワイスタイン、エリック W.「アフィン変換」。マスワールド。
• アフィン変換(Bernard Vuilleumier 著、Wolfram デモンストレーション プロジェクト)。
• MATLAB によるアフィン変換