ホモグラフィ

射影幾何学において、ホモグラフィとは、射影空間の同型性であり、射影空間が派生するベクトル空間の同型性によって誘導される。 ^[1]これは直線を直線に写す全単射であり、したがって共線化である。一般に、共線化の中にはホモグラフィではないものがあるが、射影幾何学の基本定理によれば、少なくとも2次元の実射影空間の場合はそうではないとされている。同義語には、射影性、射影変換、射影共線化などがある。

歴史的に、ホモグラフィ（および射影空間）はユークリッド幾何学における遠近法と射影を研究するために導入され、語源的にはおおよそ「相似描画」を意味するホモグラフィという用語はこの時代に遡ります。19 世紀末には、射影空間の正式な定義が導入され、無限遠点と呼ばれる新しい点を追加することでユークリッド空間とアフィン空間が拡張されました。「射影変換」という用語は、これらの抽象的な構成に由来しています。これらの構成は、同等であることが示された 2 つのクラスに分類されます。射影空間は、特定の体上のベクトル空間の線の集合として構成できます（上記の定義はこのバージョンに基づいています）。この構成により、射影座標の定義が容易になり、ホモグラフィの研究に線型代数のツールを使用できるようになります。別のアプローチは、明示的に体を伴わない公理のセットを通じて射影空間を定義することです（入射幾何学、合成幾何学も参照）。この文脈では、共線性はホモグラフィよりも定義が容易であり、ホモグラフィは特定の共線性として定義されるため、「射影共線性」と呼ばれます。

簡潔にするために、特に断りのない限り、この記事で扱う射影空間は (可換)体上で定義されているものとします。同様に、パップスの六角形定理とデザルグの定理も成り立つものとします。結果の大部分は成り立つか、またはこれらの定理が成り立たない射影幾何学に一般化できる可能性があります。

歴史的に、ホモグラフィの概念は、視覚的な遠近法、具体的には異なる視点から見た 2 つの平面オブジェクトの 外観の違いを理解、説明、研究するために導入されました。

3次元ユークリッド空間において、点O (中心)からOを含まない平面Pへの中心射影は、点A を直線OAと平面Pの交点 (存在する場合) に送る写像です。点AがOを通りPに平行な平面に属する場合、射影は定義されません。射影空間の概念は、もともとユークリッド空間を拡張することによって、つまり無限遠点を追加することによって、 O以外のすべての点の射影を定義するために導入されました。

O を含まない別の平面Qが与えられた場合、上記の投影のQへの制限は透視性と呼ばれます。

これらの定義では、透視性は部分関数に過ぎませんが、射影空間に拡張すると全単射になります。したがって、この概念は通常、射影空間に対して定義されます。この概念は、次のように、 任意の体 上の任意の次元の射影空間に簡単に一般化できます。

n次元の2 つの射影空間PとQ が与えられたとき、透視性はPからQへの全単射であり、これはPとQ をn + 1次元の射影空間Rに埋め込み、 Qへの中心射影をPに制限することによって得られます。

f がPからQへの透視図であり、g がQからPへの異なる中心を持つ透視図である場合、 g ⋅ f はPからそれ自身へのホモグラフィであり、 Pの次元が少なくとも 2 のとき、中心共線化と呼ばれます。 (下記の § 中心共線化 と透視図 § 透視共線化 を参照してください。)

もともと、ホモグラフィは有限個の視点の合成として定義されていました。 ^[2]この定義が、序論で概説され、以下で詳述されるより代数的な定義と一致することは、射影幾何学の基本定理（下記参照）の一部です。

体K上のn次元の射影空間P ( V )は、 n + 1次元のKベクトル空間V内の原点を通る直線の集合として定義できます。 Vの基底が固定されている場合、Vの点はK ^{n +1}の点( x ₀、...、x _n )で表すことができます。 V内の直線であるP( V )の点は、この直線の任意の非ゼロ点の座標で表すことができ、これを射影点の 同次座標と呼びます。

同じ次元の2 つの射影空間 P( V ) と P( W ) が与えられたとき、ホモグラフィはベクトル空間の同型f  : V → Wによって誘導されるP( V ) から P( W ) への写像です。このような同型は、 fの線形性により、P( V ) から P( W )への全単射を誘導します。このような 2 つの同型fとg は、 g = afとなるKの非ゼロ元aが存在する場合のみ、同じホモグラフィを定義します。

これは、同次座標で次のように記述できます。ホモグラフィφ は、特異でない( n +1) × ( n +1)行列[ a _{i , j} ]で定義され、ホモグラフィの行列と呼ばれます。この行列は、 Kの非ゼロ要素による乗算まで定義されます。点の同次座標[ x ₀  : ... : x _n ]と、 φによるその像の座標[ y ₀  : ... : y _n ]は、次のように関連付けられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}&=a_{0,0}x_{0}+\dots +a_{0,n}x_{n}\\&\vdots \\y_{n}&=a_{n,0}x_{0}+\dots +a_{n,n}x_{n}.\end{aligned}}}$

射影空間が無限遠点をアフィン空間に追加することによって定義される場合（射影完備化）、前述の式はアフィン座標で次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&={\frac {a_{1,0}+a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\\&\vdots \\y_{n}&={\frac {a_{n,0}+a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\end{aligned}}}$

これは、次のセクションのホモ​​グラフィック関数の表現を一般化します。これは、分母が 0 である 超平面の外側でのみ定義される、アフィン空間間の部分関数のみを定義します。

体 K上の射影直線は、Kと「無限遠点」と呼ばれる点の和集合と同一視され、∞で表記される（射影直線を参照）。射影直線のこの表現では、ホモグラフィは写像である。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},{\text{ ただし }}ad-bc\neq 0,}$

これらはホモグラフィック関数または線形分数変換と呼ばれます。

リーマン球面と同一視できる複素射影直線の場合、ホモグラフィはメビウス変換と呼ばれる。これは、リーマン球面の向きを保存し共形となる全単射と正確に一致する。^[3]

共線化の研究において、射影直線の場合は次元が小さいため特殊である。直線を孤立した射影空間として見ると、射影直線上の点の任意の順列は共線化である^[4]。なぜなら、すべての点の集合は共線的だからである。しかし、射影直線が高次元の射影空間に埋め込まれている場合、その空間の幾何学的構造を使用して、直線に幾何学的構造を課すことができる。したがって、合成幾何学では、射影直線のホモグラフィと共線化は、高次元の空間の共線化とホモグラフィの直線への制限によって得られるものと考えられる。これは、射影幾何学の基本定理 (以下を参照) が 1 次元の設定でも有効であることを意味する。射影直線のホモグラフィは、マッピングがクロス比を保存することを主張することによって適切に定義することもできる。^[5]

n次元の射影空間の射影フレームまたは射影基底は、 n + 2個の点の順序付き集合であり、どの超平面もn + 1個の点を含まない。射影フレームは単体と呼ばれることもあるが^[6]、n次元の空間の単体は最大でn + 1個の頂点を持つ。

このセクションでは可換体K上の射影空間について考察しますが、ほとんどの結果は分割環上の射影空間に一般化できます。

P ( V ) をn次元の射影空間とし、V を n + 1 次元の K ベクトル空間とし、p : V ∖ {0} → P  ( V )を非ゼロベクトルをそれを含むベクトル線に写す標準射影とする。

P ( V )のすべてのフレームに対して、 Vの基底e ₀、...、e _{n が}存在し、そのフレームは( p ( e ₀ )、...、p ( e _n )、p ( e ₀ + ... + e _n ))であり、この基底は、そのすべての要素をKの同じ非ゼロ要素で乗算するまで一意です。逆に、e ₀、...、e _{n が}Vの基底である場合、( p ( e ₀ )、...、p ( e _n )、p ( e ₀ + ... + e _n ))はP ( V )のフレームです。

したがって、2つのフレームが与えられた場合、最初のフレームを2番目のフレームに写像するホモグラフィは1つだけ存在する。特に、フレームの点を固定する唯一のホモグラフィは恒等写像である。この結果は、合成幾何学（射影空間が公理によって定義される）では非常に困難である。これは射影幾何学の第一基本定理と呼ばれることもある。^[7]

すべてのフレーム( p ( e ₀ ), ..., p ( e _n ), p ( e ₀ + ... + e _n )) では、同次座標とも呼ばれる射影座標を定義できます。すべての点はp ( v )と記述できます。このフレーム上のp ( v )の射影座標は、ベース( e ₀ , ..., e _n )上のvの座標です。フレームもp ( v ) も変更せずにe _iとv を変更すると、射影座標にKの同じ非ゼロ要素が乗算されることは、簡単に確認できます。

射影空間P _n ( K ) = P ( K ^{n +1} )には、K ^{n +1}の標準基底( 1 に等しい 1 つの非ゼロ要素のみを持つ要素で構成される) のpによる像と(1, 1, ..., 1)で構成される標準フレームがあります。この基底では、 p ( v )の同次座標は、単にタプルvの要素 (係数) です。同じ次元の別の射影空間P ( V )とそのフレームFを考えると、 P _n ( K )の標準フレームへのホモグラフィhマッピングFは 1 つだけ存在します。フレームF上の点aの射影座標は、 P _n ( K )の標準フレーム上のh ( a )の同次座標です。

上のセクションでは、ホモグラフィは線型代数によって定義されています。総合幾何学では、ホモグラフィは伝統的に、中心共線化と呼ばれる 1 つまたは複数の特殊なホモグラフィの合成として定義されます。2 つの定義が同等であることは、射影幾何学の基本定理の一部です。

n ≥ 2次元の射影空間Pにおいて、Pの共線化はPからPへの全単射であり、直線を直線上に写像する。中心共線化（伝統的にはこれらはパースペクティビティと呼ばれていたが、^[8]この用語は別の意味を持つため紛らわしい場合がある。パースペクティビティを参照）はPからPへの全単射αであり、 αによって点ごとに固定された超平面H（αの軸と呼ばれる）と、 αによって線ごとに固定された点O（αの中心と呼ばれる）が存在する（Oを通る任意の直線はαによってそれ自身に写像されるが、必ずしも点ごとには固定されない）。^[9]中心共線化には 2 種類ある。エレーションは中心が軸に接する中心共線化であり、ホモロジーは中心が軸に接しない中心共線化である。中心共線は、その中心、軸、および中心Oとは異なり軸に属さない任意の点 P の像 α ( P )によって一意に定義されます。(他の任意の点Qの像α ( Q ) は、 OとQによって定義される線とα ( P )を通る線との交点、およびPとQによって定義される線と軸との交点です。)

中心共線は、次元nの固有空間を持つ (n+1) × (n+1) 行列によって定義されるホモグラフィです。行列に別の固有値があり、対角化可能な場合はホモロジーです。すべての固有値が等しく、行列が対角化できない場合はイレーションです。

中心共線性の幾何学的観点は、射影平面で最も簡単に理解できます。中心共線性αが与えられたとき、中心O を通らない直線 ℓと、αによるその像ℓ ′ = α (ℓ)を考えます。R = ℓ ∩ ℓ ′と設定すると、αの軸はR を通る直線Mになります。αによる ℓ の任意の点Aの像は、 OAと ℓ ′の交点です。ℓに属さない点Bの像B ′ は、次のように構成できます。S = AB ∩ Mとすると、B ′ = SA ′ ∩ OBとなります。

2つの中心共線性の合成は、一般的にはホモグラフィではあるが、中心共線性ではない。実際、すべてのホモグラフィは有限数の中心共線性の合成である。総合幾何学では、射影幾何学の基本理論の一部であるこの性質は、ホモグラフィの定義として採用されている。^[10]

ホモグラフィ以外にも共線化があります。特に、体Fの任意の体自己同型 σ は、点のすべての同次座標(射影フレーム上)にσ を適用することにより、F上のすべての射影空間の共線化を誘導します。これらの共線化は、自己同型共線化と呼ばれます。

射影幾何学の基本定理は、次の 3 つの定理から構成されます。

1. 射影空間Pの 2 つの射影フレームが与えられた場合、最初のフレームを 2 番目のフレームにマッピングするPのホモグラフィは 1 つだけ存在します。
2. 射影空間Pの次元が2以上の場合、Pの共線化はいずれも自己同型共線化とホモグラフィの合成となる。特に、実数上では、次元が2以上の射影空間の共線化はいずれもホモグラフィとなる。^[11]
3. すべてのホモグラフィは有限個の視点の合成です。特に、暗黙の射影空間の次元が 2 以上の場合、すべてのホモグラフィは有限個の中心共線化の合成です。

射影空間が公理（総合幾何学）によって定義される場合、第 3 の部分は単なる定義です。一方、射影空間が線型代数によって定義される場合、第 1 の部分は定義の簡単な系です。したがって、総合幾何学における第 1 の部分の証明と、線型代数による第 3 の部分の証明は、どちらも射影空間を定義する 2 つの方法の同値性の証明の基本的なステップです。

すべてのホモグラフィには逆写像があり、 2 つのホモグラフィの合成は別の写像なので、与えられた射影空間のホモグラフィは群を形成します。たとえば、メビウス群は任意の複素射影直線のホモグラフィ群です。

同じ次元の同じ体上のすべての射影空間は同型であるため、そのホモグラフィ群についても同様です。したがって、それらは複数の空間に作用する単一の群と見なされ、特定の射影空間ではなく、次元と体のみが表記に現れます。

ホモグラフィ群は射影線型群とも呼ばれ、体F上のn次元の射影空間に作用する場合、PGL ( n + 1, F )と表記されます。上記のホモグラフィの定義は、PGL ( n + 1 , F )が商群GL( n + 1, F ) / F ^× Iと同一視できることを示しています。ここで、GL( n + 1, F )は可逆行列の一般線型群であり、F ^× Iはサイズ( n + 1) × ( n + 1)の単位行列Fの非ゼロ要素による積の群です。

Fがガロア体GF( q )のとき、ホモグラフィ群はPGL( n , q )と表記される。例えば、PGL(2,7)は有限体GF(7)上の射影直線上の8点に作用するが、交代群A5と同型であるPGL(2,4)は₅点の射影直線のホモグラフィ群である。^[12]

ホモグラフィ群PGL( n + 1, F )は、次元nの射影空間の共線化の共線化群 PΓL( n + 1, F )の部分群です。射影空間の点と直線を、直線に含まれる点の集合をブロックとするブロック設計として捉えると、共線化群を設計の自己同型群と呼ぶのが一般的です。

4 つの共線点の交差比は、直線のホモグラフィの研究の基本となるホモグラフィに対する不変量です。

体F上の射影直線上の3 つの異なる点a、b、c は、この直線の射影フレームを形成します。したがって、この直線からF ∪ {∞}へのホモグラフィh は1 つしか存在せず、 aを∞に、bを 0 に、cを 1 に写像します。同じ直線上の 4 番目の点を考えると、4 つの点a、b、c、dのクロス比[ a、b ; c、d ]は、 F ∪ {∞}の元h ( d )です。言い換えると、d が射影フレーム( a、b、c )上で同次座標[ k  : 1]を持つ場合、[ a、b ; c、d ] = kです。^[13]

Aが環でU がその単位群であるとする。ホモグラフィはA上の射影直線P( A ) に作用する。この直線は射影座標を持つ点U [ a, b ]から構成される。P( A )上のホモグラフィは行列写像によって記述される。

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}$

Aが可換環のとき、ホモグラフィは次のように書ける。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za+b}{zc+d}}\ ,}$

ただし、それ以外の点では、線形分数変換は同等であると見なされます。

${\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1]。}$

整数環 Zのホモグラフィ群はモジュラー群 PSL(2, Z )である。環ホモグラフィは四元数解析で使用され、双四元数とともにスクリュー理論を容易にするために使用されている。時空の共形群はホ​​モグラフィで表すことができ、ここでA は双四元数の合成代数である。^[14]

ホモグラフィは、環がZ / n Z（nを法とする整数） のときに周期的である。アーサー・ケイリーは1879年に反復を計算した際に周期性に興味を持った。^[15] ホモグラフィの周期性に対する強引なアプローチのレビューで、HSMコクセターは次のような分析を行った。 ${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle h^{n}={\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

実ホモグラフィが逆周期（周期 2）であるためには、a + d = 0が成立する。それが周期n > 2で周期的である場合、それは楕円であり、ad − bc = 1と仮定しても一般性は失われない。特性根は exp(± hπi / m ) （h , m） = 1であるため、トレースはa + d = 2 cos( hπ / m )となる。^[16]

• Wカーブ

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• ウィキメディア・コモンズのホモグラフィに関連するメディア