意味 させてC \displaystyle {\mathcal {C}}} カテゴリ であり、M は オブジェクトである。C \displaystyle {\mathcal {C}}} 射影被覆は、( P , p ) のペアであり、 P は 射影対象 である。C \displaystyle {\mathcal {C}}} p は Hom( P , M ) における余分な全射写像である。
R が環である場合、 R 加群の圏では、余剰全射は 全射 となる。p : P → M {\displaystyle p:P\to M} p の核が P の余剰部分加群 となるように。
物件 射影被覆とその余剰全射準同型は、存在する場合、同型を 除いて一意である。ただし、射影性は完全な普遍性 ではないため、同型は必ずしも一意である必要はない。
p が余剰核を持つことの主な効果は次のとおりです。Nが P の任意の真部分加群である場合、p （ N ） ≠ M {\displaystyle p(N)\neq M} [ 1 ] P を M に最適に覆うようにする、つまりPのどの部分加群も十分ではないことを示している。これは P の射影性には依存しない。これはすべての余分な全射準同型について真である。
( P , p )が M の射影被覆であり、P' が全射影を持つ別の射影加群である場合p ′ : P ′ → M {\displaystyle p':P'\rightarrow M} すると、 P'から P への分裂全射 αが存在し、p α = p ′ {\displaystyle p\alpha =p'}
環 R の種類に関わらず、すべての左 (右) R 加群に対して存在する 単射包絡線 や平坦被覆 とは異なり、左 (右) R 加群は一般に射影被覆を持たない。環Rは、すべての左 (右) R加群が R -Mod (Mod- R )に射影被覆を持つ場合、左 (右)完全で あると呼ばれる。
環は、有限生成 左（右）R加群が R -Mod（Mod- R ）に射影被覆を持つ場合、半完全環 と呼ばれる。「半完全」は左右対称性である。
環は、 R / J からR へ冪等元が持ち上げられる 場合にリフト/ラッド と呼ばれます。ここで、Jは R のヤコブソン根基 です。リフト/ラッドであるという性質は、射影被覆によって特徴付けられます。Rがリフト/ラッドであるのは、R 加群 R / J (右加群または左加群として) の直和因子が射影 被覆を 持つ場合 に 限ります。[ 2 ]
例 R モジュールのカテゴリ：
M が既に射影加群である場合、 Mから M への恒等写像は余剰全射準同型写像（その核はゼロ）となる。したがって、射影加群は常に射影被覆を持つ。J( R )=0 の場合、モジュールMが射影被覆を持つのは、 M が既に射影的である場合に限る。 加群Mが 単純加群 である場合、射影被覆が存在するならば、それは必ずその射影被覆の頂点となる。 加群の単射包絡線は常に存在しますが、特定の環では加群が射影被覆を持たない場合があります。例えば、Zから Z /2 Z への自然な写像は、 Z 加群Z /2 Z の射影被覆ではありません(実際には射影被覆は存在しません)。すべての右加群に射影被覆を与える環のクラスは、右完全環 のクラスです。 任意のR 加群Mは 平坦被覆を 持ち、 M が 射影被覆を持つ場合、平坦被覆は射影被覆と等しくなります。
参考文献 ↑ 証明: N を P の真集合とし、 p ( N )= M と仮定する。ker( p ) は冗長なので、ker( p )+ N ≠ P である。ker( p )+ Nの外側の P 内のx を選ぶ 。p の全射性により、 p ( x' )= p ( x ) となるようなx'が N 内に存在するので、 x − x'は ker( p )に含まれる。しかし、そうするとx は ker( p )+ N に含まれることになり、矛盾が生じる。 ↑ アンダーソン＆ フラー 1992 、p.302。アンダーソン、フランク・ワイリー、フラー、ケント・R (1992)。『環と加群の圏』 。シュプリンガー。ISBN 0-387-97845-3 2007年3月27日 に取得 。 フェイス、カール (1976)、代数。 II.リング理論。 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、No. 191。Springer-Verlag Lam, TY (2001),非可換環入門 （第2 版）, 大学院数学テキスト, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0 
