4 次元六角形タイルハニカム

双曲幾何学の分野では、4 次六角形タイリング ハニカムは、 3 次元双曲空間における11 個の正準コンパクト ハニカムの 1 つとして現れます。無限の数の面で構成されるセルを持つため、パラコンパクトです。各セルは六角形タイリングであり、その頂点はホロスフィア上にあります。ホロスフィアとは、双曲空間内の平面で、無限遠にある単一の理想的な点に近づきます。

幾何学的ハニカムは、多面体または高次元のセルで空間を埋め尽くしたもので、隙間がありません。これは、任意の次元における より一般的な数学的タイリングまたはテッセレーションの例です。

ハニカムは通常、凸型均一ハニカムのように、通常のユークリッド（「平坦」）空間に構築されます。また、双曲型均一ハニカムなどの非ユークリッド空間に構築されることもあります。任意の有限均一多面体をその外接球に投影して、球面空間に均一ハニカムを形成できます。

4 次六角形タイリングハニカムのシュレーフリ記号は {6,3,4} です。六角形タイリングのシュレーフリ記号は {6,3} なので、このハニカムには各辺で交わる 4 つの六角形タイリングがあります。八面体のシュレーフリ記号は{3,4} なので、このハニカムの頂点図形は八面体です。したがって、このハニカムの各頂点では 8 つの六角形タイリングが交わり、各頂点で交わる 6 つの辺は 3 つの直交軸に沿っています。^[1]

オーダー 4 の六角形タイル ハニカムには、3 つの反射単体対称構造があります。

半対称一様構造{6,3 ^1,1 }には2つのタイプ（色）の六角形タイリングがあり、コクセター図 ↔4 色の六角形のタイルを使用した 1/4 対称構造も存在します。。

非単体的基本領域にはさらに2つの反射対称性が存在する: [6,3 ^* ,4]、これは指数6で、コクセター図では ; そして [6,(3,4) ^* ] は指数 48 です。後者は3 次基本領域と、3 つの軸無限枝を持つ八面体 Coxeter 図を持ちます: 。これは、ハニカムの六角形のタイルを 8 色で着色している​​ように見えます。

4次の六角形タイルハニカムにはは2次元ハイパーサイクル面をタイル張りし、切断された無限次三角形のタイル張りに似ている。:

4 次六角形タイリング ハニカムは、 3 次元空間の正則双曲型ハニカムであり、パラコンパクトである 11 個のハニカムのうちの 1 つです。

[6,3,4]コクセター群の族には、この正規形とその双対である6次立方ハニカムを含め、 15個の均一ハニカムが存在します。

4次の六角形タイルハニカムには、関連する交互ハニカムがあり、↔三角形のタイリングと八面体のセルを備えています。

これは、{6,3,p} 形式の規則的なハニカムのシーケンスの一部であり、すべてが六角形のタイルセルで構成されています。

このハニカムは、 16 セルハニカム、立方ハニカム、および4 次十二面体ハニカムとも関連があり、これらはすべて八面体の頂点図形を持ちます。

前述のハニカムも準規則的です。

修正された4次六角形タイリングハニカム、t ₁ {6,3,4}、八面体と三六角形のタイル面を持ち、四角柱の 頂点図形を持ちます。

これは2次元双曲四辺形タイル張りr{∞,4}に似ている。非等角面と正方形の面が交互に現れます。

切断された4次六角形タイリングハニカム、t _0,1 {6,3,4}、八面体と切頂六角形のタイル面を持ち、頂点は四角錐の 形をしています。

これは2次元双曲切断4次アピロゴナルタイリングt{∞,4}に似ている。非等角面と正方形の面の場合:

ビットトランケーテッドオーダー4六角形タイリングハニカム、t _1,2 {6,3,4}、切頂八面体と六角形のタイルセルを持ち、対角二蝶形 頂点図形を持ちます。

4次六角形タイルハニカム、t _0,2 {6,3,4}、は、くさび形の頂点図形を持つ、立方八面体、立方体、菱形三六角形のタイリングセルを持ちます。

4次六角形タイルハニカム、t _0,1,2 {6,3,4}、切頂八面体、立方体、切頂三六角形のタイリングセルを持ち、鏡映した蝶形 頂点図形を持ちます。

ランシネートされた4次六角形タイリングハニカム、t _0,3 {6,3,4}、立方体、六角形のタイル、六角柱のセルがあり、不規則な三角形の逆柱の 頂点図形があります。

2次元双曲菱形四六角形タイル、rr{4,6}、正方形と六角形の面を持つ。タイルは半対称構造になっている。。

ランシトランケーテッドオーダー4六角形タイリングハニカム、t _0,1,3 {6,3,4}、菱形、立方体、十二角柱、切頂六角形のタイルセルを持ち、頂点図形は二等辺 台形ピラミッド です。

ランシカンテラテッドオーダー 4 六角形タイリングハニカムは、ランシトランケーテッドオーダー 6 立方ハニカムと同じです。

全切頂4次六角形タイリングハニカム、t _0,1,2,3 {6,3,4}、切頂立方八面体、切頂三六角形タイル、十二角柱、八角柱セルを持ち、不規則な四面体の 頂点図形を持ちます。

交互4次六角形タイルハニカム、↔は、三角形のタイリングと八面体セルで構成され、切頂八面体の 頂点図形を形成します。

カンティックオーダー4六角形タイルハニカム、↔は、三六角形のタイル、切頂八面体、および立方八面体のセルで構成され、くさび形の 頂点図形を持ちます。

ランシックオーダー4六角形タイルハニカム、↔は、三角形のタイル、菱形八面体、立方体、および三角柱のセルから構成され、三角形のキューポラの 頂点図形を備えています。

ランシカンティックオーダー4六角形タイルハニカム、↔は、三角錐のタイル、切頂立方八面体、切頂立方体、三角柱のセルから構成され、直方体の 頂点 図形を備えています。

1/4次4六角形タイルハニカム、q{6,3,4}、またはは、三角形のタイル、三角六角形のタイル、四面体、および切頂四面体のセルから構成され、三角形のキューポラの 頂点図形を備えています。

• 双曲空間における凸均一ハニカム
• 双曲3次元空間の正則なタイル分割
• 超小型均一ハニカム

• Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、 Dover Publications、 1973 年。ISBN  0-486-61480-8。 (表 I および II: Regular polytopes と honeycombs、 pp. 294–296)
• 幾何学の美：12のエッセイ（1999年）、ドーバー出版、LCCN  99-35678、ISBN 0-486-40919-8（第10章、双曲空間における正則ハニカム）表III 
• ジェフリー・R・ウィークス 『空間の形』第2版 ISBN 0-8247-0709-5 (第16-17章: 3次元多様体上の幾何学 I、II) 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿
  • NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
  • NW ジョンソン:幾何学と変換、(2018) 第 13 章: 双曲コクセター群