24セルハニカム

4次元 ユークリッド幾何学において、24セルハニカム、またはイコシテトラコリックハニカムは、4次元ユークリッド空間を正24セルで埋め尽くす正則なモザイク（またはハニカム）である。これはシュレーフリ記号{3,4,3,3}で表すことができる。

正則16 セル ハニカムによる双対のテッセレーションは、シュレーフリ記号 {3,3,4,3} を持ちます。テッセラティック ハニカム(または 4 立方体ハニカム) とともに、これらはユークリッド 4 次元空間の唯一の正則テッセレーションです。

_{24セルのハニカムは、D 4}またはF ₄ルート格子のボロノイ分割として構築できます。各24セルは、D ₄格子点、つまり次のいずれか の中心に配置されます。

${\displaystyle \left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

これらの点は、偶数平方ノルムを持つ フルヴィッツ四元数として記述することもできます。

ハニカムの頂点は、D ₄格子の深い穴にあります。これらは、奇数の二乗ノルムを持つ Hurwitz 四元数です。

これは、テッセラティックハニカムのすべての正方形面の中心に頂点を配置することで、2 平行化されたテッセラティックハニカムとして構築できます。24 セルの面は、これらの頂点の間に平行化された 16 セルとして存在します。テッセラティックハニカムの座標が整数 (i,j,k,l) の場合、2平行化されたテッセラティックハニカムの頂点は、4 つの次元のうち 2 つで半単位シフトのすべての順列に配置できます。つまり、(i+ ⁠1/2⁠ ,j+ ⁠1/2⁠、k、l）、（i+ ⁠1/2⁠、j、k+ ⁠1/2⁠ ,l), (i+ ⁠1/2⁠、j、k、l+ ⁠1/2⁠ ), (i,j+ ⁠1/2⁠ ,k+ ⁠1/2⁠ ,l), (i,j+ ⁠1/2⁠、k、l+ ⁠1/2⁠ ), (i,j,k+ ⁠1/2⁠ ,l+ ⁠1/2⁠）。

24 セルのハニカム内の各 24 セルには、24 個の隣接する 24 セルがあります。各隣接セルとは、正確に 1 つの八面体セルを共有します。

さらに 24 個の隣接頂点があり、それぞれの隣接頂点と 1 つの頂点を共有します。

辺のみまたは面のみを共有する隣接要素はありません。

24 セルのハニカムの頂点図形は四面体(4 次元立方体) です。したがって、すべての頂点には 16 の辺、32 の三角形、24 の八面体、8 つの 24 セルが接しています。辺図形は四面体なので、すべての辺を囲む 4 つの三角形、6 つの八面体、4 つの 24 セルがあります。最後に、面図形は三角形なので、すべての面には 3 つの八面体と 3 つの 24 セルが接しています。

4 次元図形を視覚化する 1 つの方法は、さまざまな 3 次元断面を考慮することです。つまり、さまざまな超平面と問題の図形との交差です。この手法を 24 セルのハニカムに適用すると、さまざまな規則性を持つさまざまな 3 次元ハニカムが生成されます。

頂点優先の断面では、24 個のセルの 1 つの反対側の頂点を結ぶ線に直交する超平面を使用します。たとえば、上記の座標系の座標超平面 (つまり、 x _i = 0 で決定される平面) のいずれかを使用できます。これらの超平面の 1 つによる {3,4,3,3} の断面は、菱形十二面体ハニカムになります。菱形十二面体のそれぞれは、超平面と交差する 24 個のセルの 1 つの最大断面に対応します (このような各 (4 次元) 24 個のセルの中心は超平面内にあります)。したがって、菱形十二面体ハニカムは、D ₃ルート格子 (面心立方格子) のボロノイ分割です。この超平面を頂点の 1 つ (たとえば、 x _i = ⁠)に半分シフトすると、1/2⁠ ）は、正立方体のハニカムを生成します。この場合、各 24 セルの中心は超平面から外れています。超平面が頂点と交差するように再度シフトすると、別の菱形十二面体ハニカムが得られますが、新しい 24 セル（以前のものは点に縮小されています）があります。一般に、任意の整数nに対して、 x _i = n を通る断面は菱形十二面体ハニカムであり、 x _i = n + ⁠ を通る断面は菱形十二面体ハニカムです。1/2⁠ は立方体のハニカムです。超平面が 4 次元空間を移動すると、断面は 2 つの間で周期的に変化します。

セルファースト断面では、24 セルの 8 面体セルの 1 つに平行な超平面を使用します。たとえば、ベクトル (1,1,0,0) に直交する超平面を考えます。この超平面による {3,4,3,3} の断面は、修正立方ハニカムです。このハニカム内の各立方八面体は、中心が平面内にある 24 セルの最大断面です。一方、各八面体は、中心が平面外にある (4 次元) 24 セルの境界セルです。この超平面を 24 セルの中心と境界の中間に移動すると、二切頂立方ハニカムが得られます。立方八面体は縮小し、八面体は拡大して、両方とも切頂八面体になります。再びシフトして、超平面が中央の 24 セルの境界と交差すると、再び直角立方ハニカムが得られ、立方八面体と八面体の位置が入れ替わります。超平面が 4 次元空間を通過すると、断面はこれら 2 つのハニカムの間で周期的に変形します。

このタイル張りの各ハイパーセルに3次元球面を内接させると、その結果得られる配置は、キス数24の4次元における最も密な^[注1]球面の規則的なパッキングとなる。この配置のパッキング密度は

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685.}$

各内接3 次元球は、24 個のセルの八面体面の中心で他の ​​24 個の球と接しています。これは、各八面体セルが隣接する 24 個のセルと共有されているためです。単位辺長のタイル分割では、球の直径 (接している球の中心間の距離) は√ 2です。

この 24 個の 3 次元球が接する周囲の殻のすぐ外側には、密度の低い別の殻が 24 個の 3 次元球から構成されています。この殻は互いに接することも、中央の 3 次元球とも接しません。この殻は、中央の 24 個のセルが 1 つの頂点のみを共有する 24 個のセルに内接しています (八面体セルではありません)。これらの球の 1 つと、その殻の隣の球または中央の球との中心間の距離は 2 です。

あるいは、接吻数 24 の同じ球のパッキング配置は、より小さな 3 次元球 (辺長直径) を 24 セルの中心と頂点に配置することによって実行できます。(これは、単位辺長の16 セル ハニカムの頂点に配置することと同じです。) この場合、中央の 3 次元球は、24 セルに内接する 3 つの四次元立方体の立方面の中心で他の ​​24 個の球と接吻します。(これは、四次元ハニカムの 辺長球の唯一の体心立方パッキングです。)

直径 1 の接している 3 次元球のこの殻のすぐ外側には、直径 1 の接していない 24 個の 3 次元球の密度の低い殻があります。これらの殻は、中央の 24 個のセルと八面体面を共有する隣接する 24 個のセルの中心にあります。これらの球の 1 つとその殻の隣接する球または中央の球との中心間の距離は√ 2です。

このタイル分割には、均一な多面体として 5 つの異なるWythoff 構成があります。これらは幾何学的には標準形式と同一ですが、対称性の違いは色付きの 24 セルの面で表すことができます。すべての場合において、8 つの 24 セルが各頂点で交わりますが、頂点図形には異なる対称性生成子があります。

4 次元空間内の他の均一ハニカム:

• 切断された5セルハニカム
• 全切形5セルハニカム
• 切り詰められた24セルハニカム
• 整流24セルハニカム
• スナブ 24セルハニカム