虚数単位

虚数単位または単位虚数( i ) は、二次方程式 x ² + 1 = 0の解です。この特性を持つ実数は存在しませんが、 iを使用すると、加算と乗算を使用して、実数を複素数と呼ばれるものに拡張できます。複素数でのiの使用例の簡単な例は、2 + 3 iです。

虚数は重要な数学的概念であり、実数系を、すべての非定数多項式に少なくとも 1 つの根が存在する複素数系に拡張します(代数的閉包および代数の基本定理を参照)。ここで「虚数」という用語が使用されているのは、負の平方を持つ実数は存在しないためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

−1には iと− iの 2 つの複素平方根があります。これは、ゼロ(ゼロには 1 つの二重平方根があります)以外のすべての実数に2 つの複素平方根があるのと同じです。

文字iの使用が曖昧であったり問題があったりする文脈では、文字jが代わりに使用されることがあります。たとえば、電気工学や制御システム工学では、虚数単位は通常iではなくjで表されます。これは、i が一般的に電流を表すために使用されるためです。^[1]

負の数の平方根は虚数と呼ばれる。近代初期の数学では、物理的な測定や基本的な算術で得られる、現在実数と呼ばれるものだけが数であると考えられていたためである。負の数でさえ懐疑的に扱われていたため、負の数の平方根は以前は定義されていないか無意味であると考えられていた。虚数という名前は一般にルネ・デカルトに由来し、アイザック・ニュートンは1670年に早くもこの用語を使用していた。 ^{[2] [3]} i表記法はレオンハルト・オイラーによって導入された。^[4]

ユニットは分割されていない全体であり、単位数またはユニット番号は数字の1 ( 1 ) です。

虚数単位iは、その平方が -1 であるという性質によってのみ定義されます。 $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

i をこのように定義すると、代数から直接、iと− i は両方とも −1 の平方根であることがわかります。

この構造は「虚数」と呼ばれ、虚数の概念は実数の概念よりも直感的に理解しにくいかもしれませんが、この構造は数学的な観点からは有効です。実数の演算は、式を操作する際にi を未知数として扱うことで（定義を使用してi ²の発生をすべて−1に置き換えることで）、虚数と複素数に拡張できます。 iのより高い整数乗も同様に 、 1、i、−1、− i の 4 つの値を循環します。ゼロ以外の実数と同様に、i ⁰ = 1 です。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

複素数iは、実部がゼロで虚部が 1 である直交形式では0 + 1 iと表すことができます。極形式では、i は1 × e ^{πi /2} (または単にe ^{πi /2} )と表すことができ、絶対値(または大きさ) は 1、引数(または角度) はラジアンです (この角度に2 πの任意の整数倍を追加しても機能します)。直交平面の特別な解釈である複素平面では、i は虚軸(実軸に直交する) に沿って原点から 1 単位の位置にある点です。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

重根を持たない2次多項式で あるため、定義方程式x ² = −1には2つの異なる解があり、これらは等しく有効で、たまたま互いの加法逆数と乗法逆数になっています。2つの解は異なる数ですが、それらの特性は区別できません。つまり、一方が持っていて他方が持っていない特性はありません。これら2つの解の1つは+ i (または単にi )、もう1つは− iとラベル付けされていますが、どちらがどちらであるかは本質的にあいまいです。

+ iと− iの唯一の違いは、このラベル付けから生じます。たとえば、慣例により、+ iはの引数を持ち、− i はの引数を持つと言われますが、これは、正のx軸に対する直交平面の方向をラベル付けし、正の角度は正のy軸の方向に反時計回りに回転するという慣例に関連しています。また、それらに記される符号にもかかわらず、+ iも− iも、実数のような意味では本質的に正でも負でもありません。^[5]${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

+ iと− iの区別がつかないことについて、より形式的に表現すると、複素体は（実数の拡張として）同型まで一意であるが、一意な同型まで一意ではない、ということになります。つまり、各実数を固定したままにする複素数の2 つの体自己同型、つまり恒等写像 と複素共役が存在します。この一般的な現象の詳細については、ガロア群 を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

行列 と行列乗算の概念を使用すると、複素数を線形代数で表すことができます。実数単位1と虚数単位i は、 I ² = I、IJ = JI = J、およびJ ² = − Iを満たす任意の行列IとJのペアで表すことができます。次に、複素数a + biは行列aI + bJで表すことができ、複素数演算の通常の規則はすべて行列演算の規則から導き出すことができます。

最も一般的な選択は、1とiを2×2の 単位行列 Iと行列Jで表すことである。

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

任意の複素数a + biは次のように表すことができます。

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

より一般的には、トレースがゼロで行列式が 1 である任意の実数値2 × 2行列は− Iの二乗になるので、 Jに選択できます。より大きな行列も使用できます。たとえば、1 は​​ 4 × 4単位行列で表すことができ、i は空間次元の任意のディラック行列で表すことができます。

多項式（変数の累乗の重み付き和）は代数学の基本的なツールです。係数が実数である多項式は環を形成します。環は加算と乗算を含む代数構造で表され、整数の環と多くの特性を共有します。 ${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$

多項式には実数根はありませんが、 で割り切れるすべての実係数多項式の集合はイデアルを形成するため、商環が存在します。この商環は複素数と同型であり、変数は虚数単位を表します。 ${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$${\displaystyle x}$

複素数は、複素平面と呼ばれる直交平面の水平軸として実数直線を、垂直軸として虚数を描くことによってグラフィカルに表すことができます。この表現では、数1とi は0から同じ距離にあり、それらの間の角度は直角です。複素数による加算は平面内の移動に対応し、単位大きさの複素数による乗算は原点の周りの回転に対応します。平面のすべての相似変換は、複素線形関数によって表すことができます。${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

ユークリッド平面の幾何代数では、任意の 2 つのベクトルの幾何積または商は、スカラー (実数) 部分とバイベクトル部分の合計です。(スカラーは方向のない量、ベクトルは線のように方向付けられた量、バイベクトルは平面のように方向付けられた量です。) 任意のベクトルの 2 乗は正のスカラーであり、その長さの 2 乗を表します。一方、任意のバイベクトルの 2 乗は負のスカラーです。

ベクトルとそれ自身の商はスカラー1 = u / uであり、任意のベクトルを掛けても変化しません（恒等変換）。同じ大きさの任意の 2 つの垂直ベクトルの商J = u / v は、これを掛けると除数が 1/4 回転して被除数Jv = uになり、これは単位バイベクトルで、平方すると−1になるため、虚数単位の代表として考えることができます。スカラーとバイベクトルの任意の和はベクトルを掛けて拡大縮小および回転することができ、このような和の代数は複素数の代数と同型です。この解釈では、点、ベクトル、およびスカラーとバイベクトルの和はすべて異なる種類の幾何学的オブジェクトです。^[6]

より一般的には、任意の高次元ユークリッド空間の幾何代数において、任意の平面方向の単位二乗ベクトルは−1の2乗になるので、虚数単位i を表すと見なすことができます。

虚数単位は歴史的に書かれており、現代の著作でもまだ使われている。しかし、根号を含む式を操作する際には細心の注意を払う必要がある。根号記号表記は、実数x ≥ 0に対してのみ定義される主平方根関数、または複素平方根関数の主枝のために予約されている。主（実数）平方根関数の計算規則を複素平方根関数の主枝の操作に適用しようとすると、誤った結果が生じる可能性がある。^[7]${\textstyle {\sqrt {-1}},}$${\textstyle {\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}}$$

一般的に、計算規則 と xとy の正の実数値に対してのみ有効であることが保証されている。^{[8] [9] [10]}${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

xまたはy が実数だが負の場合、ではなく のような式を記述して操作することで、これらの問題を回避できます。より詳細な説明については、 「平方根」および「分岐点」の記事を参照してください。 ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

複素数であるため、虚数単位は複素演算のすべての規則に従います。

虚数単位を繰り返し加算または減算すると、その結果は虚数単位の整数倍、つまり虚数整数になります。このような任意の数を加算すると、結果も虚数整数になります。

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

したがって、虚数単位は加法による群、具体的には無限巡回群の生成元です。

虚数単位に任意の実数を掛けて虚数を形成することもできます。これらの数は数直線、つまり虚軸上に描くことができます。虚軸は複素平面の一部として、通常は水平に描かれる実軸に垂直な垂直方向に描かれます。

実数単位1と虚数単位iの整数和は、複素平面上でガウス整数と呼ばれる正方格子を形成します。ガウス整数の和、差、積もガウス整数です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

複素平面上の任意の複素数は、虚数単位iを掛けると、反時計回りに 1/4 回転(ラジアン${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$または90° )します。 − iを掛けると、任意の複素数は時計回りに 1/4 回転します。 極形式では、次のようになります。

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

長方形の場合、

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

iの累乗は、次のパターンで表現できるサイクルで繰り返されます。ここで、nは任意の整数です。

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

したがって、乗算の下では、i は、乗算の下での単位複素数の 連続円群の離散部分群である、位数 4 の巡回群の生成元です。

整数nに対するオイラーの公式の特別な場合として書かれ、

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

分岐と主値を慎重に選択することで、この最後の式は、 n = iのような場合も含め、任意の複素数値nにも適用できます。^[要出典]

すべての非ゼロ複素数と同様に、は2つの異なる平方根を持ち、それらは加法逆数です。極形式では、 ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

長方形の場合、それらは^[a]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

どちらの式も二乗すると $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

iの3つの立方根は^[12]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

一般的な正の整数nについて、iのn乗根は、k = 0, 1, ..., n − 1 に対して、次のようになります。k = 0 に関連付けられた値は、 iの主n乗根です。 根の集合は、iの主n乗根で回転した対応する1 の根の集合に等しくなります。 これらは、複素単位円に内接する正多角形の頂点です。 $${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

複素指数関数は、定義域での複素加算と余域での複素乗算を関連付けます。定義域の実数値は余域でのスケーリング (実スカラーによる乗算) を表し、1は​​ eによる乗算を表します。一方、定義域の虚数値は余域での回転 (単位複素数による乗算) を表し、iは1ラジアンの回転を表します。したがって、複素指数は虚数方向の周期関数であり、周期は2 πiで、虚数整数格子の実数倍である すべての整数kに対して点2 kπiで像1となります。

複素指数は、偶数と奇数の要素、双曲線関数の coshとsinh、または三角関数の cosとsinに分解できます。

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

オイラーの公式は、回転を表す虚数の指数を分解します。

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

この事実は、とりわけ、実数であるという一見直感に反する結果を証明するのに使用できます。^[13]${\displaystyle i^{i}}$

商coth z = cosh z / sinh zは、適切なスケーリングにより、虚数整数に変換された逆関数の和として無限部分分数分解として表すことができる。^[14] $${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

複素指数に基づくその他の関数は、虚数入力で明確に定義されます。たとえば、ni乗された数値は次のようになります。 $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

指数関数は周期的であるため、その逆関数である複素対数は多価関数であり、定義域内の各複素数は共役領域内の複数の値に対応し、各値は2 πiの任意の整数倍で区切られます。単価関数を得るための 1 つの方法は、共役領域を円筒形として扱い、 2 πiの任意の整数倍で区切られた複素値を同じ値として扱うことです。別の方法は、定義域を、複素平面の複数のコピーを負の実軸に沿って分枝切断として縫い合わせたリーマン面と見なし、定義域内の各枝が共役領域内の 1 つの無限ストリップに対応するとすることです。^[15]したがって、複素対数に依存する関数は、明確に定義および評価するために枝を注意深く選択することに依存します。

例えば、xが正の実数で あるときに、${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$$${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

虚数単位iの階乗は、 1 + iで評価されたガンマ関数によって与えられることが多い。^[16]

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

この数値の大きさと引数は以下のとおりです。^[17]

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

• 双曲単位
• 四元数における右ベルソル

• ナヒン、ポール・J. (1998)。想像の物語：i [マイナス1の平方根] の物語。チチェスター：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02795-1– Archive.orgより。

• オイラー、レオンハルト。「多項式の虚根」。2019年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年11月29日閲覧。「Convergence」で。mathdl.maa.org。アメリカ数学協会。2007年7月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。