ユニークさの定量化

数学と論理学において、「一意性」という用語は、特定の条件を満たす唯一のオブジェクトであるという性質を指します。^[1]この種の量化は、一意性量化または一意存在量化として知られており、多くの場合、「 ∃ !」^[2]または「∃ ₌₁ 」という記号で表されます。

例えば、正式な声明文

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

は、「となる自然数がちょうど 1 つ存在する」と解釈できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2=4}$

オブジェクトの一意な存在を証明する最も一般的な手法は、まず目的の条件を満たすエンティティの存在を証明し、次にそのようなエンティティの任意の 2 つ (たとえば、および) が互いに等しくなければならない (つまり、  ) ことを証明することです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a=b}$

たとえば、方程式に正確に 1 つの解があることを示すには、まず少なくとも 1 つの解、つまり 3 が存在することを証明することから始めます。この部分の証明は、以下の方程式が成り立つことを検証するだけです。 ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle 3+2=5.}$

解の一意性を確立するためには、とという2つの解があり、を満たすと仮定する。つまり、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ }}b+2=5.}$

すると、等式は推移的な関係なので、

${\displaystyle a+2=b+2.}$

両辺から2を引くと

${\displaystyle a=b.}$

これにより、3 が の唯一の解であることが証明されます。 ${\displaystyle x+2=5}$

一般に、前述の条件を満たすオブジェクトが正確に 1 つ存在すると結論付けるには、存在 (少なくとも1 つのオブジェクトが存在する) と一意性 (最大で1 つのオブジェクトが存在する) の両方を証明する必要があります。

一意性を証明する別の方法は、条件を満たすオブジェクトが存在することを証明し、次に条件を満たすすべてのオブジェクトが と等しくなければならないことを証明することです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

一意性量化は述語論理の存在量化子と全称量化子によって表現することができ、その式は次のように 定義される。${\displaystyle \exists !xP(x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

これは論理的には

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

簡潔さを犠牲にして、存在と一意性の概念を2つの節に分ける同等の定義は、

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

もう一つの同等の定義は、簡潔さという利点があり、

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

一意性量化は、計数量化（または数値量化^[3]）に一般化できます。これには、「…となるオブジェクトがちょうどk個存在する」という形式の量化と、「…となるオブジェクトが無限に存在する」および「…となるオブジェクトが有限個しか存在しない」という形式の量化の両方が含まれます。これらの形式の最初のものは通常の量化子を使用して表現できますが、後の 2 つは通常の一階述語論理では表現できません。^[4]

一意性は等式の概念に依存します。これをより粗い同値関係に緩めると、その同値までの一意性の定量化が得られます(このフレームワークでは、通常の一意性は「等式までの一意性」です)。たとえば、カテゴリ理論の多くの概念は、同型性まで一意であると定義されています。

感嘆符は、独立した量指定記号としても使用できます。つまり、 の場合、 となります。たとえば、の代わりに、置換公理で感嘆符を安全に使用できます。 ${\displaystyle !}$${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$${\displaystyle \exists !}$

• 本質的にユニーク
• ワンホット
• シングルトン（数学）
• 一意性定理

• クリーネ、スティーブン（1952）。メタ数学入門。Ishi Press International。p.199。
• アンドリュース、ピーター B. (2002)。『数理論理学と型理論入門』証明による真理への道（第 2 版）。ドルドレヒト: クルーワー アカデミー出版。p. 233。ISBN 1-4020-0763-9。