エルミートの問題

エルミートの問題は、1848 年にシャルル エルミートによって提起された数学の未解決問題です。彼は、元の数が 3 次無理数であるときに、その数列が最終的に周期的になるように、実数を自然数の列として表現する方法を求めました。

実数を表記する標準的な方法は、次のように10 進数で表現することです。

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

ここで、a ₀は整数、つまりxの整数部分であり、a ₁、a ₂、a _{3 、...は0から9までの整数である}。この表現では、数xは

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

実数x が有理数となるのは、その小数展開が最終的に周期的である場合、つまり、任意のn  ≥  Nに対してa _{n + p}  =  a _nとなるような自然数Nとpが存在する場合のみです。

数字を表現する別の方法は、次のように単純な連分数として書くことです。

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

ここで、a ₀は整数、a ₁、a ₂、a _{3 ...は自然数です。この表現から}xを復元できます。

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}}$

xが有理数の場合、数列 ( a _n ) は有限個の項の後に終了します。一方、オイラーは無理数を連分数として表すには無限の数列が必要であることを証明しました。^{[1]さらに、この数列は最終的には周期的になります (再び、すべての}n  ≥  Nに対してa _{n + p}  =  a _nとなるような 自然数Nとpが存在する)。これは、 x が二次無理数である場合に限ります。

有理数は1 次多項式を満たす代数数であり、2 次無理数は 2 次多項式を満たす代数数です。これらの数の両方の集合に対して、各シーケンスが一意の実数を与え、シーケンスが最終的に周期的である場合にのみ、この実数が対応するセットに属するという特性を持つ自然数シーケンス ( a _n ) を構築する方法があります。

1848年、シャルル・エルミートはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに手紙を書き、この状況を一般化できるかどうか、つまり、各実数xに自然数列を割り当てて、xが3次無理数、つまり3次代数数のときに、その列が最終的に周期的になるかどうか尋ねました。 ^{[2] [3]} または、より一般的には、各自然数dに対して、 xがd次代数的であるときを検出できる自然数列を各実数xに割り当てる方法はあるでしょうか。

エルミートの問題を解こうとする数列は、しばしば多次元連分数と呼ばれる。ヤコビ自身が初期の例を思いつき、実数 ( x ,  y ) の各ペアに対応する数列が、連分数の高次元類似体として機能することを発見した。^{[4]彼は、 (} x ,  y ) に付随する数列が最終的に周期的になるためには、xとy の両方が3次数体に属する必要があることを示そうとしたが、それができなかったため、これが事実であるかどうかは未解決のままである。

2015年に初めて、三次無理数の周期的表現が三元連分数によって提供されました。つまり、三次無理数を有理数または整数の周期的な列として表す問題が解決されました。しかし、周期的表現はすべての実数に対して定義されたアルゴリズムから導出されるわけではなく、三次無理数の最小多項式の知識からのみ導出されます。 ^[5]

連分数を一般化する代わりに、ミンコフスキーの疑問符関数を一般化するという別のアプローチもあります。この関数 ? : [0, 1] → [0, 1] も二次無理数を取り出します。なぜなら、?( x ) が有理数となるのはxが有理数か二次無理数の場合のみであり、さらにxが有理数となるのは ?( x ) が二項有理数の場合のみであり、したがってxが二次無理数となるのは ?( x ) が非二項有理数の場合に限るからです。この関数を単位正方形[0, 1] × [0, 1] または 2 次元単体に一般化するさまざまな方法が考案されていますが、いずれもエルミートの問題を解くには至っていません。^{[6] [7]}

3次ベクトルの周期的代表を求める減法アルゴリズムが2つ、オレグ・カルペンコフによって提案された^[8] 。 最初の(アルゴリズム)は、完全に実数の場合にのみ機能する。アルゴリズムの入力は、3次ベクトルの3つ組である。3次ベクトルとは、の3次拡張を生成するベクトルである。この場合、3次ベクトルは、アルゴリズムの出力が周期的である場合に限り共役である。2番目の( HAPDアルゴリズム)は、すべての場合(複素3次ベクトルを含む)およびすべての次元で機能すると推測される。 ${\displaystyle \sin^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d\geq 3}$