エックハルト・プラテン

プラテンの確率微分方程式に関する研究は、その数値解法の一般理論に焦点を当てています。彼は、確率微分方程式の数値理論には、決定論的テイラー公式の確率的類似物の存在が不可欠であると主張しました。彼はワグナーと共に確率的テイラー公式^{[ 10 ]}を発見し、その後、確率微分方程式の効率的な数値解法の理論を体系的に発展させました^{[ 11 ]} 。彼は様々な共著者と共に、数値安定性[ ^{12 ]}と確率遅延方程式^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]に関する先駆的な貢献をしました。}

エックハルト・プラテンは、一般にワグナー・プラテン展開として知られる確率テイラー展開に関する彼の先駆的な研究を、ジャンプを伴う確率微分方程式（SDE）を含むように拡張し、金融および科学モデリングに関連するより広いクラスの確率過程への適用範囲を広げた。^{[ 18 ]}

ジャンプを伴う確率微分方程式に対するワグナー・プラテン展開は、古典的なテイラー級数の確率的一般化である。^{[ 19 ]}これは、連続成分とジャンプ成分の両方を含む複数の確率積分を使用して、伊藤過程の滑らかな関数の増分を展開することを容易にする。^{[ 20 ]}これは、金融市場、保険、待ち行列システムのモデルで一般的なレヴィジャンプを組み込んだ確率微分方程式の高次数値解法を構築するのに特に強力である。^{[ 21 ]}

決定論的なテイラー公式と同様に、ワグナー・プラテン展開は、時間および状態変数の特定の点の周りの確率過程を任意の精度レベルで局所的に近似することを可能にする。^{[ 22 ]}この展開は、関数の導関数、ブラウン運動積分、時間積分、およびジャンプ成分に対する補償されたポアソン積分を含む複数の確率積分の和によって、短い時間間隔における時間と状態変数の関数の変化を表す。

^{この拡張は、Wagner & Platen (1978) によって初めて導入され、Platen (1982b) [ 23 ]} Platen & Wagner (1982) や影響力のあるモノグラフ Kloeden & Platen (1992) ^{[ 24 ]}など一連の基礎的な著作でさらに洗練されました。

ワグナー・プラテン展開は確率微分方程式の数値理論の基礎を提供しており、オイラー・丸山スキーム、ミルスタインスキーム、高次の強スキームや弱スキームなど、確率微分方程式の解の離散時間近似を提供するために適切な方法で切り捨てられた。^{[ 25 ]}

プラテンは、古典的な数理ファイナンスの基礎となる代替案であるベンチマークアプローチの創始者である。 ^{[ 14 ]}数十年にわたって開発された彼の理論は、従来のリスク中立パラダイムを、成長最適ポートフォリオ（GOP）を中心とした現実世界の価格設定フレームワークに置き換えるものである。^{[ 26 ]}最近の論文では、プラテンは主要な結果を統合し、その理論を長期金融商品、特に満期が極めて長いゼロクーポン債やヨーロピアンオプションに適用している。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

プラテンは、確率的変動性の下でのオプション価格設定に関する初期の研究を通じて、古典的な価格設定に初めて疑問を呈し^{[ 31 ]}、長期契約のリスク中立価格が体系的に過大評価されていることに気づいた^{[ 27 ]} 。これにより、彼はGOP（ケリーポートフォリオまたはニュメレールポートフォリオとしても知られる）を価値の中心単位として使用するモデルを定式化した^{[ 32 ]} 。期待対数効用を最大化するGOPは、リスクフリー資産をニュメレールとして置き換え、現実世界の確率測度の下での価格設定を定義する^{[ 15 ] 。}

プラテンは、GOPを基準値とし、現実世界の確率尺度を価格尺度とする現実世界の価格設定法が、特に年金や保険などの長期契約の評価に役立つ、複製可能な偶発的請求に対して理論的に正当化できる最低値をもたらすことを示している。^{[ 33 ]}

プラテンは、高いレバレッジのために真のGOPの実施が困難であることを認識して、2024年の研究でベンチマーク中立（BN）価格設定を導入した。この実用的な拡張では、十分に分散された株式ポートフォリオ（貯蓄口座を除く）を基準値として使用する。BN価格設定尺度が現実世界の尺度と等しい場合、BN価格は現実世界の価格と一致する。^{[ 34 ]}

プラテンは、自身のミニマルマーケットモデル（MMM）の重要なツールである次元4のドリフト時間変換二乗ベッセル過程を適用してGOPを近似します。彼の実証結果は、極端に満期のデリバティブのBN価格がリスク中立の対応するものよりも大幅に低く、正確にヘッジできることを示しており、長期金融における大幅なコスト削減を意味します。^{[ 35 ]}

プラテンは、ベンチマークアプローチをより広範な科学的枠組みに位置づけ、情報理論を取り入れ、Li対称群、情報最小化、ネーター型保存則などのツールを使用している。^{[ 36 ]}

ベンチマークアプローチは、(1) GOP の存在、および (2) リスク中立価格尺度の結合情報の最小化という 2 つの最小限の仮定に基づいています。^{[ 35 ]}最初の仮定は、古典的な金融を支える仮定よりも制約が少なく、特に NFLVR 条件を回避しています。^{[ 37 ]}代わりに、最初の仮定は、Karatzas と Kardaras による制限付きリスクを伴う無制限の利益なし (NUPBR) 条件と同等です。^{[ 8 ]} Platen は、これら 2 つの公理により金融市場の行動の多くを導き出すことができ、金融を自然科学に匹敵する予測的かつ説明的な深さを持つ学問分野に高めることができると主張しています。^{[ 27 ]}

• 確率微分方程式の数値解法（1992年）ISBN 978-3540540625
• コンピュータ実験による確率微分方程式の数値解法（1994年）ISBN 978-3540570745
• 金融におけるジャンプを伴う確率微分方程式の数値解法（2010年）ISBN 978-3642120572
• 定量ファイナンスへのベンチマークアプローチ（2006年）ISBN 978-3540262121
• 多次元拡散関数とその金融への応用（2013年）ISBN 978-3319007465

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