双曲螺旋

双曲螺旋は、対数螺旋の一定角度やアルキメデス螺旋の減少角度とは異なり、中心からの距離に応じてピッチ角が増加する螺旋の一種です。この曲線は広がるにつれて漸近線に近づきます。これは、螺旋階段を上ったときの眺めや、特定の歩道の出発点の配置に見られ、渦巻き銀河や建築物の渦巻きをモデル化するのに使用されます。

平面曲線として、双曲螺旋は、任意のスケール係数 を選択するための方程式によって 極座標で記述できます。 ${\displaystyle (r,\varphi )}$$${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},}$$ ${\displaystyle a.}$

との間には相互関係があるため、逆螺旋とも呼ばれます。^[1]直交座標間の同じ関係は双曲線を表します。双曲螺旋は、双曲線の方程式を極座標に適用することで初めて発見されました。^{[2]双曲螺旋は、アルキメデスの螺旋の}逆曲線として生成することもできます。^{[3] [4]}またはらせんの中心投影として生成することもできます。^[5]${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi}$

双曲螺旋はユークリッド平面上のパターンであり、双曲平面上に描かれた他の種類の螺旋と混同してはならない。これらの螺旋の名前が曖昧な場合は、代わりに逆螺旋という別名が使用されることがある。^[6]

ピエール・ヴァリニョンが1704年に初めて双曲螺旋を研究した。^{[7] [8]}これは、ある曲線（この場合は双曲線）から得られる極曲線の例として、与えられた曲線上の点の直交座標を極曲線上の点の極座標として再解釈することによって行われた。ヴァリニョンと後にジェームズ・クラーク・マクスウェルは、この曲線上の点が別の曲線に沿って転がるときにその点をトレースすることによって得られるルーレットに興味を持った。たとえば、双曲螺旋が直線に沿って転がるとき、その中心はトラクトリクスを描きます。^[2]

ヨハン・ベルヌーイ^[9]とロジャー・コーツも、円錐曲線の軌道を描く物体は、ニュートンの万有引力の法則のような逆二乗則に従わなければならないというアイザック・ニュートンの発見に関連して、この曲線について書いています。ニュートンは、逆が真であり、逆二乗則の下では円錐曲線の軌道しかあり得ないと主張しました。ベルヌーイはこのステップを批判し、逆三乗則の場合には、対数螺旋（逆三乗則との関連はニュートンによって既に観察されていた）と双曲螺旋の両方を含む複数の軌道が可能であると述べました。コーツは、対数螺旋と双曲螺旋を含む、すべて逆三乗則を必要とする螺旋のファミリー、すなわちコーツの螺旋を発見しました。 1720年までにニュートンは、逆二乗則が常に円錐曲線の軌道を生み出すことを証明することで論争を解決した。^{[10] [11] [12] [13]}

方程式${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$の双曲螺旋では、原点を中心とし、その任意の点から時計回りに長さだけ継続する円弧は、 ${\displaystyle a}$-軸上で終わる。^[3]この等長特性のため、200 m および 400 m の徒競走のスタート地点は、双曲螺旋に沿って交互に配置される。これにより、同心円状のレーンに制限されているすべてのランナーが、ゴールラインまで等しい長さの経路をたどることが保証される。ランナーがスタート後に内側のレーンに移動する長距離レースでは、代わりに別の螺旋（円のインボリュート）が使用される。 ^[14]${\displaystyle x}$

双曲螺旋のピッチ角は中心からの距離の関数として増加するため、これらの螺旋を使用していくつかの渦巻き銀河の形状をモデル化することにつながり、場合によっては同様に増加するピッチ角を持つ。しかし、このモデルはすべての渦巻き銀河の形状に適合するわけではない。^{[16] [17]}建築分野では、双曲螺旋はコリント式の柱の渦巻きのデザインに適していると示唆されている。^{[18]また、}螺旋階段やその他のらせん構造の軸を上った透視図も表す。^[5]

アルキメデス螺旋や対数螺旋とともに、双曲螺旋は回転の知覚に関する心理学実験に使われてきました。 ^[19]

双曲螺旋は、極座標とスケール係数 の方程式を持つ 。これは、標準的な極座標から直交座標への変換とを適用することで直交座標で表すことができ、この曲線の直交座標に対するパラメトリック方程式が得られる。この方程式では、を座標ではなくパラメータとして扱う。^[20]からへの制約を 緩和し、同じ方程式を使用すると、螺旋の反転コピーが生成され、いくつかの情報源では、これら2つのコピーを1つの曲線の枝として扱っている。^{[4] [21]}$${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi >0}$$ ${\displaystyle (r,\varphi )}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=r\cos\varphi }$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$${\displaystyle \varphi}$ $${\displaystyle x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi >0.}$$${\displaystyle \varphi >0}$${\displaystyle \varphi \neq 0}$

双曲螺旋は超越曲線であり、直交座標の多項式方程式から定義することはできない。 ^[20]しかし、の形の極座標定義方程式から始めて、その変数を直交座標から極座標への変換およびに従って置き換えることで、これらの座標で三角方程式を得ることができる。次のようになる。 ^[22]${\displaystyle r\varphi =a}$${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}{\tfrac {y}{x}}}$${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}=a.}$$

極座標方程式を使って双曲面上の螺旋曲線を定義することも可能だが、これはユークリッド平面上の双曲螺旋の通常の形とはいくつかの重要な点で異なる。特に、双曲面上の対応する曲線には漸近線がない。^[6]

単位円を通る円反転は、極座標において点（原点を除く）をに写像し、逆もまた同様とする平面の変換である。^[23]この変換によるアルキメデスの螺旋の像（その逆曲線）は、方程式の双曲螺旋である。^[8]${\displaystyle (r,\varphi )}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{r}},\varphi )}$ ${\displaystyle r={\tfrac {\varphi }{a}}}$${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$

らせんの中心投影をらせんの軸に垂直な平面に投影すると、らせん階段の手すりを階段の軸上の視点から見上げたり見下ろしたりしたときに見える景色が描かれます。^[5]この投影を数学的にモデル化するには、点から画像平面への中心投影を考えます。これにより、点が点にマッピングされます。^[24]${\displaystyle (0,0,d)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle {\tfrac {d}{dz}}(x,y)}$

パラメトリック表現による螺旋の投影図は、 双曲螺旋を記述する 極座標方程式を持つ 曲線である 。 ^[24]$${\displaystyle (r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,}$$$${\displaystyle {\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)}$$$${\displaystyle \rho ={\frac {dr}{d-ct}},}$$

双曲螺旋は漸近点として原点に近づきます。^[22]なぜなら、 曲線は方程式の漸近線を持つからです。^[20]$${\displaystyle \lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{ \varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a,}$$${\displaystyle y=a}$

極座標のベクトル計算から、任意の曲線の接線とそれに対応する極円の接線との間のピッチ角の公式が得られる。 ^[25]双曲螺旋の場合、ピッチ角は^[19]${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {r'}{r}}}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$ $${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-{\frac {1}{\varphi }}\right).}$$

極座標方程式を持つ曲線の曲率は^[26] この方程式とその導関数から、双曲螺旋の曲率を半径または任意の点の角度で表したものが得られる。^[27]${\displaystyle r=r(\varphi )}$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}.}$$${\displaystyle r=a/\varphi }$${\displaystyle r'=-a/\varphi ^{2}}$${\displaystyle r''=2a/\varphi ^{3}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}}={\frac {a^{3}}{r(a^{2}+r^{2})^{3/2}}}.}$$

双曲螺旋の点と点の間の弧の長さは積分によって計算できます。^[20] ここで、括弧表記は括弧内の式をと の両方について計算し、の結果から の結果を引くことを意味します。 ${\displaystyle r=a/\varphi }$${\displaystyle (r(\varphi _{1}),\varphi _{1})}$${\displaystyle (r(\varphi _{2}),\varphi _{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$

双曲螺旋の扇形の面積（上図参照）は次の式で表されます。^[20] つまり、面積は半径の差に比例し、比例定数は です。^{[13] [20]}${\displaystyle r=a/\varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle a/2}$

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