リトゥス（数学）

リトゥス螺旋（/ ˈ l ɪ tj u . ə s /）は、角度θが半径rの2乗に反比例する螺旋です。

この螺旋は、 rの符号に応じて2つの枝を持ち、x軸に漸近する。その変曲点は

${\displaystyle (\theta,r)=\left({\tfrac{1}{2}},\pm{\sqrt{2k}}\right).}$

この曲線は、ロジャー・コーツが死後 6 年後に出版した 「Harmonia Mensurarum (1722)」という論文集の中で、古代ローマの「lituus」にちなんで名付けられました。

リトゥス螺旋の極座標 （r、θ）での表現は、次の式で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}},}$

ここでθ≥0かつk ≠0である。

極座標 r = ⁠のリトゥス螺旋1つの/√θ​⁠ は、x = r cos θおよびy = r sin θの関係を持つ他の螺旋と同様に、直交座標に変換できます。この変換により、曲線のパラメトリック表現が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta ,\\y&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta .\\\end{aligned}}}$

これらの方程式は、 xとyに関する方程式に変形することができます。

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

リトゥス螺旋の曲率は式[1]で求めることができる^。

${\displaystyle \kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

一般に、リトゥス螺旋の弧の長さは閉じた形式の式として表すことはできませんが、リトゥス螺旋の弧の長さはガウス超幾何関数 を使用した式として表すことができます。

${\displaystyle L=2{\sqrt {\theta }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta ^{2}}}\right)-2{\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta _{0}^{2}}}\right),}$

ここで弧の長さはθ = θ ₀から測定される。^[1]

リトゥス螺旋の接線角は式^{[1]で求めることができる。}

${\displaystyle \phi =\theta -\arctan 2\theta .}$

ウィキメディア・コモンズには、リトゥース (曲線)に関連するメディアがあります。

• 「Lituus」、数学百科事典、EMS プレス、2001 [1994]。
• ワイスタイン、エリック・W.「リトゥース」。マスワールド。
• JSXGraph を使用したインタラクティブな例。
• オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「Lituus」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント アンドリュース大学。
• リチュース曲線の歴史については https://hsm.stackexchange.com/a/3181 をご覧ください。