ロックスの定理

数論において、ロックスの定理は典型的な実数の連分数展開の収束率に関する定理である。定理の証明は1964年にグスタフ・ロックスによって発表された。 ^[1]

この定理は、区間 (0,1) 内のほぼすべての実数について、その数の小数展開の最初のn桁を決定するために必要な連分数展開の項の数mが、次のように漸近的に振る舞うことを述べています。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln(2)\ln(10)}{\pi ^{2}}}\approx 0.97027014}$（ OEISの配列A086819）。^[2]

この制限は 1 よりわずかに小さいだけなので、これは、「典型的な」実数の連分数表現の各項が追加されるごとに、表現の精度が小数点以下約 1 桁増加すると解釈できます。10 進法は、各桁が 1 つの連分数商よりも少ない情報を持つ最後の位置体系です。基数を 11にすると(方程式で に変更すると)、上記の値は 1 を超えます。${\displaystyle \ln(10)}$${\displaystyle \ln(11)}$

この限界の逆数は、

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln(2)\ln(10)}}\approx 1.03064083}$（OEISの配列A062542）、

はレヴィ定数の10を底とする対数の2倍です。

この振る舞いを示さない数の顕著な例としては、黄金比（「最も無理数」とも呼ばれる）が挙げられる。黄金比の連分数項はすべて1で、標準形式では最小である。平均すると、10進数1桁あたり約2.39個の連分数項が必要となる。^[3]

証明では、連分数の基本的な性質を前提としています。をガウス写像とします。 ${\displaystyle T:x\mapsto 1/x\mod 1}$

ガウス分布の 確率密度関数を とします。これはガウス写像の下で保存されます。${\displaystyle \rho (t)={\frac {1}{(1+t)\ln 2}}}$

確率密度関数は上と下に有界であるため、集合はガウス分布の場合に限り、ルベーグ測度に関して無視できます。

補題 。 ${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$

証明。なので、 が成り立つのは、が成り立つ場合に限られます。 が成り立つすべての の集合を考えてみましょう。つまり、 は、連分数展開が を持ち、他の制約を持たない数の集合を表します。ガウス写像はガウス測度を保存するので、は と同じガウス測度を持ち、これは と同じです。 ${\textstyle T^{n}x\leq 1}$${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$$${\displaystyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x=0}$$${\textstyle x}$${\textstyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x<0}$$${\displaystyle \{x:\exists c>0,\forall N\geq 1,\exists n\geq N,T^{n}x<e^{-cn}\}}$$ $${\displaystyle =\cup _{c>0}\cap _{N\geq 1}\cup _{n\geq N}[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$${\displaystyle a_{n}>e^{cn}}$$${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$${\textstyle [0;a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$

$${\displaystyle \int _{0}^{e^{-cn}}\rho (t)dt=\log _{2}(1+e^{-cn})\sim {\frac {e^{-cn}}{\ln 2}}}$$上の和集合はとなり、極限では0 になります。 ${\textstyle \cup _{n\geq N}}$${\textstyle \sim {\frac {e^{-cN}}{(1-e^{-c})\ln 2}}}$${\textstyle N\to \infty }$

したがって、そのような集合のガウス測度は 0 です。 ${\textstyle x}$

ここで、基本的な連分数の性質を使用して項を展開します。2番目の項は です。3 番目の項は です。どちらも で割ると消えます。したがって、ここではレヴィ定数の結果を使用しました。 $${\displaystyle \ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\ln {\frac {T^{n}x}{q_{n}(q_{n}+q_{n-1}T^{n}x)}}=-2\ln q_{n}+\ln T^{n}x-\ln \left(1+{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}T^{n}x\right)}$$${\textstyle o(n)}$${\textstyle \in [\ln 1,\ln 2]}$${\displaystyle n}$
$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-2\lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln q_{n}=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$