クライン多面体

数の幾何学では、フェリックス・クラインにちなんで名付けられたクライン多面体は、単純な連分数の概念を高次元に一般化するために使用されます。

をユークリッド空間内の閉じた単体円錐とします。のクラインの多面体は、 の非ゼロ点の凸包です。 ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}}$

が無理数であるとします。 において、と によって生成される円錐は、それぞれが隣接する線分の列によって囲まれる 2 つのクライン多面体を生じます。線分の整数長を、との交点のサイズより 1 小さい値と定義します。すると、これら 2 つのクライン多面体の辺の整数長は、 の連分展開をエンコードします。1つは偶数項に一致し、もう 1 つは奇数項に一致します。 ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(0,1)\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{2}.}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

が の基底によって生成されると仮定し(したがって)、 が双対基底であるとします (したがって)。ベクトル によって生成される直線を と書き、に直交する超平面を と書きます。 ${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle C=\{\sum _{i}\lambda _{i}a_{i}:(\forall i)\;\lambda _{i}\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle D(x)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle H(x)}$${\displaystyle \textstyle x}$

のとき、ベクトルは無理数であるとします。また、すべてのベクトルとが無理数である場合、円錐は無理数であるとします。 ${\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle H(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{0\}}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle a_{i}}$${\displaystyle \textstyle w_{i}}$

クライン多面体の境界は帆と呼ばれます。無理円錐の帆には2 つのグラフが関連付けられています。 ${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle V}$

• 頂点が の頂点であるグラフ。2 つの頂点が の (1 次元) 辺の端点である場合、それらの頂点は結合されます。${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle V}$
• の- 次元面 (チャンバー)を頂点とするグラフ。2 つのチャンバーは、- 次元面を共有する場合は結合されます。${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (n-1)}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle (n-2)}$

これらのグラフは両方とも、頂点の集合がである有向グラフと構造的に関連しており、頂点が頂点に結合されるのは、が次の形式である場合に限ります。 ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle A^{-1}B}$${\displaystyle \textstyle UW}$

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&c_{n-1}\\0&\cdots &0&c_{n}\end{array}}\right)}$

( 、) および は順列行列です。 が三角形分割されていると仮定すると、グラフ および の各頂点はグラフによって記述できます。 ${\displaystyle \textstyle c_{i}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle c_{n}\neq 0}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$

• 内の任意のパスが与えられた場合、となるような内のパスを見つけることができます。ここで はベクトルです。${\displaystyle \textstyle (x_{0},x_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}=A_{k}(e)}$${\displaystyle \textstyle e}$${\displaystyle \textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}}$
• 内の任意のパスが与えられた場合、となるような内のパスを見つけることができます。ここで、 は内の- 次元標準単体です。${\displaystyle \textstyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle (n-1)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

ラグランジュは、無理実数 に対して、 の連分数展開が周期的となるのは、 が2 次無理数である場合のみであることを証明しました。クラインの多面体により、この結果を一般化できます。 ${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

を 次数の完全な実代数体とし、を の実埋め込みとします。が上の基底である場合、単体錐は上で分割されるといいます。 ${\displaystyle \textstyle K\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

内のパスが与えられ、 とします。パスは、すべての に対して であるとき、周期 を持つ周期と呼ばれます。このようなパスの周期行列は と定義されます。このようなパス内のパスや、このようなパスに関連付けられたパスも周期的であると言われ、同じ周期行列を持ちます。 ${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$${\displaystyle \textstyle R_{k}=A_{k+1}A_{k}^{-1}}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle R_{k+qm}=R_{k}}$${\displaystyle \textstyle k,q\geq 0}$${\displaystyle \textstyle A_{m}A_{0}^{-1}}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$

一般化されたラグランジュの定理によれば、無理単体円錐、生成元が上記と同じ 、帆 の場合、次の 3 つの条件は同等です。 ${\displaystyle \textstyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$${\displaystyle \textstyle V}$

• ${\displaystyle \textstyle C}$は、次数の全実代数体上で分割されます。${\displaystyle \textstyle n}$
• のそれぞれについて、 が直線 に漸近するような の頂点の周期的な経路が存在し、これらの経路の周期行列はすべて交換されます。${\displaystyle \textstyle a_{i}}$${\displaystyle \textstyle x_{0},x_{1},\ldots }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle D(a_{i})}$
• それぞれについて、 が超平面 に漸近的に近づくような 内のチャンバーの周期的な経路があり、これらの経路の周期行列はすべて交換します。${\displaystyle \textstyle w_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle H(w_{i})}$

と をとります。すると、単体円錐は で分割されます。帆の頂点は、の連分数の偶数収束に対応する点です。から始まり正の方向に進む正の象限の頂点の経路は です。を に接続する線分とします。と の-軸上の反射をと と書きます。、となるように、および とします。 ${\displaystyle \textstyle n=2}$${\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \textstyle \{(x,y):x\geq 0,\vert y\vert \leq x/{\sqrt {2}}\}}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle (p_{k},\pm q_{k})}$${\displaystyle \textstyle p_{k}/q_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \textstyle (x_{k})}$${\displaystyle \textstyle (1,0)}$${\displaystyle \textstyle ((1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots )}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k+1}}$${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}}$${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle x_{k+1}=Tx_{k}}$${\displaystyle \textstyle R=\left({\begin{array}{cc}6&1\\-1&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&6\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$

、、、およびとします。 ${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\2&0\end{array}}\right)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\-2&0\end{array}}\right)}$

• 経路およびは、周期行列およびで、において周期的（周期 1）です。および が 成り立ちます。${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {e} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }R{\bar {M}}_{\mathrm {e} }^{-1}=T^{-1}}$${\displaystyle \textstyle x_{k}=M_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$
• 経路およびは、周期行列およびで、において周期的（周期 1）です。および が 成り立ちます。${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {f} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k})}$${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T}$${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }R{\bar {M}}_{\mathrm {f} }^{-1}=T^{-1}}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=M_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$

実数がゼロから離れる方向に有界である場合、その数は不完全近似と呼ばれます。無理数が不完全近似となるのは、その連分数の部分商が有界である場合のみです。^[1]この事実は、クライン多面体の観点から一般化できます。 ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$${\displaystyle \textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}}$

における単体円錐（ ）が与えられたとき、のノルム最小値をと定義します。 ${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle \langle w_{i},w_{i}\rangle =1}$${\displaystyle \textstyle C}$${\displaystyle \textstyle N(C)=\inf\{\prod _{i}\langle w_{i},x\rangle :x\in \mathbb {Z} ^{n}\cap C\setminus \{0\}\}}$

ベクトルが与えられている場合、 とします。これが のユークリッド体積です。 ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\in \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle [\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}\vert \det(\mathbf {v} _{i_{1}}\cdots \mathbf {v} _{i_{n}})\vert }$${\displaystyle \textstyle \{\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}:(\forall i)\;0\leq \lambda _{i}\leq 1\}}$

を無理単体円錐の帆とします。 ${\displaystyle \textstyle V}$${\displaystyle \textstyle C}$

• の頂点について、から放射される辺を生成する際の原始ベクトルがどこにあるかを定義します。${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$${\displaystyle \textstyle [x]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle x}$
• の頂点について、の端点がどこにあるかを定義します。${\displaystyle \textstyle \sigma }$${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$${\displaystyle \textstyle [\sigma ]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \textstyle \sigma }$

そして、と が両方とも有界である場合に限ります。 ${\displaystyle \textstyle N(C)>0}$${\displaystyle \textstyle \{[x]:x\in \Gamma _{\mathrm {e} }(V)\}}$${\displaystyle \textstyle \{[\sigma ]:\sigma \in \Gamma _{\mathrm {f} }(V)\}}$

量および は行列式と呼ばれます。 によって生成される円錐を持つ2次元では、これらは の連分数の部分商にすぎません。 ${\displaystyle \textstyle [x]}$${\displaystyle \textstyle [\sigma ]}$${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

• 建物（数学）

• ON ドイツ語、2007 年、「正のノルム最小値を持つクライン多面体と格子」。ボルドーの貴族雑誌 19 : 175–190。
• EI Korkina、1995、「2次元連分数。最も単純な例」。Proc . Steklov Institute of Mathematics 209 : 124–144。
• G. Lachaud、1998、「Sails and Klein polyhedra」、Contemporary Mathematics 210、アメリカ数学会、373–385 ページ。