連続体（数学）

代数学において、連分数は三重対角行列の行列式を表す多変数多項式であり、連分数に応用されます。

n番目の継続は再帰的に次のように定義される 。 ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}(x_{1})=x_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,}$

• 連続項は、x ₁ ,..., x _nのすべての可能な積の合計を取ることによって計算できます。ただし、連続する項の任意の数の互いに素なペアは削除されます (オイラーの定理)。たとえば、 ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$

  ${\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}$

したがって、連続体は不定値の順序を逆にしても不変であることがわかります。${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}$

• 連続体は三角行列の行列式として計算できます。

  ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}$、( n +1)番目のフィボナッチ数。
• ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.}$
• 連分の比は、次のように連分数を表します（連分数に収束します）。

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.}$

• 次の行列の恒等式が成り立ちます。

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}$。

  • 決定要因については、

    ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}$

  • そしてまた

    ${\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}$

一般化された定義では、3つの数列a、b、cに関して継続をとるので、K ( n ) はa ₁、...、a _n、b ₁、...、b _{n −1}、c ₁、...、c _{n −1}の多項式になります。この場合、再帰関係は次のようになります 。

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}=a_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,}$

b _rとc _{r は、}積b _r c _rとしてのみKに入るため、b _rがすべて 1 に等しい と仮定しても一般性が失われることはありません。

一般化された連続体はまさに三角行列の行列式である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

ミュアの本では、一般化された連続体は単に連続体と呼ばれています。

• トーマス・ミュア（1960年）。行列式の理論に関する論文。ドーバー出版。pp.516-525。
• Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra . Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society . p. 89. ISBN 0-8218-1531-8.ZBL0685.10023  。​
• ジョージ・クリスタル(1999)。『代数学：中等学校高等部および大学向け初等教科書：パート 1』アメリカ数学会、p. 500。ISBN 0-8218-1649-7。