完全な商

正規連分数の計量理論では、k番目の完全な商ζ _{k は、}最初のk 個の部分分母a _{i を}無視することによって得られます。たとえば、正規連分数が次のように与えられる場合、 

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}},}$

すると、連続する完全商ζ _{k は}次のように与えられる。 

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{0}&=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\\\zeta _{1}&=[a_{1};a_{2},a_{3},a_{4},\dots ]\\\zeta _{2}&=[a_{2};a_{3},a_{4},a_{5},\dots ]\\\zeta _{k}&=[a_{k};a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},\dots ].\,\end{aligned}}}$

上記の定義から、すぐに次のことが推測できます。

${\displaystyle \zeta _{k}=a_{k}+{\frac {1}{\zeta _{k+1}}}=[a_{k};\zeta _{k+1}],\ 、}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \zeta _{k+1}={\frac {1}{\zeta _{k}-a_{k}}}.\,}$

通常の連分数x  = [ a ₀ ;  a ₁ ,  a ₂ , …]の連続収束をA ₀ ,  A ₁ / B ₁ ,  A ₂ / B ₂ , … と表記すると（詳細は「基本的な漸化式」の記事を参照）、次の式が示される。

${\displaystyle x={\frac {A_{k}\zeta _{k+1}+A_{k-1}}{B_{k}\zeta _{k+1}+B_{k-1}} }\,}$

すべてのk≥0に対して。

この結果は、無限正規連分数の連続収束が一種のジグザグパターンで 値xに近づくことを思い出すと、よりよく理解できます。

${\displaystyle A_{0}}} <{\frac {A_{2}}{B_{2}}} <{\frac {A_{4}}{B_{4}}} <\cdots <{\frac {A_{2n}}{B_{2n}}} <x<{\frac {A_{2n+1}}{B_{2n+1}}} <\cdots <{\frac {A_{5}}{B_{5}}} <{\frac {A_{3}}{B_{3}}} <{\frac {A_{1}}{B_{1}}}.\,}$

したがって、kが偶数のときはA _k / B _k  <  x  <  A _{k +1} / B _{k +1}となり、kが奇数のときはA _{k +1} / B _{k +1}  <  x  <  A _k / B _kとなります。どちらの場合でも、k  + 1 番目の完全商 ζ _{k +1は、}半収束の形でxを表す唯一の実数です。 

次のように定義される線形分数変換（LFT） の集合を考える。

${\displaystyle f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,}$

ここで、a、b、c、dは整数であり、ad  −  bc = ±1です 。このLFTの集合には単位元(0 +  x )/1が含まれ、関数の合成に対して閉じており、集合のすべてのメンバーには集合内に逆関数が存在するため、これらのLFTはグループ（グループの演算は関数の合成）GL(2, Z )を形成します。

この線形分数変換群を用いて、実数の集合上の同値関係を定義することができる。2つの実数xとyが同値（x  ~  yと表記）であるとは、

${\displaystyle y=f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,}$

ad  −  bc = ±1となる整数a、b、c、dがある。

明らかにこの関係は対称的、反射的、推移的であるため、同値関係であり、実数を同値クラスに分けるのに使用できます。すべての有理数は等価です。なぜなら、各有理数はゼロに等しいからです。無理数については何が言えるでしょうか。無理数も単一の同値クラスに分類されるのでしょうか。

この方式では、 2 つの無理数xとy は、通常の連分数として展開されたときの無限に長い「末尾」がまったく同じである場合にのみ同等です。より正確には、次の定理が証明されます。

xとy を2 つの無理数 (実数) とし、xとyの通常の連分数展開におけるk番目の完全な商をそれぞれζ _kと ψ _kで表すと、 x  ~  y (前のセクションで定義された同値性に基づく) であるためには、ζ _m  = ψ _nとなる正の整数mとnが存在する必要があります。 

黄金比φ は、最も単純な連分数展開を持つ無理数です: φ = [1; 1, 1, 1, …]。この定理は、まず、x が任意の実数で、その連分数展開が無限の文字列 [1, 1, 1, 1, …] を含む場合、整数a、b、c、d ( ad  −  bc  = ±1) が存在し、

${\displaystyle x={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}.\,}$

逆に、a、b、c、dが整数（ad  −  bc = ±1 ）であれば、任意の 実数y の正規連分数展開は、

${\displaystyle y={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}\,}$

最終的には、φ の通常の連分数のように見える「末尾」に到達します。

• Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992)。Continued Fractions . World Scientific. pp. 4–8. ISBN 981-02-1052-3。