制限付き部分商

数学、特に正則連分数の解析理論では、無限正則連分数x は、その部分商の分母の列が有界である場合、制限されている、または制限された部分商で構成されていると言われます。つまり、

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

そして、すべての（整数）分母a _{i が}M以下となるような正の整数Mが存在する。^{[1] [2]}

規則的な周期的連分数は、有限の初期ブロックの部分分母とそれに続く繰り返しブロックで構成されます。

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,}$

ζ は2次の無理数であり、その正規連分数としての表現は周期的である。明らかに、正規周期連分数は制限された部分商で構成される。なぜなら、どの部分分母も 0 から k + m までの最大値よりも大きくなることはできないからである。歴史的_{に、数学者は、より一般的な制限された部分商の概念を検討する前に、}周期連分数を研究した。

カントール集合は、測度がゼロの集合Cであり、これを用いて実数の完全な区間を単純な加算で構成することができます。つまり、区間内の任意の実数は、集合Cのちょうど 2 つの要素の合計として表すことができます。カントール集合の存在の通常の証明は、区間の中央に「穴」を開け、次に残りのサブ区間に穴を開け、このプロセスを無限に繰り返すという考えに基づいています。

有限連分数にさらに 1 つの部分商を加えるプロセスは、実数の区間に「穴を開ける」プロセスと多くの点で類似しています。「穴」のサイズは、次に選択される部分分母に反比例します。次の部分分母が 1 の場合、連続する収束点間のギャップは最大になります。次の定理を正確にするために、CF( M )を検討します。これは、値が開区間 (0, 1) にあり、部分分母が正の整数Mで制限される制限連分数の集合です。つまり、

${\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}$

カントール集合を​​構築するために使用された議論と並行して議論を行うことにより、2 つの興味深い結果が得られます。

• M ≥ 4のとき、区間内の任意の実数はCF( M )の2つの要素の和として構成することができ、区間は次のように表される。

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• 簡単な議論から、M ≥ 4のときに成立することが示され 、これは逆にM  ≥ 4であれば、すべての実数はn  + CF ₁  + CF _2の形式で表すことができることを意味している。ここでnは整数であり、CF ₁とCF _2はCF( M )の要素である。^[3]${\displaystyle {\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}}$

Zaremba は、絶対定数Aの存在を予想しており、部分商がAによって制限される有理数には、すべての (正の整数) 分母に対して少なくとも 1 つが含まれるとしています。A = 5 という選択は、数値的証拠と互換性があります。^[4]さらに予想すると、十分に大きな分母の場合、その値は減少します。^[5] Jean BourgainとAlex Kontorovich は、密度 1 の分母の集合に対して結論が成り立つようにA を選択できることを示しました。^[6]

• マルコフスペクトル