ランダム性

一般的な用法では、ランダム性とは、情報に明確なパターンや予測可能性が明らかにまたは実際に欠如していることです。 ^{[1] [2]イベント、}シンボル、またはステップのランダムなシーケンスには、順序がなく、理解可能なパターンや組み合わせに従っていないことがよくあります。個々のランダムなイベントは、定義により予測不可能ですが、既知の確率分布がある場合は、繰り返されるイベント（または「試行」）での異なる結果の頻度は予測可能です。^{[注 1]}たとえば、サイコロを2つ投げるとき、特定のロールの結果は予測できませんが、合計が7になる頻度は4の2倍になる傾向があります。この見方では、ランダム性は偶然性ではなく、結果の不確実性の尺度です。ランダム性は、偶然性、確率、情報エントロピーの概念に適用されます。

数学、確率、統計の分野では、ランダム性の正式な定義が使用され、通常は何らかの「客観的な」確率分布があると想定されます。統計学では、ランダム変数とは、イベント空間の各可能な結果に数値を割り当てることです。この関連付けにより、イベントの識別と確率の計算が容易になります。ランダム変数は、ランダムなシーケンスで出現する場合があります。ランダムプロセスとは、結果が決定論的なパターンに従わず、確率分布によって記述される展開に従うランダム変数のシーケンスです。これらおよびその他の構成要素は、確率理論やランダム性のさまざまな応用において非常に役立ちます。

ランダム性は、統計学において、明確に定義された統計特性を示すために最もよく使用されます。モンテカルロ法は、ランダムな入力（乱数発生器や疑似乱数発生器などからの入力）に依存しており、科学、特に計算科学の分野で重要な手法です。^[3]同様に、準モンテカルロ法では、準乱数発生器を使用します。

ランダム選択は、狭義では単純ランダム標本と関連づけられており、母集団からアイテム（ユニットと呼ばれることが多い）を選択する方法であり、特定のアイテムを選択する確率は、母集団内のそれらのアイテムの割合になります。たとえば、ボウルに赤いビー玉が 10 個と青いビー玉が 90 個入っている場合、ランダム選択メカニズムは赤いビー玉を 1/10 の確率で選択します。このボウルから 10 個のビー玉を選択するランダム選択メカニズムは、必ずしも赤いビー玉が 1 個、青いビー玉が 9 個になるわけではありません。母集団が区別可能なアイテムで構成されている場合、ランダム選択メカニズムでは、どのアイテムも選択される確率が等しくなります。つまり、選択プロセスによって母集団の各メンバー、たとえば研究対象者が選択される確率が同じである場合、選択プロセスはランダムであると言えます。^[2]

ラムゼー理論によれば、純粋なランダム性（識別可能なパターンがないという意味）は、特に大きな構造では不可能である。数学者セオドア・モツキンは、「無秩序は一般的に起こりやすいが、完全な無秩序は不可能である」と示唆した。^[4]これを誤解すると、多くの陰謀説につながる可能性がある。^[5] クリスチャン・S・カルードは、「真のランダム性が不可能であることを考えると、ランダム性の程度を研究することに努力が向けられる」と述べた。^[6]ランダム性の形態には（品質や強度の観点から）無限の階層があることが証明できる。^[6]

古代史では、偶然性と無作為性の概念は運命の概念と絡み合っていた。多くの古代人は運命を決めるためにサイコロを投げ、これが後に偶然性のゲームへと発展した。ほとんどの古代文化は、偶然性と運命を回避するためにさまざまな占いの方法を使用していた。 ^{[7] [8]}宗教と偶然性のゲームを超えて、少なくとも古代アテネの民主主義以来、抽選における偶然性はクレロテリオンの形で証明されている。^[9]

確率と偶然性の形式化は、おそらく3000年前の中国人によって最も早く行われた。ギリシャの哲学者たちはランダム性について長々と議論したが、非定量的な形でのみだった。イタリアの数学者がさまざまな偶然のゲームに関連する確率を形式化し始めたのは16世紀になってからだった。微積分の発明は、ランダム性の形式的な研究に良い影響を与えた。ジョン・ヴェンは、著書『偶然の論理』の1888年版で、ランダム性の概念に関する章を執筆し、2次元でランダムウォークを構築するために円周率（π）の数字のランダム性に関する彼の見解を述べた。^[10]

20 世紀初頭には、確率の数学的基礎に対するさまざまなアプローチが導入され、ランダム性の形式的な分析が急速に発展しました。20 世紀半ばから後半にかけて、アルゴリズム情報理論のアイデアは、アルゴリズムランダム性の概念を通じてこの分野に新しい側面をもたらしました。

ランダム性は何世紀にもわたって障害や厄介物と見なされてきましたが、20世紀にコンピュータ科学者は、計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的なツールになり得ることに気づき始めました。場合によっては、そのようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的方法よりも優れたパフォーマンスを発揮します。^[11]

多くの科学分野はランダム性に関係しています。

19 世紀、科学者は統計力学の発展において分子のランダムな運動という概念を利用して、熱力学の現象や気体の性質を説明しました。

量子力学のいくつかの標準的な解釈によれば、微視的現象は客観的にランダムである。^[12]つまり、因果的に関連するすべてのパラメータを制御する実験では、結果のいくつかの側面は依然としてランダムに変化する。たとえば、単一の不安定な原子を制御された環境に置いた場合、原子が崩壊するのにどのくらいの時間がかかるかを予測することはできません。予測できるのは、特定の時間内に崩壊する確率だけです。 ^[13]したがって、量子力学は個々の実験の結果を指定するのではなく、確率のみを指定します。隠れた変数理論は、自然には還元不可能なランダム性があるという見解を否定します。このような理論では、ランダムに見えるプロセスでは、特定の統計分布を持つ特性が舞台裏で働いており、それぞれの場合の結果を決定すると仮定します。

現代の進化論では、観察される生命の多様性は、ランダムな遺伝子変異とそれに続く自然選択によるものとされている。後者では、変異した遺伝子を持つ個体の生存と繁殖の確率が体系的に向上するため、遺伝子プール内にランダムな変異がいくらか保持される。しかし、変異の位置は完全にランダムというわけではなく、例えば生物学的に重要な領域は変異からより保護されている可能性がある。^{[14] [15] [16]}

また、進化（そして時には発達）には、特定の形態のランダム性、つまり質的に新しい行動の導入が必要であると主張する著者もいる。いくつかの予め与えられた可能性の中から1つの可能性を選択するのではなく、このランダム性は新しい可能性の形成に対応する。^{[17] [18]}

生物の特性は、ある程度は決定論的に（例えば、遺伝子と環境の影響下で）生じ、ある程度はランダムに生じます。例えば、人の皮膚に現れるそばかすの密度は、遺伝子と光への露出によって制御されますが、個々のそばかすの正確な位置はランダムであるようです。^[19]

行動に関して言えば、動物が他の動物に予測できない行動をとる場合、ランダム性は重要です。たとえば、飛行中の昆虫は方向をランダムに変えながら移動する傾向があるため、追跡する捕食者が昆虫の軌道を予測することは困難です。

数学的な確率理論は、偶然の出来事を数学的に記述しようとする試みから生まれたもので、もともとはギャンブルの文脈で、後に物理学と関連づけられました。統計は、経験的観察の集合の根底にある確率分布を推測するために使用されます。シミュレーションを行うには、大量の乱数、または必要に応じて乱数を生成する手段が必要です。

アルゴリズム情報理論は、他のトピックの中でも、ランダムなシーケンスを構成するものを研究します。中心的な考え方は、ビットの文字列がランダムであるのは、その文字列を生成できるどのコンピュータプログラムよりも短い場合（コルモゴロフランダム性）のみであり、ランダムな文字列は圧縮できない文字列であることを意味します。この分野の先駆者には、アンドレイ・コルモゴロフと彼の学生であるペル・マーティン＝レーフ、レイ・ソロモノフ、グレゴリー・チャイティンなどがいます。無限シーケンスの概念については、数学者は一般にペル・マーティン＝レーフの半ば名を冠した定義を受け入れています。無限シーケンスがランダムであるのは、すべての再帰的に列挙可能な空集合に耐える場合のみである。^{[20]ランダムシーケンスの他の概念には、再帰的に計算可能なマルチンゲールに基づく再帰ランダム性とシュノアランダム性などがあります。これらのランダム性の概念は一般に異なることが、}ヨンゲ・ワンによって示されました。^[21]

ランダム性は、 log(2)やpiなどの数値で発生します。 pi の 10 進数は無限のシーケンスを構成し、「周期的に繰り返されることはありません」。 pi のような数値も、正規分布である可能性が高いと考えられます。

円周率は確かにそのように振舞うようです。円周率の最初の60億桁では、0から9までの各数字が約6億回現れます。しかし、このような結果は偶然である可能性もあり、10進数でも正規性を証明するものではなく、他の基数でも正規性を証明するものではありません。^[22]

統計学では、ランダム性は一般的に単純ランダム標本を作成するために使用されます。これにより、完全にランダムな人々のグループを調査することで、母集団を反映した現実的なデータを得ることができます。これを行う一般的な方法には、名前をくじ引きで引くことや、ランダム数字チャート (ランダムな数字の大きな表) を使用することなどがあります。

情報科学では、無関係または意味のないデータはノイズと見なされます。ノイズは、統計的にランダムな時間分布を持つ多数の一時的な障害で構成されます。

通信理論では、信号内のランダム性は「ノイズ」と呼ばれ、その変動のうち、原因としてソース、つまり信号に起因する要素とは対立するものです。

ランダムネットワークの発展に関して言えば、通信におけるランダム性は、ポール・エルデシュとアルフレッド・レーニの2つの単純な仮定に基づいている。彼らは、ノードの数は固定されており、この数はネットワークの存続期間中固定されたままであり、すべてのノードは同等であり、互いにランダムにリンクされていると述べた。^{[説明が必要] [23]}

ランダム ウォーク仮説では、組織化された市場における資産価格はランダムに変化すると考えられています。つまり、資産価格の変化の期待値はゼロですが、実際の値はプラスまたはマイナスになる可能性があります。より一般的には、資産価格は一般的な経済環境におけるさまざまな予測不可能なイベントの影響を受けます。

無作為抽出は、いくつかの管轄区域では同数選挙を解決するための公式な方法となり得る。 ^[24]政治における無作為抽出の使用は古くから始まっている。古代アテネでは、多くの役職が現代の投票ではなくくじ引きで選ばれていた。

ランダム性は、宇宙は過去と未来の出来事をすべて知っている全知の神によって創造されたとする宗教などの決定論的な考えと矛盾すると考えられる。宇宙に目的があると考えられる場合、ランダム性は不可能であると考えられる。これは、ランダムな遺伝的変異の結果に 非ランダムな選択が適用されると主張する進化論に対する宗教的反対の根拠の 1 つです。

ヒンズー教と仏教の哲学では、あらゆる出来事は過去の出来事の結果であるとされており、これはカルマの概念に反映されている。そのため、この概念はランダム性の考え方と矛盾しており、両者を調和させるには説明が必要である。^[25]

一部の宗教的文脈では、ランダム化と一般に考えられている手順が占いに使用されます。神学占術では、骨やサイコロを投げて神の意志と見られるものを明らかにします。

数学的、政治的、社会的、宗教的な用途のほとんどにおいて、ランダム性はその本質的な「公平性」と偏見のなさのために使用されます。

政治:アテネの民主主義は、イソノミア(政治的権利の平等)の概念に基づいており、複雑な割り当てマシンを使用して、アテネを運営する統治委員会の役職が公平に割り当てられるようにしました。割り当ては現在、アングロサクソンの法制度における陪審員の選出、および陪審員の選出や徴兵くじなど、ランダム化によって「公平性」が近似される状況に限定されています。

ゲーム: 乱数はギャンブルの文脈で初めて研究され、サイコロ、トランプのシャッフル、ルーレットホイールなど、多くのランダム化デバイスはギャンブルで使用するために最初に開発されました。乱数を公平に生成する機能は電子ギャンブルに不可欠であり、そのため、乱数を生成するために使用される方法は通常、政府のゲーム管理委員会によって規制されています。ランダム抽選は、宝くじの当選者を決定するためにも使用されます。実際、ランダム性は歴史を通じて運任せのゲームに使用され、公平な方法で個人を不要なタスクに選択するために使用されてきました (くじ引きを参照)。

スポーツ:アメリカンフットボールなどの一部のスポーツでは、コイントスで試合の開始条件をランダムに選択したり、ポストシーズンの試合で同順位のチームをシード順に選んだりします。全米バスケットボール協会は、ドラフトでチームの順位を決めるために加重抽選を使用します。

数学: 乱数は、世論調査のサンプリングや品質管理システムの統計的サンプリングなど、数学的に重要な用途にも使用されます。モンテカルロ法や遺伝的アルゴリズムなど、一部の種類の問題の計算ソリューションでは、乱数が広く使用されています。

医学：臨床介入のランダム割り当ては、対照試験（ランダム化対照試験など）におけるバイアスを減らすために使用されます。

宗教: ランダムであることを意図してはいませんが、クレロマンシーなどのさまざまな形式の占いでは、ランダムな出来事のように見えるものを、神が意志を伝える手段と見なします (詳細については、自由意志と決定論も参照)。

システム内の（一見）ランダムな動作の原因となるメカニズムが 3 つ存在するということは、一般的に認められています。

1. 環境から生じるランダム性(たとえば、ブラウン運動、ハードウェア乱数ジェネレーターなど)。
2. 初期条件から生じるランダム性。この側面はカオス理論によって研究されており、初期条件の小さな変化に対して動作が非常に敏感なシステム（パチンコ機やサイコロなど）で観察されます。
3. システムによって本質的に生成されるランダム性。これは擬似ランダム性とも呼ばれ、擬似乱数ジェネレータで使用される種類です。擬似乱数を生成するためのアルゴリズム (算術またはセルオートマトンに基づく) は多数あります。システムの動作は、シード状態と使用されるアルゴリズムを知ることで決定できます。これらの方法は、環境から「真の」ランダム性を取得するよりも速いことがよくあります。

ランダム性のさまざまな応用により、ランダム データを生成するためのさまざまな方法が生まれました。これらの方法は、予測不可能性や統計的ランダム性の程度、および乱数を生成できる速度が異なります。

計算乱数ジェネレータが登場する前は、統計学で重要な、十分にランダムな大量の数を生成するには、多大な労力が必要でした。結果は、乱数表として収集され、配布されることもありました。

バイナリシーケンスのランダム性を測る実用的な尺度は数多くある。これには、頻度、離散変換、複雑さ、またはこれらの組み合わせに基づく尺度が含まれる。例えば、Kak、Phillips、Yuen、Hopkins、BethとDai、Mund、MarsagliaとZamanによるテストなどである。^[26]

量子非局所性は、与えられた数列における真のランダム性または強いランダム性の存在を証明するために使用されてきた。^[27]

ランダム性に関する一般的な認識はしばしば誤解されており、誤った推論や直感に基づいていることがほとんどです。

この議論は、「数字をランダムに選択すると、すべての数字が最終的に表示されるため、まだ表示されていない数字は「予定」であり、したがってすぐに表示される可能性が高くなります。」というものです。この論理は、トランプが引かれてデッキに戻されない場合など、表示された数字がシステムから削除されるシステムに適用される場合にのみ正しいです。この場合、ジャックがデッキから削除されると、次に引かれるカードがジャックである可能性は低くなり、他のカードである可能性が高くなります。ただし、ジャックがデッキに戻され、デッキが完全に再シャッフルされると、ジャックが他のカードと同じ可能性で引かれます。同じことは、サイコロを振る、コインを投げる、またはほとんどの宝くじの番号選択スキームなど、オブジェクトが独立して選択され、各イベントの後に何も削除されない他のプロセスにも当てはまります。このような真にランダムなプロセスにはメモリがないため、過去の結果が将来の結果に影響を与えることは不可能です。実際、成功を保証できる試行回数は限られていません。

ランダムな数字の列では、過去にあまり出なかった数字は呪われた数字であると言われ、将来もあまり出ないと考えられる。また、過去に他の数字よりも多く出た数字は祝福された数字であると考えられ、将来もより多く出ると考えられる。この論理は、ランダム化が偏っている可能性がある場合にのみ有効である。たとえば、サイコロが不正操作されている疑いがある場合、6 が十分に出ないことがその不正操作の証拠となる。サイコロが公平であることがわかっている場合、以前のサイコロの出目は将来の出来事を示唆するものではない。

自然界では、事前にわかっている頻度でイベントが発生することはめったにないため、結果を観察してどのイベントがより起こりやすいかを判断するのは理にかなっています。ただし、シャッフルされたカード、サイコロ、ルーレットホイールなど、すべての結果が等しく起こるように設計され、知られているシステムにこの論理を適用するのは誤りです。

シナリオの開始時には、特定のイベントの確率を計算する場合があります。ただし、シナリオについてより多くの情報が得られると、それに応じて確率を再計算する必要がある場合があります。

たとえば、ある女性に 2 人の子供がいると聞かされたとき、どちらかが女の子かどうか、また女の子の場合、もう 1 人の子供も女の子である確率はどれくらいか、知りたいと思うかもしれません。2 つのイベントを個別に考えると、もう 1 人の子供が女の子である確率は ½ (50%) であると予想されますが、すべての可能性のある結果を示す確率空間を構築すると、その確率は実際には ⅓ (33%) にすぎないことがわかります。

確かに、確率空間は、この2人の子供が生まれる4つの方法を示しています。男の子と男の子、女の子と男の子、男の子と女の子、女の子と女の子です。しかし、少なくとも1人の子供が女の子であることがわかると、男の子と男の子のシナリオは除外され、2人の子供が生まれる方法は男の子と女の子、女の子と男の子、女の子と女の子の3つだけになります。このことから、これらのシナリオの1/3だけが、もう1人の子供も女の子であることがわかります^{[28] （詳細については、} 「男の子か女の子かのパラドックス」を参照）。

一般的に、確率空間を使用すると、可能性のあるシナリオを見逃したり、新しい情報の重要性を無視したりする可能性が低くなります。この手法は、モンティホール問題などの他の状況で洞察を提供するために使用できます。モンティホール問題は、3つのドアの1つの後ろに車が隠されており、他のドアの後ろに2匹のヤギがブービー賞として隠されているゲームショーのシナリオです。出場者がドアを選択すると、司会者は残りのドアの1つを開けてヤギを明らかにし、そのドアを選択肢から除外します。ドアは2つしか残っていないため（1つは車があり、もう1つは別のヤギがあります）、プレーヤーは決定を維持するか、切り替えてもう一方のドアを選択するかを決定する必要があります。直感的には、プレーヤーは2つのドアから同じ確率で選択しており、別のドアを選択する機会があっても違いはないと考えるかもしれません。しかし、確率空間を分析すると、出場者は新しい情報を受け取っており、もう一方のドアに変更すると勝つ可能性が高くなることがわかります。^[28]

• デボラ・J・ベネット著『ランダムネス』ハーバード大学出版局、1998年。ISBN 0-674-10745-4。 
• Random Measures、第 4 版、Olav Kallenberg著。Academic Press、ニューヨーク、ロンドン、Akademie-Verlag、ベルリン、1986 年。MR 0854102。
• コンピュータプログラミングの芸術。第2巻：半数値アルゴリズム、第3版、Donald E. Knuth著。マサチューセッツ州レディング：Addison-Wesley、1997年。ISBN 0-201-89684-2。 
• ランダムネスに騙されて、第 2 版ナシム・ニコラス・タレブ著。トムソン・テクセレ、2004 年。ISBN 1-58799-190 -X。 
• グレゴリー・チャイティン著『ランダム性の探究』Springer -Verlag London、2001年。ISBN 1-85233-417-7。 
• Kenneth Chan のRandomには、ランダム性のレベルを評価するための「ランダム スケール」が含まれています。
• 『酔っぱらいの散歩：偶然が私たちの人生を支配する方法』、レナード・ムロディノウ著。パンテオン・ブックス、ニューヨーク、2008年。ISBN 978-0-375-42404-5。 

Wikiversityにはランダムに関する学習リソースがあります

無料辞書のウィクショナリーで「ランダム性」を調べてください。

Wikiquote にRandomnessに関する引用があります。

ウィキメディア・コモンズには、ランダム性に関連するメディアがあります。

• QuantumLab インタラクティブな実験として単一光子を使用した量子乱数ジェネレーター。
• HotBits は放射性崩壊から乱数を生成します。
• QRBG 量子ランダムビットジェネレータ
• QRNG 高速量子ランダムビットジェネレータ
• チャイティン：ランダム性と数学的証明
• 疑似乱数列テストプログラム (パブリック ドメイン)
• 思想史辞典: 偶然
• 偶然性とランダム性、スタンフォード哲学百科事典より