単純ランダムサンプル

統計学において、単純無作為標本（SRS）とは、より大きな集合（母集団）から選ばれた個体のサブセット（標本）であり、個体のサブセットはすべて同じ確率でランダムに選ばれる。これは標本をランダムに選択するプロセスである。SRSでは、k人の個体の各サブセットが標本として選ばれる確率は、他のk人の個体のサブセットと同じである。^[1]単純無作為標本抽出は基本的なタイプの標本抽出であり、他のより複雑な標本抽出方法の構成要素となることができる。^[2]

導入

単純ランダムサンプリングの原理は、同じ数のアイテムを含むすべてのセットが選択される確率が同じであるということです。たとえば、N人の大学生がバスケットボールの試合のチケットを入手したいが、チケットの数がX < N枚しかないため、誰が試合に行けるかを公平に判断することにしたとします。次に、全員に 0 からN -1 までの範囲の番号が与えられ、電子的に、または乱数表から乱数が生成されます。0 からN -1 の範囲外の番号は無視され、以前に選択された番号も無視されます。最初のX の番号が、チケットの幸運な当選者を特定します。

小規模な母集団、そして多くの場合は大規模母集団において、このようなサンプリングは通常「非置換」で行われる。つまり、母集団のどのメンバーも複数回選択しないように意図的に行う。単純無作為抽出を置換で実施することもできるが、これはあまり一般的ではなく、通常はより詳細には置換を伴う単純無作為抽出と説明される。非置換で行われるサンプリングはもはや独立ではないが、それでも交換可能性を満たすため、数理統計学のほとんどの結果は依然として成立する。さらに、大規模母集団からの小さなサンプルの場合、同じ個人を2回選択する確率が低いため、非置換サンプリングは置換を伴うサンプリングとほぼ同じである。調査方法論の教科書では、一般に、他のサンプリング手法の相対的な効率を計算するためのベンチマークとして、非置換を伴う単純無作為抽出が考慮されている。^[3]

個人の偏りのないランダムな選択は重要であり、多くのサンプルを抽出した場合、平均サンプルは正確に母集団を代表することになります。ただし、これは特定のサンプルが母集団を完全に代表することを保証するものではありません。単純ランダムサンプリングでは、サンプルに基づいて母集団全体について外部的に有効な結論を導き出すことしかできません。この概念は、母集団が地理的領域である場合にも拡張できます。^[4]この場合、エリアサンプリングフレームが関連します。

概念的には、単純ランダムサンプリングは確率サンプリング手法の中で最も単純です。完全なサンプリングフレームが必要ですが、大規模な母集団では、フレームが利用できないか、構築が不可能な場合があります。完全なフレームが利用できる場合でも、母集団内のユニットに関する他の有用な情報が利用できる場合は、より効率的なアプローチが可能な場合があります。

利点は、分類エラーがなく、フレーム以外の母集団に関する事前の知識が最小限で済むことです。また、単純であるため、この方法で収集されたデータを解釈するのは比較的簡単です。これらの理由から、単純ランダムサンプリングは、母集団に関する情報があまりなく、ランダムに分布する項目で効率的にデータ収集を行える場合、またはサンプリングのコストが小さく、効率よりも単純さが重要視されない場合に最適です。これらの条件が満たされない場合は、層別サンプリングまたはクラスターサンプリングの方が適している可能性があります。

単純無作為標本と他の方法との関係

等確率サンプリング (epsem)

個々のユニットが選択される可能性が同じであるサンプリング方法は、等確率サンプリング(略して epsem) と呼ばれます。

単純無作為標本を使用すると常にepsemが得られますが、すべてのepsem標本がSRSであるとは限りません。たとえば、教師が5行6列に配置されたクラスを担当していて、5人の生徒の無作為標本を採取したい場合、6列のうちの1つを無作為に選ぶかもしれません。これはepsem標本になりますが、ここでは5人の生徒のすべてのサブセットが等しくあり得るわけではありません。1列として配置されているサブセットのみが選択の対象となるからです。また、多段階サンプリングを構築する方法もありますが、これはsrsではなく、最終的な標本はepsemになります。^[5]たとえば、体系的無作為標本抽出では、個々の単位が含まれる確率は同じですが、単位のセットが異なると選択される確率が異なります。

epsem のサンプルは自己重み付けされており、各サンプルの選択確率の逆数が等しいことを意味します。

の区別体系的ランダムサンプル単純ランダムサンプル

1000 人の生徒がいる学校を考えてみましょう。研究者が、さらに調査するためにそのうちの 100 人を選びたいとします。生徒全員の名前を 1 つのバケツに入れ、その中から 100 人を選び出すとします。各人が選ばれる可能性は等しいだけでなく、サンプルサイズ ( n ) と母数 ( N )がわかっているので、特定の人が選ばれる確率 ( P ) を簡単に計算できます。

1. 特定の人物が 1 回しか選択できない場合 (つまり、選択された後、その人物は選択プールから削除される)。

{\begin{aligned}P&=1-{\frac {N-1}{N}}\cdot {\frac {N-2}{N-1}}\cdot \cdots \cdot {\frac {Nn}{N-(n-1)}}\\[8pt]&{\stackrel {\text{キャンセル:}}{=}}1-{\frac {Nn}{N}}\\[8pt]&={\frac {n}{N}}\\[8pt]&={\frac {100}{1000}}\\[8pt]&=10\%\end{aligned}}

2. 選ばれた人物が再び選出プールに戻される場合（つまり、複数回選出される可能性がある場合）:

P=1-\left(1-{\frac {1}{N}}\right)^{n}=1-\left({\frac {999}{1000}}\right)^{100}=0.0952\dots \approx 9.5\%

これは、この方法を使用すると、学校のすべての生徒が選ばれる可能性が 10 分の 1 程度あることを意味します。さらに、100 人の生徒のどの組み合わせでも、選ばれる確率は同じです。

体系的なパターンがランダムサンプリングに導入された場合、それは「体系的 (ランダム) サンプリング」と呼ばれます。たとえば、学校の生徒の名前に 0001 から 1000 までの番号が付けられていて、ランダムな開始点 (たとえば 0533) を選択し、その後 10 人ごとに名前を選択して 100 人のサンプルを作成します (0993 に達した後は 0003 から開始します)。この意味で、この手法はクラスターサンプリングに似ています。最初のユニットの選択によって残りが決まるからです。これはもはや単純なランダムサンプリングではありません。100 人の生徒の組み合わせの中には、他の組み合わせよりも選択確率が高いものがあるためです。たとえば、{3、13、23、...、993} は 1/10 の確率で選択されますが、{1、2、3、...、100} はこの方法では選択できません。

二分母集団のサンプリング

母集団の要素が「青」「赤」「黒」の3種類である場合、与えられたサイズの標本における赤の要素の数は標本ごとに異なるため、分布を調べることができるランダム変数になります。その分布は、母集団全体の赤と黒の要素の数に依存します。復元ありの単純ランダム標本の場合、分布は二項分布です。復元なしの単純ランダム標本の場合、超幾何分布が得られます。^[6]

アルゴリズム

単純ランダムサンプリングのための効率的なアルゴリズムがいくつか開発されている。^[7]^[8]素朴なアルゴリズムは、各ステップでそのステップのアイテムをセットから等確率で削除し、そのアイテムをサンプルに入れる、draw-by-drawアルゴリズムである。必要なサイズのサンプルが得られるまでこれを続ける。この方法の欠点は、セット内でランダムアクセスが必要になることである。 $k$

1962年にFanらによって開発された選択拒否アルゴリズム^[9]では、データに対して1回のパスが必要ですが、これはシーケンシャルアルゴリズムであり、アイテムの合計数を知る必要があり、ストリーミングシナリオでは利用できません。 $n$

非常に単純なランダムソートアルゴリズムは、1977年にサンターによって証明されました。^[10]このアルゴリズムは、均一分布から抽出された乱数を各項目のキーとして割り当て、キーを使用してすべての項目をソートし、最小の項目を選択するだけです。 $(0,1)$ $k$

J. Vitterは1985年に^{[11]広く使用されている}リザーバーサンプリングアルゴリズムを提案しました。このアルゴリズムは、事前に集団のサイズを知る必要がなく、一定の空間を使用します。 $n$

ランダムサンプリングは、サンプル間のギャップの分布からサンプリングし、ギャップをスキップすることによっても加速される^{[12] 。}

参照

参考文献

^ イェーツ、ダニエル・S.、デビッド・S・ムーア、ダレン・S・スターンズ（2008年）。統計の実践、第3版。フリーマン。ISBN 978-0-7167-7309-2。
^ トンプソン、スティーブン・K. (2012)。サンプリング。ワイリー確率統計シリーズ（第3版）。ニュージャージー州ホーボーケン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-1-118-16293-4。
^ Cochran, William Gemmell (1977).サンプリング手法. Wiley シリーズ確率と数理統計 (第 3 版). ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-16240-7。
^ クレッシー、ノエルAC（2015）。空間データのための統計（改訂版）。ホーボーケン、ニュージャージー：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 978-1-119-11517-5。
^ Peters, Tim J.、およびJenny I. Eachus。「さまざまなランダムサンプリング戦略の下での選択の均等確率の達成」小児科および周産期疫学9.2（1995）：219-224。
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外部リンク

ウィキメディア・コモンズのランダムサンプリングに関連するメディア

[1] イェーツ、ダニエル・S.、デビッド・S・ムーア、ダレン・S・スターンズ（2008年）。統計の実践、第3版。フリーマン。ISBN 978-0-7167-7309-2。

[2] トンプソン、スティーブン・K. (2012)。サンプリング。ワイリー確率統計シリーズ（第3版）。ニュージャージー州ホーボーケン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-1-118-16293-4。

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[8] Meng, Xiangrui (2013). 「スケーラブルな単純ランダムサンプリングと層別サンプリング」(PDF)。第30回国際機械学習会議(ICML-13)の議事録: 531–539。

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[11] Vitter, Jeffrey S. (1985-03-01). 「リザーバーによるランダムサンプリング」. ACM Trans. Math. Softw . 11 (1): 37–57. CiteSeerX 10.1.1.138.784 . doi :10.1145/3147.3165. ISSN 0098-3500.

[12] Vitter, Jeffrey S. (1984-07-01). 「ランダムサンプリングの高速化方法」Communications of the ACM . 27 (7): 703–718. CiteSeerX 10.1.1.329.6400 . doi :10.1145/358105.893. ISSN 0001-0782.

導入