確率空間

確率論において、確率空間または確率三重項は、 ランダムなプロセスまたは「実験」の形式モデルを提供する数学的構成です。たとえば、サイコロを投げる動作をモデル化する確率空間を定義できます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

確率空間は3つの要素から構成される: ^{[1] [2]}

1. サンプル空間、これはすべての可能な結果の集合です。${\displaystyle \Omega }$
2. イベント空間は、イベントの集合であり、イベントは標本空間内の結果の集合です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
3. 確率関数 は、イベント空間内の各イベントに、 0 から 1 までの範囲の数値である確率を割り当てます。${\displaystyle P}$

確率のモデルを提供するには、これらの要素が確率公理を満たしている必要があります。

標準的なサイコロを投げる例では、

1. 標本空間は通常、セット内の各要素がラベルであり、そのラベルにサイコロが止まった場合の結果を表します。たとえば、はサイコロが 1 に止まった場合の結果を表します。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$${\displaystyle 1}$
2. イベント空間は、サンプル空間のすべてのサブセットの集合である可能性があり、これには「サイコロが 5 になる」などの単純なイベントだけでなく、「サイコロが偶数になる」などの複雑なイベントも含まれます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \{5\}}$${\displaystyle \{2,4,6\}}$
3. 確率関数は、各イベントを、そのイベントの結果の数を 6 で割った値にマッピングします。たとえば、 はにマッピングされ、は にマッピングされます。${\displaystyle P}$${\displaystyle \{5\}}$${\displaystyle 1/6}$${\displaystyle \{2,4,6\}}$${\displaystyle 3/6=1/2}$

実験が行われると、サンプル空間から正確に 1 つの結果がもたらされます。選択された結果を含むイベント空間内のすべてのイベントは、「発生した」とみなされます。確率関数は、実験が任意の回数繰り返された場合、実験の総数に対する各イベントの発生回数の割合が、そのイベントに割り当てられた確率に近づくように定義する必要があります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle P}$

ソ連の数学者アンドレイ・コルモゴロフは、1930年代に確率空間の概念と確率の公理を導入しました。現代の確率論では、確率変数の代数など、公理化のための代替アプローチがあります。

確率空間は、現実世界の特定の状況のモデルを表す数学的な 3 つ組です。他のモデルと同様に、その作成者は最終的に、、およびにどの要素が含まれるかを定義します。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$

• サンプル空間は 、すべての可能な結果の集合です。結果は、モデルの 1 回の実行の結果です。結果は、自然の状態、可能性、実験結果などです。現実世界の状況 (または実験の実行) のすべてのインスタンスは、必ず 1 つの結果を生成する必要があります。実験の異なる実行の結果が重要な点で異なる場合、それらは異なる結果です。どの違いが重要かは、実行する分析の種類によって異なります。これにより、サンプル空間の選択が異なります。${\displaystyle \Omega }$
• σ 代数は、 検討したいすべてのイベントの集合です。この集合には、基本イベントのそれぞれが含まれる場合と含まれない場合があります。ここで、「イベント」とは、0 個以上の結果の集合、つまりサンプル空間のサブセットです。実験中にイベントが「発生した」と見なされるのは、後者の結果がイベントの要素である場合です。同じ結果が多くのイベントのメンバーになる可能性があるため、1 つの結果に対して多くのイベントが発生する可能性があります。たとえば、試行が 2 つのサイコロを投げることである場合、合計が 7目になるすべての結果の集合が1 つのイベントを構成し、奇数の目が出る結果は別のイベントを構成する可能性があります。結果が、最初のサイコロで 2 目、2 番目のサイコロで 5 目という基本イベントの要素である場合、「7 目」と「奇数の目」の両方のイベントが発生したとみなされます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 確率測度 は、イベントの確率を返す集合関数です。確率は、0 (あり得ないイベントの確率は 0 ですが、確率 0 のイベントは必ずしもあり得ないわけではありません) から 1 (イベントはほぼ確実に、ほぼ完全な確実性で発生する) までの実数です。したがって、は関数 です。確率測度関数は、2 つの簡単な要件を満たす必要があります。まず、相互に排他的なイベントの可算な和の確率は、これらの各イベントの確率の可算な和に等しくなければなりません。たとえば、1 回のコイン投げのランダム実験における相互に排他的なイベントと の和の確率は、の確率と の確率の合計です。2 番目に、標本空間の確率は1 に等しくなければなりません (これは、モデルを実行すると、何らかの結果が発生するという事実を説明しています)。前の例では、結果の集合の確率は1 に等しくなければなりません。これは、1 回のコイン投げで結果がまたは(モデルは他の可能性を無視します) のいずれかになることが完全に確実であるためです。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1].}$${\displaystyle {\text{Head}}}$${\displaystyle {\text{Tail}}}$${\displaystyle P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})}$${\displaystyle {\text{Head}}}$${\displaystyle {\text{Tail}}}$${\displaystyle P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})}$${\displaystyle {\text{Head}}}$${\displaystyle {\text{Tail}}}$

標本空間のすべてのサブセットを必ずしもイベントと見なす必要はありません。サブセットの一部は単に興味の対象ではなく、その他のサブセットは「測定」できません。これは、コイントスのようなケースではそれほど明白ではありません。別の例として、やり投げの長さを考えてみましょう。この場合、イベントは通常「60 メートルから 65 メートルの間」のような間隔やそのような間隔の和集合ですが、「60 メートルから 65 メートルの間の無理数」のような集合ではありません。 ${\displaystyle \Omega }$

つまり、確率空間とは、空間全体の測度が 1 に等しい 測度空間です。

拡張された定義は次のようになります: 確率空間は次の 3 つから構成される 3 つです: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

• 標本空間 – 任意の空でない集合、${\displaystyle \Omega }$
• σ-代数 （σ-体とも呼ばれる） -事象と呼ばれるのサブセットの集合であり、次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$${\displaystyle \Omega }$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$標本空間が含まれます: 、${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は補集合に関して閉じている: ならば、 もまた、${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は可算 和について閉じている：に対してならば、${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle i=1,2,\dots }$${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • 前の2つの性質とド・モルガンの法則からの系は、も可算交差に関して閉じているということである。に対してならば、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle i=1,2,\dots }$${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• 確率測度 –次のような関数: ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
  • Pは可算加法（σ加法とも呼ばれる）である。つまり、が互いに素な集合の可算な集合である場合、${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • 標本空間全体の測度は 1 に等しくなります。${\displaystyle P(\Omega )=1}$

離散確率論では、最大で可算な標本空間のみが必要です。確率は、となる確率質量関数によっての点に帰属できます。 のすべての部分集合はイベントとして扱うことができます (したがって、は冪集合です)。確率測度は、単純な形式をとります。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

最大 σ 代数は完全な情報を記述します。一般に、σ 代数は有限または可算な分割に対応し、イベントの一般的な形式はです。例も参照してください。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$

このケースは定義によって許可されていますが、サンプル空間から安全に除外できるため、めったに使用されません。 ${\displaystyle p(\omega )=0}$${\displaystyle \omega }$

Ωが非可算な場合でも、一部のωに対してP ( ω ) ≠ 0となることがあります。このようなω は原子と呼ばれます。原子は最大で可算な (空の場合もある) 集合であり、その確率はすべての原子の確率の合計です。この合計が 1 に等しい場合、他のすべての点はサンプル空間から安全に除外でき、離散的なケースに戻ります。そうでない場合、すべての原子の確率の合計が 0 から 1 の間であれば、確率空間は離散 (原子) 部分 (空の場合もある) と非原子部分に分解されます。

すべてのω ∈ Ωに対してP ( ω ) = 0の場合(この場合、 Ω は非可算でなければなりません。そうでなければ、P(Ω) = 1 を満たすことができないからです)、式 ( ⁎ ) は成り立ちません。集合の確率は、必ずしもその要素の確率の合計ではありません。これは、合計が要素の可算な数に対してのみ定義されているためです。これにより、確率空間理論がはるかに技術的になります。合計よりも強力な定式化である測度論が適用可能です。最初に、確率はいくつかの「生成」集合に帰属します (例を参照)。次に、制限手順により、生成集合のシーケンスの極限、または極限の極限などの集合に確率を割り当てることができます。これらの集合はすべて σ 代数 です。技術的な詳細については、カラテオドリの拡張定理を参照してください。 に属する集合は測定可能と呼ばれます。一般に、それらは生成集合よりもはるかに複雑ですが、測定不可能な集合よりはるかに優れています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

確率空間は、すべての に対して であり、すべてのである場合、完全確率空間であるといわれます。多くの場合、確率空間の研究は完全確率空間に限定されます。 ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle A\;\subset \;B}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

実験が公平なコインを 1 回投げるだけの場合、結果は表か裏のいずれかになります。σ代数には、(「表」)、(「裏」)、(「表でも裏でもない」)、 (「表か裏のどちらか」) というイベントが含まれます。言い換えると、です。表が出る可能性は 50 パーセント、裏が出る可能性は 50 パーセントなので、この例の確率の測度は、、、です 。${\displaystyle \Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle \{{\text{H}}\}}$${\displaystyle \{{\text{T}}\}}$${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \{{\text{H}},{\text{T}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}}$${\displaystyle P(\{\})=0}$${\displaystyle P(\{{\text{H}}\})=0.5}$${\displaystyle P(\{{\text{T}}\})=0.5}$${\displaystyle P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1}$

公平なコインを 3 回投げます。結果は 8 通り考えられます: Ω = {HHH、HHT、HTH、HTT、THH、THT、TTH、TTT} (ここで、たとえば「HTH」は、コインが 1 回目に表、2 回目に裏、そして最後に再び表になったことを意味します)。完全な情報は、 2 ⁸ = 256イベントのσ 代数によって記述されます。各イベントは Ω のサブセットです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

アリスは2回目のトスの出目しか知りません。したがって、彼女の不完全な情報は、分割Ω = A ₁ ⊔ A ₂ = {HHH、HHT、THH、THT} ⊔ {HTH、HTT、TTH、TTT}（ここで、⊔ は互いに素な和）と、対応する σ-代数 によって記述されます。ブライアンは、表の総数しか知りません。彼の分割には、4つの部分が含まれます。Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ B ₂ ⊔ B ₃ = {HHH} ⊔ {HHT、HTH、THH} ⊔ {TTH、THT、HTT} ⊔ {TTT}。したがって、彼の σ-代数には、2 ⁴ = 16 個のイベントが含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

2 つの σ 代数は比較できません。 もでもなく、両方とも 2 ^Ωのサブ σ 代数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

カリフォルニア州の有権者全員から 100 人の有権者を無作為に抽出し、知事に誰に投票するかを尋ねた場合、カリフォルニア州の有権者 100 人のすべてのシーケンスの集合がサンプル空間 Ω になります。ここでは、非置換サンプリングが使用されるものと想定します。つまり、100 人の異なる有権者のシーケンスのみが許可されます。簡単にするために、順序付きサンプル、つまりシーケンス (Alice、Bryan) がシーケンス (Bryan、Alice) と異なるものを検討します。また、各潜在的有権者が将来の選択を正確に知っていること、つまりランダムに選択しないことを前提とします。

アリスは、アーノルド・シュワルツェネッガーが少なくとも 60 票を獲得したかどうかしか知りません。彼女の不完全な情報は、次のものを含む σ 代数によって記述されます: (1) Ω 内で少なくとも 60 人がシュワルツェネッガーに投票したすべてのシーケンスの集合、(2) 60 人未満がシュワルツェネッガーに投票したすべてのシーケンスの集合、(3) サンプル空間 Ω 全体、および (4) 空集合 ∅。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

ブライアンはシュワルツェネッガーに投票する有権者の正確な数を知っています。彼の不完全情報は対応するパーティションΩ = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ ⋯ ⊔ B ₁₀₀で記述され、σ 代数は2 ^{101 個の}イベントで構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

この場合、アリスのσ-代数はブライアンのσ-代数のサブセットです。ブライアンのσ-代数は、 2 ^{n ( n −1)⋯( n −99)}個のイベントで構成される、はるかに大きな「完全情報」σ-代数 2 ^Ωのサブセットです。ここで、n はカリフォルニア州のすべての潜在的な有権者の数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

0 から 1 までの数字がランダムに一様に選択されます。ここで、Ω = [0,1] はΩ 上のボレル集合の σ 代数であり、P は[0,1] 上の ルベーグ測度です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

この場合、 0 < a < b < 1である( a , b )の形式の開区間を生成子集合としてとることができます。このような各集合には、確率P (( a , b )) = ( b − a )を割り当てることができ、これは[0,1] 上のルベーグ測度と Ω 上のボレル σ 代数を生成します。

公平なコインをエンドレスに投げます。ここで、 Ω = {0,1} ^∞、つまり 0 と 1 の無限の数列すべての集合を取ることができます。円筒集合 {( x ₁、x ₂、 ...) ∈ Ω : x ₁ = a ₁、 ...、x _n = a _n }は、生成集合として使用できます。このような集合はそれぞれ、最初のn回の投げで固定のシーケンス( a ₁、 ...、a _n )が得られ、シーケンスの残りは任意になる可能性があるイベントを表します。このような各イベントには、当然 2 ^{− n}の確率を与えることができます。

これら 2 つの非原子的な例は密接に関連しています。つまり、シーケンス( x ₁、x ₂、 ...) ∈ {0,1} ^∞は、数2 ⁻¹ x ₁ + 2 ⁻² x ₂ + ⋯ ∈ [0,1]につながります。ただし、これは{0,1} ^∞と [0,1]の間の1 対 1 対応ではありません。これは、ゼロを法とする同型であり、2 つの確率空間を同じ確率空間の 2 つの形式として扱うことができます。実際、すべての非病的な非原子確率空間は、この意味で同じです。これらは、いわゆる標準確率空間です。確率空間の基本的なアプリケーションは、標準性には影響されません。ただし、非離散条件付けは、標準確率空間では簡単かつ自然です。そうでない場合は、わかりにくくなります。

ランダム変数Xは、標本空間Ωから状態空間と呼ばれる別の測定可能な空間Sへの測定可能な関数 X : Ω → Sです。

A ⊂ Sの場合、表記法 Pr( X ∈ A ) は の一般的な省略形として使用されます。 ${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$

Ω が可算である場合、ほとんどの場合、 を Ω の冪集合として定義します。つまり、これは自明に σ 代数であり、Ω を使用して作成できる最大の代数です。したがって、確率空間を定義するには、 を省略して (Ω,P) と記述します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

一方、Ω が非可算でを使用すると、確率測度Pの定義が困難になります。これは、 が「大きすぎる」ためです。つまり、一意の測度を割り当てることが不可能な集合が頻繁に存在することになります。この場合、より小さな σ 代数、たとえばΩ のボレル代数を使用する必要があります。これは、すべての開集合を測定可能にする最小の σ 代数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

コルモゴロフの確率空間の定義により、条件付き確率という自然な概念が生まれます。確率がゼロでない集合A (つまり、P ( A ) > 0 ) は、その空間上の別の確率測度を定義します 。これは通常、「 Aが与えられた場合のB の確率」と発音されます。 $${\displaystyle P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}}$$

P ( A )>0となる任意のイベントAについて、すべてのイベントBに対してQ ( B )= P ( B  |  A )で定義される関数Qは、それ自体が確率測度である。

2つの事象AとBは、P ( A∩B ) = P ( A ) P ( B )のとき独立していると言われます。

2 つのランダム変数XとY は、 Xに関して定義される任意のイベントがYに関して定義される任意のイベントから独立している場合、独立していると言われます。正式には、これらは独立した σ-代数を生成します。ここで、 Fのサブセットである2 つの σ-代数GとH は、Gの任意の要素がHの任意の要素から独立している場合、独立していると言われます。

2 つのイベントAとB は、一方の発生が他方の発生の不在を意味する場合、つまりそれらの交差が空である場合、相互に排他的または互いに素であると言われます。これは、それらの交差の確率がゼロであるよりも強い条件です。

AとB が互いに素なイベントである場合、P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )となります。これは、（有限または可算無限の）イベントのシーケンスに拡張されます。ただし、可算でないイベント セットの結合の確率は、それらの確率の合計ではありません。たとえば、Z が正規分布するランダム変数である場合、P ( Z = x )は任意のxに対して 0 ですが、P ( Z ∈ R ) = 1です。

イベントA ∩ B は「 AかつB 」と呼ばれ、イベントA ∪ B は「AまたはB」と呼ばれます。

• 宇宙（数学）
• スペースを測定する
• ファジィ測度理論
• フィルタリングされた確率空間
• タラグランドの濃度不平等

• ピエール・シモン・ド・ラプラス（1812）確率の解析理論

微積分と確率論を融合した最初の主要な論文、原文はフランス語: Théorie Analytique des Probabilités。

• アンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフ（1950）確率論の基礎

確率論の現代の測度理論的基礎。オリジナルのドイツ語版 ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) は 1933 年に出版されました。

• ハロルド・ジェフリーズ（1939）確率論

確率論の基礎に対する経験主義的ベイズ的アプローチ。

• エドワード・ネルソン(1987)根本的に初歩的な確率論

非標準解析に基づく確率論の基礎。ダウンロード可能。http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• パトリック・ビリングスリー：確率と測定、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク、トロント、ロンドン、1979年。
• ヘンク・ティムス (2004)確率の理解

初心者のための確率論のわかりやすい入門書、ケンブリッジ大学出版局。

• デビッド・ウィリアムズ (1991)マルチンゲールによる確率

測度理論的確率の学部生向け入門、ケンブリッジ大学出版局。

• ガット、アラン（2005）。確率：大学院コース。シュプリンガー。ISBN 0-387-22833-0。

• サゾノフ、VV (2001) [1994]、「確率空間」、数学百科事典、EMS プレス
• サイコロの確率空間を示すアニメーション
• 確率と統計の仮想実験室（主著者カイル・シーグリスト）、特に確率空間
• シチズンディウム
• 完全な確率空間
• Weisstein, Eric W.「確率空間」。MathWorld。