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天文学において、歳差運動とは、重力によって引き起こされる、天体の自転軸の向きのゆっくりとした連続的な変化のことです。歳差運動がない場合、天体の軌道は軸平行になります。[ 2 ]特に、地球の歳差運動は、地球の自転軸の向きの緩やかな変化です。約26,000年の周期があり、半開口が約23.4°の二重円錐を描きます。この角度は黄道傾斜角として知られています。[ 1 ]これは、回転するコマの歳差運動に似ています。「歳差運動」という用語は通常、この運動の最も大きな部分のみを指し、地球の軸の向きの他の変化（章動と極運動）は、はるかに小さいものです。
地球の歳差運動は、歴史的には分点歳差運動と呼ばれていました。これは、分点が黄道に沿って恒星に対して西向きに移動し、黄道に沿った太陽の年間運動とは逆の動きをしていたためです。歴史的には、 [ 3 ] 分点歳差運動の発見は、西洋では通常、紀元前2世紀の天文学者ヒッパルコスに帰せられています。19世紀前半に惑星間の重力を計算する能力が向上すると、黄道自体がわずかに移動することが認識され、これは1863年にはすでに惑星歳差運動と名付けられ、支配的な成分は月太陽歳差運動と名付けられました。[ 4 ]これらの組み合わせは、分点歳差運動の代わりに一般歳差運動と名付けられました。
月太陽歳差運動は、月と太陽の重力が地球の赤道膨らみに及ぼす影響によって、地球の自転軸が慣性空間に対して移動する現象です。惑星歳差運動（前進）は、他の惑星の重力が地球の軌道面（黄道面）に及ぼす影響の角度が小さいため、黄道面が慣性空間に対してわずかにずれる現象です。月太陽歳差運動は、惑星歳差運動の約500倍の大きさです。[ 5 ]月と太陽に加えて、他の惑星も慣性空間で地球の自転軸をわずかに動かすため、月太陽歳差と惑星歳差という用語の対比は誤解を招くため、2006年に国際天文学連合は、支配的な成分を赤道歳差、副次的な成分を黄道歳差と改名することを推奨したが、それらの組み合わせは依然として一般歳差と呼ばれている。[ 6 ]変更前の出版物には、古い用語への言及が多数存在する。
天文学で一般的に用いられる「歳差運動」という用語は、春分の日（3月）に太陽が赤道を北上する際に、背景の星々を背にして 太陽の位置が2万6000年かけてゆっくりと変化する現象を指します。これは観測可能な現象ですが、実際には春分点の位置が移動しているのではなく、星々が移動しているように見えるという錯覚によって、星々が逆行しているように見えます。物理学では、「歳差運動」という用語は、回転するコマが回転中にわずかに傾けられた際に、周囲の環境に対して向きが変化するという、これと類似した機械的プロセスを説明するために、やや異なる意味で用いられるのが一般的です。
「歳差運動」という用語は、ラテン語のpraecedere（「先行する、前に来る、より早い」）に由来します。地球から見ると、星は地球の実際の自転運動 とは反対方向に、東から西へ空を一周するよりもわずかに速い速度、つまり1時間に約15度で移動しているように見えます。星はまた、地球の自転軸を中心にさらにゆっくりと、1年に1回（1日に約1度）回転しており、これは地球の太陽の周りを公転する運動の鏡像となっています。同時に、星は地球の極軸を1年かけて周回するのと同じ方向に、通常の1年の動きよりもさらにゆっくりと移動しているのが観測されます。この後者の速度は、1年に約50秒角、つまり72年に1度、または約26,000年に1回転する速度であり、これは「歳差運動」として知られています。
天文学者は、観測される動きを説明する際に、一般的に「歳差運動」という用語を簡略化して用いる。物理学者もまた、この動きの原因を説明する際に「歳差運動」という用語を用いるため、空で観測される現象と、コマが揺れる原因となるトルクの不均衡との間で混乱が生じている。この区別は天文学にとって重要である。なぜなら、歳差運動の中には実際に存在するものもあれば、背景の星が漂流し、地球の春分点が固定されているという誤った認識によって生じる見かけ上の動きに過ぎないものもあるからである。これは、非常にゆっくりと動く基準系（地球の自転軸と公転軸）から空を観測することによる結果である。さらに、現代の天文学者のほとんどが物理学者であり、天文学と物理学の用語を混同しているため、この問題は一層複雑化している。これらの用語の微妙な違いは、分けて扱えばより理解しやすくなるはずである。
地球の自転軸の歳差運動には、いくつかの観測可能な影響があります。まず、南天と北天の極の位置は、宇宙に固定された星の背景に対して円を描いて移動しているように見え、約 26,000 年で 1 周します。したがって、現在、北極星はほぼ北天の極に位置していますが、これは時間の経過とともに変化し、他の星が「北極星」になります。[ 3 ]約 3,200 年後には、ケフェウス座のガンマ ケフェイ星が北極星に代わってこの位置になります。南天の極には現在、その位置を示す明るい星がありませんが、時間の経過とともに歳差運動によって明るい星が南の星になります。天の極が移動すると、地球上の特定の位置から見た星野全体の見かけの向きもそれに合わせて徐々に変化します。
第二に、太陽の周りを公転する地球の位置は、夏至、冬至、春分、または季節を基準としたその他の時刻において、ゆっくりと変化します。[ 3 ]例えば、地球の自転軸の傾きが太陽に最も近づく夏至に地球の軌道位置が記録されているとします。1周後、太陽が背景の恒星に対して同じ見かけの位置に戻ったとき、地球の自転軸の傾きはもはや太陽に直接向いていません。歳差運動の影響により、地球の自転軸の傾きは太陽から少し「ずれた」位置にあります。言い換えれば、夏至は軌道上で少し早く起こったということです。したがって、季節の周期（例えば、夏至から夏至、または春分から春分までの時間）を測定する回帰年は、恒星に対する太陽の見かけの位置で測定される恒星年よりも約20分短くなります。約2万 6000年後にはその差は1年分になり、軌道に対する季節の位置は「元の位置に戻る」。(地球の軌道の形状と向きは他の要因によってもゆっくりと変化し、これらが歳差運動と組み合わさることで、周期の異なる様々な周期が生じる。ミランコビッチサイクルも参照のこと。地球の傾きの大きさも、単なる向きの変化とは異なり、時間の経過とともにゆっくりと変化するが、この効果は歳差運動に直接起因するものではない。)
同様の理由で、季節によって決まった時刻における、星空を背景とした太陽の見かけ上の位置は、黄道十二星座すべてを360度ゆっくりと後退し、その速度は約1年あたり50.3秒角、つまり71.6年ごとに1度となる。
現在、歳差運動の速度は25,772年の周期に相当するため、熱帯年は恒星年より1,224.5秒短い（20分24.5秒≈ (365.24219 × 86400) / 25772）。
変化率自体は時間とともに多少変動するため（下記の値を参照）、25,772年後に地球の地軸が現在の位置に戻るとは断言できません。
詳細については、下記の「北極星の変化」および「極移動と春分点移動」をご覧ください。
歳差運動の発見は、通常、ロドス島またはニカイアのギリシャの天文学者ヒッパルコス（紀元前190～120年）に帰せられる。プトレマイオスの『アルマゲスト』によれば、ヒッパルコスはスピカや他の明るい星の経度を測定した。彼は、自身の測定値を先駆者であるティモカリス（紀元前320～260年）とアリスティルス（紀元前280年頃）のデータと比較し、スピカが秋分点に対して2度移動したと結論付けた。彼はまた、回帰年（太陽が春分点に戻るまでの時間）と恒星年（太陽が恒星に戻るまでの時間）の長さを比較し、わずかなずれを発見した。ヒッパルコスは、春分点と秋分点が黄道帯を移動（歳差運動）しており、歳差運動の速度は1世紀あたり1度以上、つまり3万6000年以内に完全な周期を完了すると結論付けた。[ 7 ]
ヒッパルコスの著作は、歳差運動に関するものも含め、ほぼ全て失われている。プトレマイオスは歳差運動について言及しており、歳差運動を静止した地球の周りを天球が回転する現象として説明している。ヒッパルコスもプトレマイオスと同様に、歳差運動を地球ではなく天体の運動として、地動説の観点から捉えていたと考えるのが妥当だろう。
ヒッパルコスの歳差運動に関する研究を引き継いだことが知られている最初の天文学者は、西暦2世紀のプトレマイオスである。プトレマイオスは、日食を必要としないヒッパルコスの月法の変形を用いて、レグルス、スピカ、その他の明るい星の経度を測定した。日没前に、彼は月と太陽を隔てる経度弧を測定した。そして日没後に、彼は月から星までの弧を測定した。彼はヒッパルコスのモデルを使用して太陽の経度を計算し、月の動きと視差に対する補正を行った。[ 8 ]プトレマイオスは、自身の観測結果をヒッパルコス、アレクサンドリアのメネラオス、ティモカリス、アグリッパの観測結果と比較した。プトレマイオスは、ヒッパルコスの時代から自身の時代まで（およそ265年）の間に星が2°40'、つまり100年で1°（年間36秒角、現在では年間約50秒角、72年で1°とされている）移動したことを発見した。プトレマイオスは、自身が観測を行ったのはアントニヌス・ピウス帝の治世初期であり、ヒッパルコスはカリッピカ暦第3周期の50年目に観測を行ったと述べている。プトレマイオスは次のように記している。[ 7 ]： 328
このことから、約 100 年で 1 度後退することがわかります。ヒッパルコスも、彼の著作「年の長さについて」からの次の引用によれば、このことを疑っていたようです。「もし夏至と冬至と春分と秋分が、その原因により、星座の 1/100 度以上先に（つまり逆順に）動いていたとすれば、300 年で 3 度以上移動していたはずです」。
プトレマイオスはまた、歳差運動は黄道付近の恒星だけでなく、すべての恒星に影響を与え、その周期は36,000年であることを確認した。[ 7 ]
古代の著述家のほとんどは歳差運動について言及しておらず、おそらくその存在すら知らなかったのだろう。例えば、プロクロスは歳差運動を否定したが、4世紀のプトレマイオスの注釈者であるアレクサンドリアのテオンはプトレマイオスの説明を受け入れた。テオンはまた、別の理論も報告している。
黄道十二宮全体を一周するのではなく、春分点と秋分点は8度の弧を描いて行ったり来たりを繰り返した。この「揺れ」の理論は、歳差運動に代わるものとしてテオンによって提唱された。
他の文化がヒッパルコスとは独立して歳差運動を発見したという主張がいくつかなされている。アル・バッタニによれば、カルデアの天文学者は回帰年と恒星年を区別していたため、紀元前330年頃には歳差運動を不正確ではあるものの記述できる立場にあったはずだが、そのような主張は一般的に根拠がないとみなされている。[ 9 ]
考古学者スーザン・ミルブラスは、プレアデス星団を含むメソアメリカの3万年周期の長期暦は、分点歳差運動を計算しようとした試みだったのではないかと推測している。[ 10 ]この見解は、マヤ文明の他の専門学者の間ではほとんど支持されていない。
同様に、古代エジプトでは、ヒッパルコス（プトレマイオス朝時代）以前から歳差運動が知られていたという主張もある。しかし、これらの主張は依然として議論の的となっている。古代エジプト人は正確な暦を使用し、神殿の壁に日付を記録していたため、歳差運動のおおよその速度をグラフ化することは容易だったはずだ。
デンデラのハトホル神殿にある星図「デンデラ黄道十二宮」には、歳差運動が記録されているとされている。[ 11 ]いずれにせよ、古代エジプト人が歳差運動を知っていたとしても、現存する天文学文献にはそのような記録はない。
古代エジプトに関する人気作家であるマイケル・ライスは、古代エジプト人は歳差運動を観察していたに違いないと書いており[ 12 ]、この認識が彼らの文化に大きな影響を与えたと示唆している[ 13 ]。ライスは、エジプト人が関連する星の歳差運動に応じて神殿の向きを変えたと指摘している[ 14 ]。
1200年以前、インドには歳差運動に関する2つの理論があり、1つは速度を伴うもの、もう1つは速度を伴わないもので、歳差運動に関するいくつかの関連モデルがありました。それぞれ、さまざまな注釈者によってわずかな変更や修正が加えられました。3つのうち最も有力だったのは、紀元400年頃に編纂され、その後数世紀にわたって改訂された、インドで最も尊敬されている天文学論文であるスーリヤ・シッダーンタ（3:9–12）で記述されている歳差運動でした。この論文では、現在でもすべてのインドの暦で使用されている恒星紀元、すなわちアヤナムシャが使用されており、参照するグループによって黄経19°11′から23°51′の間で変動します。 [ 15 ]この紀元により、インドの約30の暦年は、現代の春分の23～28日後に始まります。スーリヤ・シッダーンタの春分の日は、恒星紀元から両方向に27°回転していました。こうして春分点は一方向に54°移動し、その後反対方向に54°戻った。この周期は7200年かかり、年間54秒角の速度であった。春分点は紀元前3101年のカリ・ユガの始まりの時代と一致し、3600年後の紀元前499年にも再び一致した。これらの年の中間である紀元前1301年に最大偏差27°に達したとき、方向は順行から逆行に変わり、現代の歳差運動と同じ方向である逆行が2299年までの3600年間続いたと考えられる。[ 16 ] [ 17 ]： 29-30
別のトレピダーションはヴァラーハミヒラ（紀元550年頃）によって記述されている。彼のトレピダーションは、一方向に46°40′の弧を描き、出発点に戻るというものであった。この弧の半分、23°20′は、夏至と冬至における赤道の両側での太陽の最大赤緯と同一視された。しかし、周期は明記されていないため、年間変化率を確定することはできない。[ 17 ]： 27-28
複数の著者が歳差運動を43億2000万年のカルパ で約20万回転と記述しており、これは20万×360×3600 / 43億2000万年= 60秒/年の割合になります。おそらく彼らは累積歳差運動が500年付近でゼロになるように、ちょうど20万回転から逸脱したのでしょう。ヴィシュヌチャンドラ（紀元前550 ～600年）は1カルパで18万9411回転、つまり56.8秒/年と述べています。バースカラ1世（紀元前600～680年）は[1] 1カルパで9万4110回転、つまり58.2秒/年と述べています。バースカラ2世（紀元1150年頃）は、1カルパ（暦年）における回転数を199,699回、すなわち1年あたり59.9秒と述べている。[ 17 ]： 32-33
余熙（西暦4世紀）は、歳差運動について言及した最初の中国の天文学者でした。彼は歳差運動の速度を50年で1度と推定しました。[ 18 ]
中世イスラム天文学では、歳差運動はプトレマイオスの『アルマゲスト』に基づいて知られており、その値を精緻化する観測によっても知られていた。
アル＝バッタニは、著書『ジージ・アル＝サビ』の中で、ヒッパルコスの歳差運動の計算とプトレマイオスの100太陽年あたり1度という値に言及し、歳差運動を測定したところ、66太陽年あたり1度であることがわかったと述べている。[ 19 ]
その後、アル・スーフィーは『恒星の書』の中で、プトレマイオスの歳差運動の値が100太陽年あたり1度であるという同じ値に言及している。そして、アル・マアムーンの治世中に行われた『ジージ・アル・ムムタハン』からの別の値、66太陽年あたり1度を引用している。また、アル・バッタニーの『ジージ・アル・サビ』では、アル・バッタニーの時間とプトレマイオスの時間の差を考慮して、星の座標を11度10分角調整したと引用している。 [ 20 ]
その後、マラゲ天文台で編纂された『ジジ・イルハニ』では、分点歳差を年間51秒角としており、これは現代の値である50.2秒角に非常に近い。[ 21 ]
中世において、イスラム教およびラテン・キリスト教の天文学者は、「歳差運動」を恒星の動きとして扱い、歳差運動に加えた。この理論は一般的にアラビアの天文学者サービト・イブン・クッラに帰せられているが、現代ではその帰属は議論の的となっている。ニコラウス・コペルニクスは『天球回転論』 （1543年）で歳差運動について異なる説明を発表した。この著作は、地球の自転軸の動きの結果として歳差運動に初めて明確に言及している。コペルニクスは歳差運動を地球の第三の動きとして特徴づけた。[ 22 ]
1世紀以上後、アイザック・ニュートンは『自然哲学の数学的原理』 （1687年）で歳差運動を重力の結果として説明した。[ 23 ]しかし、ニュートンの当初の歳差運動の方程式は機能せず、ジャン・ル・ロン・ダランベールとその後の科学者によって大幅に修正された。
ヒッパルコスは、自身の発見について『夏至点と春分点の変位について』（『アルマゲスト』第3巻第1章および第7巻第2章に記述）の中で述べている。彼は月食の際にスピカ星の黄経を測定し、それが秋分点より約6°西にあることを発見した。彼自身の測定値をアレクサンドリアのティモカリス（紀元前3世紀初頭にアリスティルスと共に研究したユークリッドの同時代人）の測定値と比較することで、その間にスピカの黄経が約2°減少したことを発見した（正確な年は『アルマゲスト』には記載されていない）。また、VII.2では、プトレマイオスはスピカを含む2つの星についてより精密な観測を行い、いずれの場合も紀元前128年から紀元後139年の間に2°40'の変化があったと結論付けている。したがって、1世紀あたり1°、つまり36,000年で1周期となり、これはプトレマイオスが報告したヒッパルコスの歳差運動周期である。トゥーマー訳『アルマゲスト』1998年版328ページを参照。彼は他の星でもこの動きに気付き、黄道帯に近い星だけが時間とともに移動すると推測した。プトレマイオスはこれを「最初の仮説」（アルマゲストVII.1）と呼んだが、ヒッパルコスが考案したであろう後の仮説については報告していない。ヒッパルコスは、信頼性の低い古い観測データしか持っていなかったため、推測を限定していたようである。
春分点と秋分点は空にマークされていないため、ヒッパルコスは基準点として月を必要とし、月食を利用して星の位置を測定しました。ヒッパルコスはすでに、任意の瞬間の太陽の経度を計算する方法を開発していました。月食は満月のときに起こり、そのとき月は太陽から正確に180°離れた衝の位置にあります。ヒッパルコスはスピカと月を隔てる経度弧を測定したと考えられています。この値に、計算された太陽の経度と月の経度として180°を加えました。彼はティモカリスのデータでも同じ手順を実行しました。[ 24 ]ちなみに、このような月食などの観測は、ヒッパルコスがいつ活動していたかに関するデータの主な情報源です。なぜなら、彼に関する他の伝記情報は最小限だからです。例えば、彼が観測した月食は、紀元前146年4月21日と紀元前135年3月21日に起こりました。[ 25 ]
ヒッパルコスは『年の長さについて』の中で歳差運動についても研究した。彼の研究を理解する上で、2種類の年が重要となる。回帰年とは、地球から見た太陽が黄道（天球上の星々の間の軌道）に沿って同じ位置に戻るのにかかる時間である。恒星年とは、太陽が天球上の星々に対して同じ位置に戻るのにかかる時間である。歳差運動によって星々の経度は毎年わずかに変化するため、恒星年は回帰年よりも長くなる。春分と夏至の観測を用いて、ヒッパルコスは回帰年の長さが365+1/4−1/300日、すなわち365.24667日であることを発見した（Evans 1998、p. 209）。これを恒星年の長さと比較することで、歳差運動の速度は1世紀あたり1°以上であると計算した。この情報から、恒星年の彼の値は365+1/4+1/144日であったと計算できる。[ 26 ]最小値を与えることで、彼は観測の誤差を考慮したのかもしれない。
ヒッパルコスは、自身の熱帯年を近似するために、プトレマイオスが『アルマゲスト』第3巻第1章で説明したように、メトンとカリッポスの暦を修正して、独自の太陰太陽暦を『閏月と閏日について』 （現在は失われている）で作成した。 [ 27 ]バビロニア暦は、紀元前499年以降（紀元前380年以前の3つの例外を除いて）、19年間で235の太陰月の周期を使用していたが、特定の日数は使用していなかった。メトン周期（紀元前432年）は、これらの19年間に6,940日を割り当て、平均年は365+1/4+1/76、つまり365.26316日となった。カリッポス周期（紀元前330年）は、4つのメトン周期（76年）から1日を差し引いて、平均年を365+1/4、つまり365.25日とした。ヒッパルコスはカリッピカ周期（304年）からさらに1日を削除し、平均1年が365+1/4−1/304、つまり365.24671日となるヒッパルコス周期を作り出した。これは彼の熱帯年である365+1/4−1/300、つまり365.24667日に近い値だった。
ヒッパルコスの数学的特徴は、紀元前2世紀の古代天文計算機であるアンティキティラ島の機械に見られます。この機械は、太陽年、メトン周期（月が同じ位相で空の同じ場所に再び現れる周期。満月は約19年ごとに空の同じ位置に現れます）、カリピス周期（メトン周期の4倍でより正確）、サロス周期、エクセリグモス周期（正確な日食予測のためのサロス周期の3倍）に基づいています。アンティキティラ島の機械の研究により、古代人は太陽と月の動きのあらゆる側面に基づいた非常に正確な暦を使用していたことが明らかになりました。実際、アンティキティラ島の機械の一部である月の動きを示す機構は、ピンと溝を備えた4つの歯車列を用いて、一定時間における月の動きとその位相を描写します。この機構は、ケプラーの第2法則に非常に近い可変の月速度を実現します。つまり、近地点での月の速い動きと遠地点での遅い動きを考慮に入れているのです。
歳差運動の結果、北極星の位置が変わります。現在、北極星は北天の極の位置を示すのに非常に適しています。北極星は視等級2.1（変光星）の中程度の明るさの星で、極から約1度の位置にあり、同じくらいの明るさの星が近くにないからです。[ 28 ]
以前の北極星はコカブ（小熊座β星、β UMi、β Ursae Minoris）で、北極星から16度離れたところにある「こぐま座」の柄杓部分で最も明るい星でした。紀元前1500年から西暦500年までその役割を果たしていました。[ 29 ]当時は、今日の北極星ほど正確ではありませんでした。[ 29 ]今日では、コカブとその隣のフェルカドは「北極の守護者」（北極星を意味する）と呼ばれています。[ 29 ]
一方、紀元前3000年には北極星だったりゅう座のトゥバンは、3.67等級（北極星の5分の1の明るさ）と非常に目立たず、今日では光害のひどい都市の空では全く見えない。
紀元前27,800年頃に北極星が再び北極星となる頃には、固有運動のため現在よりも北極から遠い位置にあるだろう。一方、紀元前23,600年には北極に近づいていた。
現時点では、南天の極は空の中でも特に単調な領域であるため、見つけるのは困難です。名目上の南極星はシグマ・オクタンティスで、等級は5.5と、理想的な条件下でも肉眼ではほとんど見えません。しかし、80世紀から90世紀にかけて南天の極が偽十字を通過すると、状況は変わります。
この状況は星図にも表れています。南極の向きは南十字星の方向へと移動しています。ここ2000年ほどの間、南十字星は南天の極を指していました。そのため、古代ギリシャ時代とは異なり、亜熱帯の北緯地域から南十字星を見るのは困難です。南十字星はマイアミ（北緯約25度）まで北上して見ることができます が、それは冬から早春にかけての時期に限られます。
右側の画像は、地球の自転軸の歳差運動と春分点のずれの関係を説明しようとするものです。これらの画像は、地球の自転軸が天球上にあることを示しています。天球とは、実際の距離に関係なく、地球から見た星の位置に基づいて星を配置した仮想の球体です。最初の画像は、星座が鏡像になっている天球を外側から見たものです。2番目の画像は、非常に広角のレンズを通して見た地球近傍からの視点を示しています（そのため、見かけ上の歪みが生じます）。
地球の自転軸は、25,700年の周期で、図の上部付近の星々の間にある 小さな青い円を描きます。この円は黄道北極（青い文字E）を中心とし、半径は約23.4°で、黄道傾斜角として知られています。歳差運動の方向は、地球の自転軸の方向とは逆です。茶色の軸は5,000年前の地球の自転軸で、当時はトゥバン 星を指していました。黄色の軸は北極星を指しており、現在の自転軸を示しています。
春分と秋分は、天の赤道が黄道（赤い線）と交わる点、つまり地球の自転軸が太陽と地球の中心を結ぶ線に垂直になる点で起こります。ここでいう「春分と秋分」とは、太陽が赤道の真上にある瞬間ではなく、このように定義された天球上の点を指します（ただし、この2つの意味は関連しています）。自転軸が歳差運動をすると、地球の赤道面（赤道の周りの円形の格子で示されています）が移動します。天の赤道は、地球の赤道を天球に投影したものなので、地球の赤道面が移動すると天の赤道も移動し、黄道との交点もそれに合わせて移動します。地球上の極と赤道の位置は変化せず、恒星に対する地球の向きだけが変わります。
茶色のグリッドからわかるように、5000 年前は春分点はおうし座のアルデバラン星の近くにありました。現在、黄色のグリッドからわかるように、春分点はうお座のどこかに移動しています（赤い矢印で示されています）。
このような静止画像は、歳差運動の速度の変化、黄道傾斜角の変化、惑星歳差運動（黄道面自体のゆっくりとした回転であり、現在は黄道面上の経度174.8764°の軸を中心に回転している）、および恒星の固有運動を考慮していないため、あくまでも第一近似にすぎません。
各星座の歳差運動周期（しばしば「大月」と呼ばれる）は、おおよそ以下の表に示されています。[ 30 ]
分点歳差運動は、太陽と月の重力、そして程度は低いものの地球上の他の天体の重力によって引き起こされます。これはアイザック・ニュートンによって初めて説明されました。[ 31 ]
軸歳差運動は、回転するコマの歳差運動に似ています。どちらの場合も、作用する力は重力によるものです。回転するコマの場合、この力は最初は回転軸とほぼ平行になり、回転速度が遅くなるにつれて大きくなります。スタンドに置かれたジャイロスコープの場合は、90度近くまで傾くことがあります。しかし、地球の場合、太陽と月の作用する力は、回転軸に対してより垂直に近い方向になります。
地球は完全な球体ではなく、赤道直径が極直径より約43キロメートル大きい扁平な回転楕円体です。地球の自転軸の傾きのため、一年のほとんどの期間、太陽に最も近い側の膨らみは中心からずれており、北か南のどちらかに偏っています。そして、遠い側の膨らみは反対側に偏っています。重力は距離の二乗に反比例するため、近い側の重力の方が強く働き、太陽が地球の片側をもう一方の側よりも強く引っ張ることで、地球に小さなトルクが生じます。このトルクの軸は地球の自転軸とほぼ垂直であるため、自転軸は歳差運動を起こします。もし地球が完全な球体であれば、歳差運動は起こりません。
この平均トルクは、回転軸が黄道極から傾く方向と垂直であるため、軸の傾き自体は変化しません。太陽（または月）からのトルクの大きさは、地球の自転軸の方向と重力の引力の方向との間の角度によって変化します。両者が垂直になると、トルクはゼロに近づきます。たとえば、太陽との相互作用の場合、春分と秋分でこの現象が起こります。これは、近点と遠点が重力の引力と一直線に並んでいるため、重力の差によるトルクが発生しないことからわかります。
上記の説明は太陽に関するものでしたが、同じ説明は地球の周りを黄道に沿って、あるいは黄道の近くを移動するあらゆる物体、特に月にも当てはまります。太陽と月の複合的な作用は、月太陽歳差運動と呼ばれます。太陽と月は、安定した進行運動（約25,700年で一周する）に加えて、位置の変化により小さな周期的な変動も引き起こします。歳差速度と自転軸の傾きの両方におけるこれらの振動は、章動として知られています。最も重要な項は、周期が18.6年、振幅が9.2秒角です。[ 32 ]
月太陽歳差運動に加えて、太陽系の他の惑星の作用により、黄道面全体が、瞬間黄道上で測定した場合、黄経が約174°の軸を中心にゆっくりと回転します。このいわゆる惑星歳差運動による黄道面のずれは、年間0.47秒角（月太陽歳差運動の100分の1以下）に相当します。これら2つの歳差運動の合計は、一般歳差運動として知られています。
摂動天体（太陽、月、惑星など）による地球への潮汐力は、ニュートンの万有引力の法則によって表されます。この法則によれば、地球の最も近い側における摂動天体の重力は、遠い側における重力よりも、近い側と遠い側の間の距離の3乗の差に比例する量だけ大きいとされています。地球の中心にある点質量としての地球の質量に作用する摂動天体の重力（軌道運動を引き起こす向心力を提供する）を、地球表面のあらゆる場所における摂動天体の重力から差し引くと、残ったものが潮汐力とみなすことができます。これは、衛星から遠ざかる方向に作用する力という逆説的な概念を生み出しますが、実際には、重力場の勾配のために、その天体に向かう力が小さくなっているだけです。歳差運動の場合、この潮汐力は、平均球半径の外側の赤道膨らみにのみ作用する 2 つの力にまとめることができます。このカップルは2 つの成分のペアに分解できます。1 つのペアは地球の赤道面に平行で、摂動天体に向かって、または摂動天体から離れる方向に作用し、互いに打ち消し合います。もう 1 つのペアは地球の自転軸に平行で、両方とも黄道面に向かっています。[ 33 ]後者のペアの力は、地球の赤道膨らみに次のトルクベクトルを生成します。[ 5 ]
どこ
地球の中心におけるトルクの3つの単位ベクトル（上から下へ）は、黄道面（地球の赤道面と黄道面の交点）内の線上で春分点に向かうx 、黄道面内の線上で夏至点（ xから東に90°）に向かうy、そして黄道の北極に向かうzである。
太陽のx 方向の 3 つの正弦波項(sin δ cos δ sin α )の値は、春分と秋分 (0°、180°) でゼロから夏至と冬至 (90°、270°) で 0.36495 まで変化する正弦波の2 乗波形です。太陽のy 方向の(sin δ cos δ (−cos α ))の値は、春分と夏至の 4 つでゼロから、各春分と夏至の中間で ±0.19364 (正弦波の 2 乗ピークの半分強) まで変化する正弦波で、ピークは春分と秋分 (43.37°(−)、136.63°(+)、223.37°(−)、316.63°(+)) の方にわずかに偏っています。両方の太陽波形は、ピーク間振幅と周期がほぼ同じで、半周回または半年である。z方向の値はゼロである。
太陽または月の場合、 y方向の正弦波の平均トルクはゼロであるため、このトルク成分は歳差運動に影響を与えません。太陽または月の場合、x方向の正弦二乗波形の平均トルクは次のとおりです。
どこ
そして1/2は正弦波の二乗の平均を表し、は、太陽または月が地球から楕円軌道全体にわたって持つ平均距離の3乗を表し、[ 34 ] ε（赤道面と黄道面の間の角度）は、太陽の場合はδの最大値、月の場合は18.6年の周期全体にわたる平均最大値です。
歳差運動とは：
ここで、ωは地球の角速度、Cωは地球の角運動量である。したがって、太陽による歳差運動の1次成分は次のようになる。[ 5 ]
一方、月による影響は次のようになる。
ここで、 iは月の軌道面と黄道面との間の角度です。これら 2 つの式では、太陽のパラメータは S というラベルの付いた角括弧内に、月のパラメータは L というラベルの付いた角括弧内に、地球のパラメータは E というラベルの付いた角括弧内に示されています。月の軌道の黄道面に対する傾斜を考慮に入れています。項( C − A )/ Cは地球の動的楕円率または扁平率であり、地球の内部構造が十分に詳細にわかっていないため、観測された歳差運動に合わせて調整されています。地球が均質であれば、この項は地球の3次離心率の2乗に等しくなります。[ 35 ]
ここで a は赤道半径 (6 378 137 m ) であり、c は極半径 (6 356 752 m )、したがってe 2 = 0.003358481。
J2000.0に適用可能なパラメータを 7 桁の有効数字 (先頭の 1 を除く) に丸めると次のようになります。[ 36 ] [ 37 ]
それによって
どちらも、 2πラジアン（1.296 × 10）の秒角の数で″/a（秒角/年）に変換する必要があります。6 ″/2π) および1年(ユリウス年) の秒数(3.15576 × 107秒/秒):
太陽方程式は、地球の軌道が楕円に近く、他の惑星の影響をほとんど受けないため、太陽による歳差運動を適切に表しています。一方、月の軌道は太陽によって大きく歪められ、半径も離心率も年間を通じて一定ではないため、月による歳差運動を適切に表すには、太陽方程式ほど適していません。
19 世紀末にサイモン ニューカムが行った経度の一般的な歳差 ( p ) の計算では、1 熱帯世紀あたり 5,025.64 秒角という値が得られ、人工衛星によるより正確な観測と電子計算機によるより精緻なモデルの計算が可能になるまで、この値が一般的に受け入れられていました。ジェイヘンリー リースクは1976 年に更新された理論を開発し、p は1 ユリウス世紀あたり 5,029.0966 秒角 (または 1.3969713 度) に等しいとしました。VLBIやLLRなどの最新の技術によりさらに改良され、国際天文学連合は2000 年に新しい定数値を採用し、2003 年と 2006 年に新しい計算方法と多項式表現を採用しました。累積歳差は、次のようになります。[ 38 ]
歳差運動の速度は、その導関数である。
この速度の定数項（上記の式では 5,028.796195 秒角/世紀）は、歳差運動の 1 周に 25,771.57534 年かかることに相当する（1 周 360 度を 50.28796195 秒角/年で割った値）[ 38 ]。ただし、他の情報源では 25771.4 年という値も示されており、わずかな不確実性が残る。
歳差運動の速度は一定ではなく、Tの線形項 (および高次項) が示すように、(現時点では) 時間とともにゆっくりと増加しています。いずれにしても、この式は限られた期間のみ有効であることを強調する必要があります。これは、太陽系の決定論的モデルではなく、J2000 基準面を中心とする多項式表現であり、観測データに経験的に適合されています。Tが十分に大きくなると (遠い未来または遠い過去)、T ² 項が支配的になり、p は非常に大きな値になることは明らかです。実際には、太陽系の数値モデルに関するより詳細な計算では、歳差運動の速度の周期は約 41,000 年であり、黄道傾斜角と同じであることが示されています。つまり、
は近似値です
理論モデルは、 Tの高次のべき乗に対応する定数 (係数) を計算することができますが、多項式がすべての数値にわたって周期関数に一致することは不可能であるため、 T が増加するにつれて、そのようなすべての近似の差は際限なく大きくなります。必然的に不完全な動的数値モデルではなく、十分高い次数の多項式を観測データに当てはめることで、限られた時間範囲で十分な精度が得られます。現在の人工衛星や宇宙船の飛行軌道計算では、多項式法の方が精度が高くなります。その点で、国際天文学連合は、利用可能な最も発展した理論を選択しました。過去と未来の数世紀までは、使用されているどの式も大きく乖離しません。過去と未来の数千年までは、ほとんどが一定の精度で一致します。それより遠い時代では、不一致が大きくなりすぎ、これらの多項式を使用して、単一の歳差周期全体であっても、歳差の正確な速度と周期を計算することはできません。
地球の自転軸の歳差運動は非常にゆっくりとした現象ですが、天文学者が研究を行う精度レベルでは、日々考慮に入れる必要があります。歳差運動と地球の自転軸の傾き（黄道傾斜角）は同じ理論に基づいて計算されるため、互いに関連していますが、この2つの動きは互いに独立して、反対方向に動きます。
歳差運動の速度は、現在を中心とした 5 億年の期間において、潮汐散逸により59"/a から 45"/a (a = annus =ユリウス年) へと長期的に減少しています。数万年の短期的な変動を平均すると、長期的傾向は、現在からの負および正の時間 ("/a) に対して、次の多項式で近似できます。ここで、Tは数十億ユリウス年 (Ga)です。 [ 39 ]
これにより、現在の平均周期は25,676年となる。
歳差運動は、 +30 Maから+130 Maの間、 p +よりもわずかに+0.135052"/aだけ大きくなります。このp +に対する超過分への急激な変化は、歳差運動の長期的な減少が他の惑星によって引き起こされる地球軌道の共鳴を越え始めているため、わずか20 Maで発生します。
WR ウォードによれば、潮汐の影響で継続的に増加している月の距離が現在の 60.3 地球半径から約 66.5 地球半径に増加する約 15 億年後には、惑星の影響による共鳴により歳差運動が最初は 49,000 年になり、その後、月が約 20 億 年後に 68 地球半径に達すると 69,000 年になるという。これは黄道傾斜角の激しい変動にも関連している。しかし、ウォードは潮汐散逸に異常に大きな現代の値を使用した。[ 40 ]現代の値の約半分である潮汐リズムによる平均 620 万年を使用すると、これらの共鳴はそれぞれ約 30 億年と 40 億年まで到達しない。しかし、太陽の光度が徐々に増加しているため、地球の海はそれよりも前に（ 今から約21億年後）蒸発してしまうだろう。
太陽の周りを公転する間、地球の極軸は北極星（ポラリスとも呼ばれる）と平行になります。平行であるにもかかわらず、地球の極軸の向きは歳差運動（ジャイロスコープで見られるような円を描くような揺れ）を示し、その結果、28,000 年周期の歳差運動が生じます。現在、地球の極軸はおおよそ北極星の方向を指しています。歳差運動の結果、今後 11,000 年の間に、地球の軸は歳差運動または揺れによって、星ベガの方向を向くようになります。
したがって、2つの学派によれば、牡羊座の最初の点の経度は23°51′（－）19°11′だけ異なる…[上限は1950年から2000年までの累積歳差運動42′分だけ増加した。]
![${\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{S}\left[{\frac {CA}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741c974dbc1a5365103f19e45facc860fac97750)
![${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM\left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{L}\left[{\frac {CA}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fcb83cb95c40845bcebddb86b88d643a680182)
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