アトラクター

力学系の数学の分野において、アトラクターとは、システムのさまざまな初期条件に対して、システムが進化する傾向のある状態の集合を指します^[2]。アトラクター値に十分近づくシステム値は、わずかに乱されても近いままです。

有限次元システムでは、進化する変数はn次元ベクトルとして代数的に表現されることがあります。アトラクターはn次元空間内の領域です。物理システムでは、n次元は、たとえば、1 つ以上の物理エンティティのそれぞれに対する 2 つまたは 3 つの位置座標である場合があります。経済システムでは、インフレ率や失業率などの個別の変数である場合があります。^{[本文では検証されていません]}

発展する変数が 2 次元または 3 次元の場合、動的プロセスのアトラクターは2 次元または 3 次元で幾何学的に表現できます (右に示す 3 次元の場合の例のように)。アトラクターは、点、点の有限集合、曲線、多様体、またはストレンジ アトラクターと呼ばれるフラクタル構造を持つ複雑な集合になることもあります(下記のストレンジ アトラクターを参照)。変数がスカラーの場合、アトラクターは実数直線のサブセットになります。カオス的動的システムのアトラクターを記述することは、カオス理論の成果の 1 つです。

アトラクター内の動的システムの軌道は、時間的に前進するアトラクター上に留まるという点を除いて、特別な制約を満たす必要はありません。軌道は周期的またはカオス的である可能性があります。点の集合が周期的またはカオス的であるが、近傍の流れが集合から離れている場合、その集合はアトラクターではなく、リペラー（またはリペラー）と呼ばれます。

動的システムは、通常、1 つ以上の微分方程式または差分方程式によって記述されます。特定の動的システムの方程式は、特定の短期間におけるそのシステムの挙動を指定します。システムのより長い期間における挙動を決定するには、多くの場合、解析的手段または反復処理によって方程式を積分する必要があり、その際にはコンピューターの助けを借りることがよくあります。

物理世界における動的システムは、散逸システムから発生する傾向があります。つまり、何らかの駆動力がなければ、運動は停止します。(散逸は、内部摩擦、熱力学的損失、物質の損失など、さまざまな原因から発生します。) 散逸と駆動力はバランスを取り、初期の過渡現象を抑制して、システムをその典型的な動作に落ち着かせる傾向があります。典型的な動作に対応する動的システムの位相空間のサブセットは、アトラクターであり、吸引セクションまたは吸引対象としても知られています。

不変集合と極限集合はアトラクターの概念に似ています。不変集合は、ダイナミクスの下で自分自身に進化する集合です。^[3]アトラクターは不変集合を含むことができます。極限集合は、時間が無限大になるにつれて、最終的に極限集合（つまり、集合の各点）に任意に近くなる初期状態が存在するような点の集合です。アトラクターは極限集合ですが、すべての極限集合がアトラクターであるわけではありません。システムのいくつかの点が極限集合に収束することは可能ですが、極限集合からわずかに外れる別の点ははじき出され、極限集合の近くに戻ることは決してありません。

たとえば、減衰 振り子には、最小高さの点x ₀と最大高さの点x ₁の 2 つの不変点があります。点x ₀は、軌道が収束するため、限界集合でもありますが、点x ₁は限界集合ではありません。空気抵抗による散逸のため、点x ₀もアトラクターです。散逸がなければ、x _{0 は}アトラクターではありません。アリストテレスは、物体は押されている間だけ動くと考えていましたが、これは散逸アトラクターの初期の定式化です。

いくつかのアトラクターはカオス的であることが知られており（ストレンジアトラクターを参照）、その場合、アトラクターの任意の2つの異なる点の進化は指数関数的に発散する軌道をもたらし、システム内に最小のノイズが存在する場合でも予測が複雑になります。^[4]

を時間、をシステムのダイナミクスを指定する関数とします。つまり、を-次元位相空間内の点としてシステムの初期状態を表すとすると、 が正の値である場合、は単位時間後のこの状態の発展の結果です。たとえば、システムが 1 次元の自由粒子の発展を記述する場合、位相空間は座標 を持つ平面です。ここで は粒子の位置、 は粒子の速度、 であり、発展は次のように表されます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle f(t,\cdot )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(0,a)=a}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(t,a)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a=(x,v)}$

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

アトラクターは、次の 3 つの条件によって特徴付けられる 位相空間のサブセットです。 ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$は に関して順方向不変です。がの要素である場合、 も の要素であるため、すべての に対して順方向不変です。${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(t,a)}$${\displaystyle t>0}$
• の近傍が存在し、これはに対する吸引域と呼ばれ、 と表記されます。これは、限界 に「入る」すべての点で構成されます。より正式には、は位相空間内のすべての点の集合であり、次の特性を持ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B(A)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle B(A)}$${\displaystyle b}$

の任意の開近傍に対して、任意の実数 に対してとなる正の定数が存在します。${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f(t,b)\in N}$${\displaystyle t>T}$

• 最初の 2 つのプロパティを持つ適切な (空でない) サブセットは存在しません。${\displaystyle A}$

吸引域にはを含む開集合が含まれるため、 に十分近いすべての点はに引き付けられます。アトラクターの定義では位相空間上の計量が使用されますが、結果として得られる概念は通常、位相空間の位相のみに依存します。 の場合、通常はユークリッドノルムが使用されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

文献にはアトラクターの定義が他にもたくさんあります。例えば、ある著者はアトラクターが正の測度を持つことを要求し（点がアトラクターになることを阻止します）、他の著者は近傍であるという要件を緩和します。 ^[5]${\displaystyle B(A)}$

アトラクターは、力学系の位相空間の一部またはサブセットです。1960 年代まで、アトラクターは、点、線、面、3 次元空間の単純な領域など、位相空間の単純な幾何学的サブセットであると考えられていました。位相的にワイルド セットなど、単純な幾何学的サブセットとして分類できないより複雑なアトラクターは当時知られていましたが、脆弱な例外であると考えられていました。 スティーブン スメールは、彼の馬蹄形マップが堅牢であり、そのアトラクターがカントール セットの構造を持っていることを示すことができました。

2 つの単純なアトラクターは、不動点とリミット サイクルです。アトラクターは、他の多くの幾何学的形状 (位相空間サブセット) をとることができます。ただし、これらのセット (またはそれらの内部の動き) が基本的な幾何学的オブジェクト(例:直線、面、球、トロイド、多様体)の単純な組み合わせ (例:交差と結合) として簡単に記述できない場合、そのアトラクターはストレンジ アトラクターと呼ばれます。

関数または変換の不動点とは、関数または変換によってそれ自体にマッピングされる点のことです。動的システムの進化を一連の変換と見なすと、各変換で固定されたままの点が存在する場合と存在しない場合があります。動的システムが進化して向かう最終状態は、減衰振り子の中央底の位置、グラスの中で揺れる 水のレベルと平らな水線、転がるビー玉が入ったボウルの底中央など、そのシステムの進化関数の吸引固定点に対応します。ただし、動的システムの固定点は、必ずしもシステムのアトラクターであるとは限りません。たとえば、転がるビー玉が入ったボウルをひっくり返し、ビー玉がボウルの上でバランスをとった場合、ボウルの中央底（現在は上部）は固定状態ですが、アトラクターではありません。これは、安定した平衡と不安定な平衡の違いに相当します。逆さまのボウル（丘）の上にあるビー玉の場合、ボウル（丘）の頂上の点は固定点（平衡）ですが、アトラクター（不安定な平衡）ではありません。

さらに、少なくとも 1 つの固定点を持つ物理的な動的システムは、物理世界のダイナミクスの現実、つまりスティクション、摩擦、表面粗さ、変形 (弾性と塑性の両方)、さらには量子力学により、必ず複数の固定点とアトラクターを持ちます。 [ 6 ]逆さまにしたボウルの上のビー玉の場合、ボウルが完全に半球形に見えても、ビー玉の球形は顕微鏡で調べるとどちらもはるかに複雑な^表面であり、接触中に形状が変化または変形します。どのような物理的な表面も、複数の山、谷、鞍点、尾根、峡谷、平野からなる起伏のある地形を持つと見なすことができます。^{[7]この表面地形 (およびこの微視的な地形の上を転がる同様に粗いビー玉の動的システム) には、}静止点または固定点と見なされる点が多数あり、そのうちのいくつかはアトラクターとして分類されます。

離散時間システムでは、アトラクターは、順番に訪れる有限個の点の形をとることができます。これらの各点は、周期点と呼ばれます。これは、ロジスティック マップによって示されます。ロジスティック マップは、特定のパラメーター値に応じて、1 点、2 点、2 ⁿ点、3 点、3×2 ⁿ点、4 点、5 点、または任意の正の整数個の点で構成されるアトラクターを持つことができます。

リミットサイクルは、孤立した連続的な動的システムの周期軌道です。これは、周期的なアトラクターに関係します。例としては、振り子時計の揺れや、静止時の心拍などがあります。理想的な振り子のリミット サイクルは、軌道が孤立していないため、リミット サイクル アトラクターの例ではありません。理想的な振り子の位相空間では、周期軌道の任意の点の近くに、異なる周期軌道に属する別の点があるため、以前の軌道は引き付けられません。摩擦を受ける物理的な振り子の場合、静止状態は固定点アトラクターになります。時計の振り子との違いは、サイクルを維持するために 脱進機機構によってエネルギーが注入されることです。

リミット サイクルの状態を通るシステムの周期的な軌道には、複数の周波数が存在する場合があります。たとえば、物理学では、1 つの周波数が惑星が恒星を周回する速度を決定し、2 つ目の周波数が 2 つの物体間の距離の振動を記述する場合があります。これらの周波数のうち 2 つが無理数(つまり不整合) を形成する場合、軌道は閉じられなくなり、リミット サイクルはリミットトーラスになります。この種のアトラクターは、不整合周波数がN _{t 個}ある場合、N _tトーラスと呼ばれます。たとえば、次の図は 2 トーラスです。

このアトラクターに対応する時系列は、準周期系列です。これは、不整合な周波数を持つN _t周期関数 (必ずしも正弦波ではない) の離散的にサンプリングされた合計です。このような時系列は厳密な周期性を持ちませんが、そのパワー スペクトルは依然として鋭い線のみで構成されます。^{[引用が必要]}

アトラクターがフラクタル構造を持つ場合、つまりハウスドルフ次元が非整数の場合、そのアトラクターはストレンジと呼ばれます。そのアトラクター上のダイナミクスがカオスである場合はよく当てはまりますが、ストレンジ非カオスアトラクターも存在します。ストレンジアトラクターがカオスで、初期条件に敏感な依存性を示す場合、アトラクター上の任意の 2 つの任意の近い代替初期点は、任意の回数の反復の後に、任意に離れた点 (アトラクターの制限に従う) につながり、その他の回数の反復の後に、任意に接近した点につながります。したがって、カオスアトラクターを持つ動的システムは、局所的には不安定ですが、大域的には安定しています。つまり、いくつかのシーケンスがアトラクターに入ると、近くの点は互いに分岐しますが、アトラクターから離れることはありません。^[8]

ストレンジアトラクタという用語は、流体の流れを記述するシステムの一連の分岐から生じるアトラクタを説明するために、デビッド・ルーレとフロリス・テイケンスによって造られました。 ^[9]ストレンジアトラクタは多くの場合、いくつかの方向に微分可能ですが、カントルダストのようなもので微分不可能なものもあります。ストレンジアトラクタはノイズの存在下でも見つかることがあり、その場合、シナイ・ルーレ・ボーエン型の不変ランダム確率測度をサポートすることが示されることがあります。^[10]

ストレンジアトラクターの例としては、ダブルスクロールアトラクター、ヘノンアトラクター、レスラーアトラクター、ローレンツアトラクターなどが挙げられます。

動的方程式のパラメータは、方程式が反復されるにつれて変化し、特定の値は開始パラメータに依存する場合があります。一例として、よく研究されているロジスティック マップ、 があります。このマップのパラメータのさまざまな値に対する吸引域は、図に示されています。 の場合、のすべての開始値は、負の無限大に向かう関数値に急速につながります。の開始値も負の無限大になります。 しかし、値が に急速に収束します。つまり、 のこの値では、 の単一の値が関数の動作のアトラクターになります。 の他の値の場合、 の複数の値が参照される場合があります。 が3.2 の場合、 の開始値は、と の間で交互に変化する関数値につながります。 のある値では、アトラクターは単一の点 (「固定点」) であり、 の他の値では、 の2 つの値が交互に参照されます (周期倍分岐)。または、さらに倍増すると、の任意の数の値が参照されます。 のさらに別の値では、 の任意の数の値が交互に参照されます。最後に、 のいくつかの値に対して、無数の点が訪問されます。したがって、1 つの同じ動的方程式は、そのパラメータに応じてさまざまな種類のアトラクターを持つことができます。 ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=2.6}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\approx 0.615}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle x\approx 0.513}$${\displaystyle x\approx 0.799}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k\times 2^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$

アトラクターの吸引域は、反復が定義される位相空間の領域であり、その領域内の任意の点（任意の初期条件）は、漸近的にアトラクターに反復されます。安定した 線形システムの場合、位相空間内のすべての点は吸引域内にあります。ただし、非線形システムでは、いくつかの点は直接または漸近的に無限大にマッピングされる可能性がありますが、他の点は異なる吸引域にあり、漸近的に異なるアトラクターにマッピングされる場合があります。他の初期条件は、非吸引点または非吸引サイクル内にあるか、直接マッピングされる場合があります。^[11]

一変量線形同次差分方程式は、0 以外のすべての初期点から無限大に発散します。つまり、アトラクターは存在せず、したがって吸引域も存在しません。ただし、数直線上のすべての点が漸近的に (または 0 の場合は直接) 0 にマップされる場合、0 はアトラクターであり、数直線全体が吸引域です。 ${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$${\displaystyle |a|>1}$${\displaystyle |a|<1}$

同様に、正方行列に関する同次形式の動的ベクトルの線形行列差分方程式では、 の最大固有値の絶対値が 1 より大きい場合、動的ベクトルのすべての要素が無限大に発散します。つまり、アトラクターも吸引域もありません。ただし、最大固有値の大きさが 1 未満の場合、すべての初期ベクトルは、アトラクターであるゼロ ベクトルに漸近的に収束します。つまり、潜在的な初期ベクトルの 次元空間全体が吸引域です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$

同様の特徴が線型微分方程式にも当てはまります。スカラー方程式では、 の場合、ゼロ以外の の初期値はすべて無限大に発散しますが、の場合は値 0 のアトラクターに収束し、数直線全体が 0 の吸引域になります。また、行列システムでは、行列の固有値が正であれば、ゼロのベクトルを除くすべての初期点から発散しますが、すべての固有値が負であれば、ゼロのベクトルは、吸引域が位相空間全体であるアトラクターになります。 ${\displaystyle dx/dt=ax}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle dX/dt=AX}$${\displaystyle A}$

非線形の方程式やシステムは、線形システムよりも多様な動作を引き起こす可能性があります。1 つの例は、非線形式の根を求めるニュートン法です。式に複数の実根がある場合、反復アルゴリズムの開始点のいくつかは漸近的に根の 1 つにつながり、他の開始点は別の根につながります。式の根の吸引域は一般に単純ではありません。つまり、1 つの根に最も近い点がすべてそこにマップされ、近くの点からなる吸引域が得られるというだけではありません。吸引域の数は無限であり、任意の小ささになることがあります。たとえば、^[12]関数 の場合、次の初期条件が連続する吸引域にあります。 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$

2.35287527 は 4 に収束します。

2.35284172は-3に収束します。

2.35283735 は 4 に収束します。

2.352836327は-3に収束します。

2.352836323 は 1 に収束します。

ニュートン法は複素関数の根を求めるのにも適用できます。各根は複素平面に吸引域を持ちます。これらの吸引域は、図に示すようにマッピングできます。ご覧のように、特定の根の結合吸引域には、多数の分離した領域が存在する可能性があります。多くの複素関数では、吸引域の境界はフラクタルです。

放物型偏微分方程式には、有限次元のアトラクターが存在する場合があります。方程式の拡散部分は高周波数を減衰させ、場合によってはグローバル アトラクターにつながります。ギンツブルグ-ランダウ方程式、クラモト-シヴァシンスキー方程式、および 2 次元の強制ナビエ-ストークス方程式は、いずれも有限次元のグローバル アトラクターを持つことが知られています。

周期境界条件を持つ3次元の非圧縮ナビエ・ストークス方程式の場合、それがグローバルアトラクターを持つ場合、このアトラクターは有限次元になります。^[13]

ウィキメディア・コモンズには、アトラクターに関連するメディアがあります。

• サイクル検出
• 双曲集合
• 安定した多様体
• 定常状態
• 和田盆地
• 隠れた振動
• レスラーアトラクター
• 安定した分布
• 収斂進化

• ジョン・ミルナー（編）「アトラクター」Scholarpedia。
• David Ruelle、Floris Takens (1971)。 「乱流の性質について」。Communications in Mathematical Physics。20 ( 3): 167–192。Bibcode :1971CMaPh..20..167R。doi :10.1007/BF01646553。S2CID  17074317。
• D. Ruelle (1981). 「動的システムの小さなランダム摂動とアトラクターの定義」(PDF) . Communications in Mathematical Physics . 82 (1): 137–151. Bibcode :1981CMaPh..82..137R. doi :10.1007/BF01206949. S2CID  55827557.
• デイヴィッド・ルーエル (1989)。微分可能ダイナミクスと分岐理論の要素。アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-601710-6。
• ルーエル、デイビッド(2006 年 8 月)。「ストレンジ アトラクターとは何か?」(PDF)。アメリカ数学会報。53 (7): 764–765。2008年1 月 16 日閲覧。
• Celso Grebogi、Edward Ott 、 Pelikan 、Yorke ( 1984)。「混沌としない奇妙なアトラクター」。Physica D。13 ( 1–2 ): 261–268。Bibcode :1984PhyD...13..261G。doi : 10.1016/0167-2789(84)90282-3。
• Chekroun, MD; E. Simonnet; M. Ghil (2011). 「確率的気候ダイナミクス: ランダムアトラクターと時間依存不変測定」. Physica D. 240 ( 21): 1685–1700. Bibcode :2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX  10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005.
• エドワード・N・ロレンツ(1996) 『混沌の本質』 ISBN 0-295-97514-8 
• ジェームズ・グレイク(1988)カオス: 新しい科学の創造 ISBN 0-14-009250-1 

• Scholarpedia の引力盆地
• 三角法の奇妙なアトラクターのギャラリー
• ダブルスクロールアトラクターChuaの回路シミュレーション
• 多項式ストレンジアトラクターのギャラリー
• Chaoscope、3D ストレンジ アトラクター レンダリング フリーウェア
• 研究概要とソフトウェア研究室 2022年6月28日アーカイブWayback Machine
• オンライン ストレンジ アトラクター ジェネレーター
• インタラクティブな三角アトラクタージェネレータ
• 経済誘引